Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/22

Dalam matematika, jarak Euklides antara kedua titik di ruang Euklides adalah panjang dari segmen garis antara dua titik, dengan koordinat Cartesius dari titik dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras. Jarak tersebut terkadang disebut jarak Pythagoras, yang dinamai dari matematikawan asal Yunani kuno yang bernama Euklides dan Pythagoras. Namun sayangnya, Euklides tidak merepresentasikan jarak sebagai bilangan serta hubungan mengenai perhitungan jarak menggunakan teorema Pythagoras belum ditemukan hingga pada abad ke-18.

Secara umum, jarak antara dua objek yang bukan berupa titik didefinisikan sebagai jarak terkecil di antara pasangan dari titik dadri dua objek. Rumus-rumusnya dikenal sebagai menghitung jarak antara objek yang berbeda, di antaranya: jarak dari titik ke garis. Konsep jarak dalam matematika tingkat lanjut diperumum ke ruang metrik yang abstrak, dan jarak selain Euklides telah dipelajari. Dalam beberapa penerapan seperti statistika dan optimisasi, the square of the Euclidean distance is used instead of the distance itself.

Rumus

Rumus jarak dimensi satu

Jarak antara dua titik pada garis real merupakan nilai mutlak dari selisih numerik koordinat. Dengan kata lain, jika $p$ dan $q$ adalah dua titik pada garis real, maka jarak antara kedua titik tersebut dirumuskan sebagai:^[1] $d(p,q)=|p-q|.$ Adapun rumus yang lebih rumit dengan nilai yang sama seperti sebelumnya, tetapi dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi dengan mudah:^[1] $d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.$ Pada rumus di atas, menguadratkan serta membatalkan akar kuadrat memberikan setiap bilangan positif yang tidak diubah, tetapi menggantikan setiap bilangan negatif melalui nilai mutlaknya.^[1]

Rumus jarak dimensi dua

Misalkan titik $p$ mempunyai koordinat Cartesius $(p 1, p 2)$ dan misalkan $q$ mempunyai koordinat $(q 1, q 2)$ di bidang Euklides. Jarak antara $p$ dan $q$ dinyatakan dengan:^[2] $d(p,q)={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}.$ Rumus ini dapat diperlihatkan dengan menerapkan teorema Pythagoras ke segitiga siku-siku yang mempunyai sisi horizontal dan vertikal, serta segmen garis dari $p$ dan $q$ sebagai hipotenusanya. Dua rumus yang dikuadratkan di dalam akar kuadrat memberikan luas dari persegi pada sisi horizontal dan vertikal, sedangkan yang di luar akar kuadrat mengubah luas dari persegi pada hipotenusa menjadi panjang dari hipotenusa.^[3]

Selain itu, rumus tersebut dapat menghitung jarak untuk titik yang dinyatakan sebagai koordinat polar. Jika koordinat polar dari $p$ adalah $(r, θ)$ dan koordinat polar dari $q$ adalah $(s, ψ)$ , maka berdasarkan hukum kosinus jarak antara kedua koordinat tersebut dinyatakan dengan^[2]: $d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.$

Ketika $p$ dan $q$ diekspresikan sebagai bilangan kompleks di bidang kompleks, rumus yang sama untuk titik dimensi satu yang dinyatakan sebagai bilangan real dapat dipakai, walaupun tanda nilai mutlak pada rumus melambangkan norma kompleks:^[4] $d(p,q)=|p-q|.$

Rumus jarak untuk dimensi lebih tinggi

Rumus Euklides dimensi-

n

diturunkan dengan menerapkan teorema Pythagoras secara berulang.

Untuk titik yang dinyatakan dengan koordinat Cartesius, jarak untuk dimensi tiga dirumuskan sebagai $d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.$ Secara umum, untuk titik yang dinyatakan dengan koordinat Cartesius di ruang Euklides dimensi- $n$ , jaraknya dirumuskan sebagai^[5] $d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.$

Objek selain titik

Untuk pasangan objek yang bukan merupakan titik, jaraknya cukup dapat didefinisikan sebagai jarak terkecil antara setiap dua titik dari dua objek, walaupun ada perumuman yang lebih rumit mengenai jarak dari titik ke himpunan seperti jarak Hausdorff juga umum dipakai.^[6] Rumus menghitung jarak antara jenis objek yang berbeda, di antaranya:

Jarak dari titik ke garis di bidang Euklides^[7]
Jarak dari titik ke bidang di ruang Euklides dimensi tiga^[7]
Jarak antara dua garis di ruang Euklides dimensi tiga^[8]

Sifat-sifat

Jarak Euklides merupakan contoh dari jarak dalam ruang metrik,^[9] dan memenuhi semua sifat dari ruang metrik yang terdefinisi berikut:^[10]

Jarak Euklides bersifat simetrik, yang mengartikan bahwa $d (p, q) = d (q, p)$ untuk semua titik $p$ dan $q$ . That is (unlike road distance with one-way streets) the distance between two points does not depend on which of the two points is the start and which is the destination.^[10]
Jarak Euklides bernilai positif, yang mengartikan bahwa jarak antara dua titik yang berbeda bernilai positif, sedangkan jarak dari setiap titik ke dirinya bernilai nol.^[10]
Jarak Euklides memenuhi ketaksamaan segitiga, yang mengatakan: untuk setiap tiga titik $p$ , $q$ , dan $r$ , $d (p, q) + d (q, r) \geq d (p, r)$ . Secara intuitif, berjalan dari titik $p$ ke titik $r$ melewati titik $q$ tidak dapat lebih pendek dari berjalan langsung dari titik $p$ ke $r$ .^[10]

Adapun pertidaksamaan Ptolemaus, sebuah sifat lain yang melibatkan jarak Euklides di antara empat titik $p$ , $q$ , $r$ , dan $s$ , yang menyatakan bahwa $d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).$ Untuk titik-titik di bidang tersebut, rumus di atas dapat dikatakan bahwa untuk setiap segi empat, perkalian antara sisi yang berhadapan dari jumlah segi empat lebih besar dari perkalian dari sisi diagonalnya. Akan tetapi, pertidaksamaan Ptolemaus lebih umumnya berlaku untuk titik-titik yang ada di ruang Euklides untuk setiap dimensi, tidak peduli bentuk susunannya.^[11] Untuk titik-titik di ruang metrik yang bukan ruang Euklides, pertidaksamaan ini tidak berlaku benar. Geometri jarak Euklides mempelajari sifat-sifat dari jarak Euklides seperti pertidaksamaan Ptolemaus, and mempunyai penerapan yang menentukan himpunan yang diberikan dari jarak yang dimulai dari titik di ruang Euklides.^[12]

^ ^a ^b ^c Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, hlm. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7
^ ^a ^b Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (edisi ke-6th), Cengage Learning, hlm. 698, ISBN 978-0-534-40212-9
^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (edisi ke-6th), Cengage Learning, hlm. 17, ISBN 978-1-111-80864-8
^ Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), "3.1.1 The Distance Between Two Points", Complex Numbers from A to ... Z (edisi ke-2nd), Birkhäuser, hlm. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0
^ Tabak, John (2014), Geometry: The Language of Space and Form, Facts on File math library, Infobase Publishing, hlm. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0
^ Ó Searcóid, Mícheál (2006), "2.7 Distances from Sets to Sets", Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, hlm. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8
^ ^a ^b Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R. (April 1952), "Distance from a line, or plane, to a point", Classroom notes, American Mathematical Monthly, 59 (4): 242–243, doi:10.2307/2306514, JSTOR 2306514
^ Bell, Robert J. T. (1914), "49. The shortest distance between two lines", An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions (edisi ke-2nd), Macmillan, hlm. 57–61
^ Ivanov, Oleg A. (2013), Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics, Springer, hlm. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1
^ ^a ^b ^c ^d Strichartz, Robert S. (2000), The Way of Analysis, Jones & Bartlett Learning, hlm. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0
^ Adam, John A. (2017), "Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays", Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, hlm. 26–27, doi:10.1515/9781400885404-004, ISBN 978-1-4008-8540-4
^ Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, hlm. xi, ISBN 978-3-319-60792-4

[smith-1] Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, hlm. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7

[cohen-2] Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (edisi ke-6th), Cengage Learning, hlm. 698, ISBN 978-0-534-40212-9

[3] Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (edisi ke-6th), Cengage Learning, hlm. 17, ISBN 978-1-111-80864-8

[4] Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), "3.1.1 The Distance Between Two Points", Complex Numbers from A to ... Z (edisi ke-2nd), Birkhäuser, hlm. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0

[5] Tabak, John (2014), Geometry: The Language of Space and Form, Facts on File math library, Infobase Publishing, hlm. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0

[6] Ó Searcóid, Mícheál (2006), "2.7 Distances from Sets to Sets", Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, hlm. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8

[baljer-7] Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R. (April 1952), "Distance from a line, or plane, to a point", Classroom notes, American Mathematical Monthly, 59 (4): 242–243, doi:10.2307/2306514, JSTOR 2306514

[8] Bell, Robert J. T. (1914), "49. The shortest distance between two lines", An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions (edisi ke-2nd), Macmillan, hlm. 57–61

[9] Ivanov, Oleg A. (2013), Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics, Springer, hlm. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1

[strichartz-10] Strichartz, Robert S. (2000), The Way of Analysis, Jones & Bartlett Learning, hlm. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0

[11] Adam, John A. (2017), "Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays", Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, hlm. 26–27, doi:10.1515/9781400885404-004, ISBN 978-1-4008-8540-4

[12] Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, hlm. xi, ISBN 978-3-319-60792-4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]