Tindakan grup (matematika)

Dalam matematika, tindakan grup padaruang adalah homomorfisme grup dari grup tertentu ke dalam grup transformasi ruang. Demikian pula, tindakan kelompok pada struktur matematika adalah kelompok homomorfisme dari suatu kelompok ke dalam grup automorfisme dari struktur. Dikatakan bahwa grup bertindak pada ruang atau struktur. Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur. Misalnya, kelompok Isometri Euklid bekerja pada Ruang Euklidean dan juga pada gambar yang digambar di dalamnya. Secara khusus, ia bekerja pada himpunan dari semua segitiga. Demikian pula, kelompok simetri dari sebuah polihedron bekerja pada simpul, tepi, dan wajah dari polyhedron.

Tindakan grup pada ruang vektor (berdimensi-hingga)] disebut wakilan dari grup. Ini memungkinkan salah satunya untuk mengidentifikasi banyak grup dengan subkelompok $GL(n, K)$ , kelompok matriks yang dapat dibalik dengan dimensi $n$ atas bidang $K$ .

Grup simetris $S n$ bertindak pada setiap himpunan dengan elemen $n$ dengan menggunakan elemen himpunan. Meskipun grup dari semua permutasi dari suatu himpunan secara formal bergantung pada himpunan tersebut, konsep tindakan kelompok memungkinkan salah satunya untuk mempertimbangkan satu grup untuk mempelajari permutasi dari semua himpunan dengan kardinal yang sama.

Definisi

Tindakan grup kiri

Jika $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$ , dan $X$ adalah himpunan, maka ( kiri ) tindakan grup $α$ dari $G$ pada $X$ adalah sebuah fungsi

\alpha \colon G\times X\to X,

(dengan $α (g, x)$ sering disingkat menjadi $gx$ atau $g \cdot x$ jika tindakan yang dipertimbangkan sudah jelas dari konteksnya)

yang memenuhi dua tindakanoma berikut:^[1]

Identitas:	$e\cdot x=x$
Kesesuaian:	$g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$

untuk $g$ dan $h$ pada $G$ dan $x$ pada $X$ .

Grup $G$ dikatakan bertindak atas $X$ (dari kiri). Himpunan $X$ bersama dengan tindakan $G$ disebut himpunan- $G$ (kiri).

Dari dua tindakanoma ini, dapat disimpulkan bahwa untuk $g$ tetap di $G$ , fungsi dari $X$ ke yang memetakan $x$ ke $g \cdot x$ adalah bijeksi, dengan bijeksi terbalik untuk peta yang sesuai $g -1$ . Oleh karena itu, salah satunya dapat secara setara mendefinisikan tindakan grup $G$ pada $X$ sebagai homomorfisme grup dari $G$ ke grup simetris $Sym(X)$ dari semua bias dari $X$ ke dirinya sendiri.^[2]

Tindakan grup kanan

Demikian juga, tindakan kelompok kanan dari $G$ pada $X$ adalah fungsi

\alpha \colon X\times G\to X,

(dengan $α (x, g)$ sering disingkat menjadi $xg$ atau $x \cdot g$ jika tindakan yang dipertimbangkan jelas dari konteksnya)

yang memenuhi tindakanoma analogi:

Identitas:	$x\cdot e=x$
Kesesuaian:	$(x\cdot g)\cdot h=x\cdot (gh)$

untuk $g$ dan $h$ pada $G$ dan $x$ pada $X$ .

Perbedaan antara tindakan kiri dan kanan terletak pada urutan perkalian $gh$ yang bekerja pada $x$ . Untuk tindakan kiri, $h$ tindakan pertama, diikuti oleh $g$ detik. Untuk tindakan yang benar, $g$ tindakan pertama, diikuti oleh $h$ detik. Karena rumusnya $(gh) -1 = h -1 g -1$ , tindakan kiri dapat dibangun dari tindakan kanan dengan menyusun dengan operasi kebalikan dari grup. Juga, tindakan kanan grup $G$ pada $X$ bisa dianggap sebagai tindakan kiri dari grup berlawanan $G op$ pada $X$ . Jadi cukup untuk hanya mempertimbangkan tindakan kiri tanpa kehilangan keumuman.

Tipe tindakan

Tindakan G pada X disebut:

Transitif jika X adalah himpunan kosong dan jika untuk setiap pasangan x , y pada X maka g pada G dirumuskan g⋅x = y. Misalnya, tindakan grup simetris X bersifat transitif, tindakan grup linear umum atau grup linear khusus ruang vektor V pada V∖{0} bersifat transitif, tetapi tindakan grup ortogonal dari ruang Euklides E tidak transitif pada E∖{0} (ini transitif pada unit bola dari E , meskipun).
Tepat (atau efektif) jika untuk setiap dua g yang berbeda, h pada G dengan x pada X sehingga g⋅x ≠ h⋅x; atau setara, jika untuk g ≠ e pada G ada x di X seperti itu g⋅x ≠ x. Dengan kata lain, dalam tindakan kelompok yang setia, elemen G yang berbeda menyebabkan permutasi yang berbeda dari X .^[a] Dalam istilah aljabar, grup G bertindak tepat pada X jika dan hanya jika homomorfisme yang sesuai dengan grup simetris, G → Sym(X), memiliki trivial kernel. Jadi, untuk tindakan yang setia, G embed ke grup permutasi pafa X ; khusus, G isomorfik untuk citra Sym(X). Jika G tidak bertindakan tepat pada X , kita dapat dengan mudah memodifikasi grup untuk mendapatkan tindakan yang tepat. Jika kita mendefinisikan N = {g pada G : g⋅x = x untuk x in X}, maka N adalah subgrup normal dari G ; memang, itu adalah inti dari homomorfisme G → Sym(X). Grup faktor G/N bertindakan tepat pada X dengan menetapkan (gN)⋅x = g⋅x. tindakan asli G pada X sesuai jika dan hanya jika N = {e}. Kumpulan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama. Sebagai contoh:
- Tiga grup ukuran 120 adalah grup simetris S₅, grup ikosahedral, dan grup siklik $\mathbb {Z} /120\mathbb {Z}$ .himpunan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan masing-masing berukuran 5, 12, dan 16.
- Grup abelian ukuran 2ⁿ menyertakan grup siklik $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$ serta $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ (produk langsung dari n salinan $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ), tetapi yang terakhir bertindak dengan sesuai pada himpunan ukuran 2n , sedangkan yang pertama tidak dapat bertindak dengan sesuai pada himpunan yang lebih kecil dari dirinya sendiri.
Bebas (atau semiberaturan atau titik tetap bebas) jika, diberikan g , h dengan G, adanya x di X dengan g⋅x = h⋅x menyiratkan g = h. Setara: jika g adalah elemen grup dan terdapat x di X dengan g⋅x = x (yaitu, jika g memiliki setidaknya satu titik tetap), maka g adalah identitasnya. Perhatikan bahwa tindakan bebas pada himpunan yang tidak kosong adalah tepat.
Biasa (atau hanya transitif atau transitif tajam ) jika transitif dan bebas; Ini sama dengan mengatakan bahwa untuk setiap dua x , y dalam X tepat ada satu g dalam G sehingga g⋅x = y. Dalam hal ini, X disebut sebagai ruang homogen utama untuk G atau torsi G. tindakan grup G pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian sesuai juga. Setiap grup, oleh karena itu, dapat disematkan dalam grup simetris pada elemennya sendiri, Sym( G ). Hasil ini dikenal sebagai Teorema Cayley.
n-transitif jika X memiliki setidaknya n elemen, dan untuk semua yang berbeda x₁, ..., x_n dan berbeda y₁, ..., y_n, jika g pada G dirumuskan g⋅x_k = y_k untuk 1 ≤ k ≤ n. tindakan 2-transitif juga disebut transitif ganda, tindakan 3-transitif disebut juga transitif tiga kali, dan seterusnya. tindakan tersebut menentukan kelas menarik dari subkelompok dalam grup simetris: Grup 2-transitif dan lebih umum perkalian grup transitif. Tindakan grup simetris pada himpunan dengan elemen n selalu n -transitif; tindakan dari grup selang-seling adalah (n - 2)-transitif.
Tajam n-transitif jika memang ada satu seperti g .
Primitif jika transitif dan tidak mempertahankan partisi non-sepele dari X . Lihat grup permutasi primitif untuk detailnya.
Bebas secara lokal jika G adalah grup topologi, dan ada lingkungan U dari e dalam G sedemikian rupa sehingga pembatasan tindakan menjadi U bebas; yaitu jika g⋅x = x untuk beberapa x dan beberapa g di U lalu g = e.

Selanjutnya, jika G bekerja pada ruang topologi X , maka tindakannya adalah:

Pengembaraan jika setiap titik x pada X memiliki lingkungan U sehingga $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}$ is terhingga.^[3] Misalnya, tindakan $\mathbb {Z} ^{n}$ pada $\mathbb {R} ^{n}$ oleh translasi mengembara. tindakan grup pengembaraan pada setengah bidang Poincaré juga mengembara.
Jika X adalah ruang kompak lokal dan untuk setiap himpunan bagian kompak K ⊂ X thehimpunan $\{g\in G:gK\cap K\neq \emptyset \}$ terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, tindakan $\mathbb {Z}$ pada $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ given by $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.^[4]
Layak jika G adalah grup topologi dan peta dari $G\times X\rightarrow X\times X:(g,x)\mapsto (g\cdot x,x)$ adalah layak.^[5] Jika G adalah diskrit maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk tindakan G .
Dikatakan memiliki orbit diskrit jika orbit setiap x dalam X di bawah tindakan G diskrit dalam X .^[3]
tindakan ruang jika setiap titik x di X memiliki lingkungan U sedemikian rupa sehingga $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}=\{e\}$ .^[6]

Jika X adalahbukan nol modul atas gelanggang R dan tindakan G adalahlinear-R maka dikatakan

Taktereduksikan jika tidak ada submodul invarian wajar taknol.

Orbit dan penstabil

Gabungan dari lima tetrahedra, grup simetri adalah (rotasi) grup ikosahedral I urutan 60, sedangkan penstabil tetrahedron terpilih adalah (rotasi) grup tetrahedral T urutan 12, dan ruang orbit I/T (dari urutan 60/12 = 5) secara alami diidentifikasi dengan 5 tetrahedra, kohimpunan gT sesuai dengan tetrahedron tempat g mengirimkan tetrahedron yang dipilih.

Pertimbangkan grup G yang bertindak pada himpunan X . Orbit dari suatu elemen x dalam X adalah himpunan elemen dalam X di mana x dapat dipindahkan oleh elemen G . Orbit x adalah dengan:

G\cdot x=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}.

Sifat yang menentukan dari grup menjamin bahwa himpunan orbit (titik x ) X di bawah tindakan G membentuk partisi dari X. Relasi setara terkait ditentukan dengan mengatakan x ∼ y jika dan hanya jika terdapat g di G dengan g⋅x = y. Orbitnya kemudian kelas setara es di bawah hubungan ini; dua elemen x dan y setara jika dan hanya jika orbitnya sama, yaitu, G⋅x = G⋅y.

Tindakan kelompok adalah transitif jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu orbit, yaitu, jika ada x dalam X dengan G⋅x = X. This is the case if and only if G⋅x = X untuk semua x dalam X (mengingat bahwa X tidak kosong).

Himpunan semua orbit X di bawah tindakan G ditulis sebagai X/G (atau, lebih jarang: G\X), dan disebut hasil bagi dari tindakan tersebut. Dalam situasi geometris ini bisa disebut ruang orbit, sedangkan dalam situasi aljabar itu bisa disebut ruang konvariat, dan ditulis X_G , berbeda dengan invarian (titik tetap), dilambangkan X^G: varian koin adalah hasil bagi sedangkan invariannya adalah himpunan bagian. Terminologi dan notasi koinvarian digunakan terutama dalam kelompok kohomologi dan grup homologi, yang menggunakan konvensi superskrip/subskrip yang sama.

Himpunan bagian varian

Jika Y adalah himpunan bagian dari X , salah satunya akan menulis GY untukhimpunan tersebut {g⋅y : y ∈ Y dan g ∈ G}. Himpunan bagian Y dikatakan invarian di bawah G jika G⋅Y = Y (yang setara dengan G⋅Y ⊆ Y). Dalam hal ini, G juga beroperasi pada Y dengan membatasi tindakannya menjadi Y . Himpunan bagian Y disebut tetap di bawah G jika g⋅y = y untuk g di G dan semua y di Y . Setiap himpunan bagian yang ditetapkan di bawah G juga invarian di bawah G , tetapi tidak sebaliknya.

Setiap orbit adalah himpunan bagian invarian dari X di mana G bertindak secara transitif. Sebaliknya, setiap himpunan bagian invarian dari X adalah gabungan orbit. Tindakan G pada X adalah transitif jika dan hanya jika semua elemen setara, artinya hanya ada satu orbit.

Elemen G-invarian dari X adalah x ∈ X dirumuskan g⋅x = x untuk g ∈ G. Himpunan dari semua x dilambangkan X^G dan disebut G-invarians dari X . Ketika X adalah Modul-G, X^G adalah grup zeroth kohomologi dari G dengan koefisien dalam X , dan kelompok kohomologi yang lebih tinggi adalah functor turunan dari functor dari G -invarian.

Titik tetap dan subgrup penstabil

Diberikan g dalam G dan x dalam X dengan g⋅x = x, dikatakan bahwa " x adalah titik tetap dari g " atau " g memperbaiki x ". Untuk setiap x dalam X , subkelompok penstabil dari G sehubungan dengan x (juga disebut grup isotropi atau kelompok kecil ^[7]) adalah himpunan semua elemen di G yang memperbaiki x :

G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.

Ini adalah subgrup dari G , meskipun biasanya bukan yang normal. Tindakan G pada X adalah bebas jika dan hanya jika semua penstabil trivial. Kernel N dari homomorfisme dengan grup simetris, G → Sym(X), diberikan oleh persimpangan dari penstabil G_x untuk x dalam X . Jika N sepele, tindakan tersebut dikatakan sesuai (atau efektif).

Misalkan x dan y menjadi dua elemen dalam X , dan biarkan g menjadi elemen grup sedemikian rupa sehingga y = g⋅x. Kemudian dua grup penstabil G_x dan G_y dihubungkan oleh G_y = g G_x g⁻¹. Bukti: menurut definisi, h ∈ G_y jika dan hanya jika h⋅(g⋅x) = g⋅x. Menerapkan g ⁻¹ ke kedua sisi persamaan ini akan menghasilkan (g⁻¹hg)⋅x = x; itu adalah, g⁻¹hg ∈ G_x. Inklusi yang berlawanan mengikuti dengan cara yang sama dengan mengambil h ∈ G_x dan seandainya x = g⁻¹⋅y.

Hal di atas mengatakan bahwa penstabil unsur-unsur dalam orbit yang sama adalah konjugasi satu sama lain. Jadi, untuk setiap orbit, kita dapat mengasosiasikan kelas konjugasi dari subkelompok G (yaitu, himpunan semua konjugasi dari subgrup). Misalkan $(H)$ menunjukkan kelas konjugasi H . Kemudian orbit O bertipe $(H)$ jika penstabil $G_{x}$ dari beberapa/sesuatu x pada O milik $(H)$ . Jenis orbit mtindakanmal sering disebut jenis orbit utama.

Teorema penstabil Orbit dan lema Burnside

Orbit dan penstabil terkait erat. Untuk tetap x dalam X , pertimbangkan peta f:G → X diberikan oleh g ↦ g·x. Menurut definisi gambar f(G) dari peta ini adalah orbit G · x . Syarat dua elemen untuk memiliki citra yang sama adalah

f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}

.

Dengan kata lain, $f(g)=f(h)$ jika dan hanya jika $g$ dan $h$ berada di tempat yang sama kohimpunan untuk subgrup penstabil $G_{x}$ . Jadi, serat $f^{-1}(\{y\})$ dari f di atas setiap y di G · x terkandung dalam koset tersebut, dan setiap koset tersebut juga muncul sebagai serat. Oleh karena itu f mendefinisikan bijeksi antara himpunan $G/G_{x}$ kohimpunan untuk subgrup penstabil dan orbit G · x , yang mengirimkan $gG_{x}\mapsto g\cdot x$ .^[8] Hasil ini dikenal sebagai teorema penstabil orbit .

Jika G berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan Teorema Lagrange, memberikan

|G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,

dengan kata lain panjang orbit x kali urutan penstabilnya adalah urutan grup. Secara khusus yang menyiratkan bahwa panjang orbit adalah pembagi dari ordo grup.

Contoh: Misalkan G menjadi sekelompok orde utama p yang bekerja pada himpunan X dengan elemen k . Karena setiap orbit memiliki elemen 1 atau p , setidaknya ada

k{\bmod {p}}

orbit dengan panjang 1 yang merupakan G elemen invarian.

Hasil ini sangat berguna karena dapat digunakan untuk menghitung argumen (biasanya dalam situasi di mana X juga terbatas).

Grafik kubik dengan simpul berlabel

Contoh: Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah graf. Pertimbangkan grafik kubik seperti yang digambarkan, dan biarkan G menunjukkan grup keautomorfan. Kemudian G bertindak pada himpunan verteks {1, 2, ..., 8}, dan tindakan ini bersifat transitif seperti yang dapat dilihat dengan menyusun rotasi di sekitar pusat kubus. Jadi, dengan teorema penstabil orbit,

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|

. Menerapkan teorema sekarang ke penstabil G ₁, kita bisa mendapatkan

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|

. Setiap elemen G yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5. Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh

2\pi /3

yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7. Jadi,

\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3

. Menerapkan teorema untuk ketiga kalinya memberikan

|(G_{1})_{2}|=|((G_{1})_{2})\cdot 3||((G_{1})_{2})_{3}|

. Setiap elemen G yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6. Mencerminkan kubus di bidang melalui 1,2,7 dan 8 adalah automorfisme yang mengirim 3 hingga 6, jadi

\left|((G_{1})_{2})\cdot 3\right|=2

. Salah satunya juga melihat bahwa

((G_{1})_{2})_{3}

hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari G yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3. Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan

|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48

.

Hasil yang terkait erat dengan teorema penstabil orbit adalah lema Burnside:

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,

dimana X^g himpunan titik tetap oleh g . Hasil ini terutama digunakan ketika G dan X terbatas, bila dapat diartikan sebagai berikut: jumlah orbit sama dengan jumlah rata-rata titik yang ditetapkan per elemen grup.

Menetapkan grup G , himpunan perbedaan formal dari G hingga, himpunan membentuk gelanggang yang disebut gelanggang Burnside dari G , di mana penjumlahan sesuai dengan disjoint union, dan perkalian dengan produk Kartesius.

Tindakan grup dan grupoid

Gagasan tindakan kelompok dapat diletakkan dalam konteks yang lebih luas dengan menggunakan tindakan groupoid $G'=G\ltimes X$ terkait dengan tindakan kelompok, sehingga memungkinkan teknik dari teori grupoid seperti presentasi dan fibrasi. Selanjutnya, penstabil tindakan adalah kelompok puncak, dan orbit tindakan adalah komponen, dari tindakan grupoid. Untuk lebih jelasnya, lihat buku Topologi dan groupoids yang direferensikan di bawah ini

tindakan groupoid ini hadir dengan morfisme p : G ′ → G yang merupakan morfisme yang menutupi grupoid. Hal ini memungkinkan adanya hubungan antara morfisme tersebut dan peta peliputan dalam topologi.

Galeri

Orbit segitiga bola fundamental (ditandai merah) di bawah aksi grup oktahedral penuh.
Orbit segitiga bola fundamental (ditandai dengan warna merah) di bawah aksi grup ikosahedral penuh.

Lihat pula

Referensi

Catatan

^ Artinya, representasi permutasi terkait adalah injektif.

Kutipan

^ Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. hlm. 144.
^ This is done, for example, by Smith (2008). Introduction to abstract algebra. hlm. 253.
^ ^a ^b Thurston, William (1980), The geometry and topology of three-manifolds, Princeton lecture notes, hlm. 175
^ Thurston 1980, hlm. 176.
^ tom Dieck, Tammo (1987), Transformation groups, de Gruyter Studies in Mathematics, 8, Berlin: Walter de Gruyter & Co., hlm. 29, doi:10.1515/9783110858372.312, ISBN 978-3-11-009745-0, MR 0889050
^ Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. hlm. 72. ISBN 0-521-79540-0.
^ Procesi, Claudio (2007). Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 5. ISBN 9780387289298. Diakses tanggal 23 February 2017.
^ M. Artin, Algebra, Proposition 6.4 on p. 179

Lain

Aschbacher, Michael (2000). Finite Group Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78675-1. MR 1777008.
Brown, Ronald (2006). Topology and groupoids, Booksurge PLC, ISBN 1-4196-2722-8.
Categories and groupoids, P.J. Higgins Diarsipkan 2007-10-07 di Wayback Machine., downloadable reprint of van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, which deal with applications of groupoids in group theory and topology.
Dummit, David; Richard Foote (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). Wiley. ISBN 0-471-43334-9.
Eie, Minking; Chang, Shou-Te (2010). A Course on Abstract Algebra. World Scientific. ISBN 978-981-4271-88-2.
Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics 148 (edisi ke-4th). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
Smith, Jonathan D.H. (2008). Introduction to abstract algebra. Textbooks in mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-6371-4.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Action of a group on a manifold", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. "Group Action". MathWorld.

[3] Artinya, representasi permutasi terkait adalah injektif.

[1] Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. hlm. 144.

[2] This is done, for example, by Smith (2008). Introduction to abstract algebra. hlm. 253.

[Thurston_1980_p175-4] Thurston, William (1980), The geometry and topology of three-manifolds, Princeton lecture notes, hlm. 175

[FOOTNOTEThurston1980176-5] Thurston 1980, hlm. 176.

[tom_Dieck_1987_p29-6] tom Dieck, Tammo (1987), Transformation groups, de Gruyter Studies in Mathematics, 8, Berlin: Walter de Gruyter & Co., hlm. 29, doi:10.1515/9783110858372.312, ISBN 978-3-11-009745-0, MR 0889050

[Hatcher_2001-7] Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. hlm. 72. ISBN 0-521-79540-0.

[Procesi-8] Procesi, Claudio (2007). Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 5. ISBN 9780387289298. Diakses tanggal 23 February 2017.

[9] M. Artin, Algebra, Proposition 6.4 on p. 179

[1]

[2]

[a]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]