Wikipedia

Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/22

< Pengguna:Dedhert.Jr‎ | Uji halaman 01
Jarak Euklides dihitung menggunakan teorema Pythagoras.

Dalam matematika, jarak Euklides antara kedua titik di ruang Euklides adalah panjang dari segmen garis antara dua titik, dengan koordinat Cartesius dari titik dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras. Jarak tersebut terkadang disebut jarak Pythagoras, yang dinamai dari matematikawan asal Yunani kuno yang bernama Euklides dan Pythagoras. Namun sayangnya, Euklides tidak merepresentasikan jarak sebagai bilangan serta hubungan mengenai perhitungan jarak menggunakan teorema Pythagoras belum ditemukan hingga pada abad ke-18.

Secara umum, jarak antara dua objek yang bukan berupa titik didefinisikan sebagai jarak terkecil di antara pasangan dari titik dadri dua objek. Rumus-rumusnya dikenal sebagai menghitung jarak antara objek yang berbeda, di antaranya: jarak dari titik ke garis. Konsep jarak dalam matematika tingkat lanjut diperumum ke ruang metrik yang abstrak, dan jarak selain Euklides telah dipelajari. Dalam beberapa penerapan seperti statistika dan optimisasi, the square of the Euclidean distance is used instead of the distance itself.

Rumus

sunting

Rumus jarak dimensi satu

sunting

Jarak antara dua titik pada garis real merupakan nilai mutlak dari selisih numerik koordinat. Dengan kata lain, jika p dan q adalah dua titik pada garis real, maka jarak antara kedua titik tersebut dirumuskan sebagai:[1] Adapun rumus yang lebih rumit dengan nilai yang sama seperti sebelumnya, tetapi dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi dengan mudah:[1] Pada rumus di atas, menguadratkan serta membatalkan akar kuadrat memberikan setiap bilangan positif yang tidak diubah, tetapi menggantikan setiap bilangan negatif melalui nilai mutlaknya.[1]

Rumus jarak dimensi dua

sunting

Misalkan titik p mempunyai koordinat Cartesius (p1, p2) dan misalkan q mempunyai koordinat (q1, q2) di bidang Euklides. Jarak antara p dan q dinyatakan dengan:[2] Rumus ini dapat diperlihatkan dengan menerapkan teorema Pythagoras ke segitiga siku-siku yang mempunyai sisi horizontal dan vertikal, serta segmen garis dari p dan q sebagai hipotenusanya. Dua rumus yang dikuadratkan di dalam akar kuadrat memberikan luas dari persegi pada sisi horizontal dan vertikal, sedangkan yang di luar akar kuadrat mengubah luas dari persegi pada hipotenusa menjadi panjang dari hipotenusa.[3]

Selain itu, rumus tersebut dapat menghitung jarak untuk titik yang dinyatakan sebagai koordinat polar. Jika koordinat polar dari p adalah (r, θ) dan koordinat polar dari q adalah (s, ψ), maka berdasarkan hukum kosinus jarak antara kedua koordinat tersebut dinyatakan dengan[2]:  

Ketika p dan q diekspresikan sebagai bilangan kompleks di bidang kompleks, rumus yang sama untuk titik dimensi satu yang dinyatakan sebagai bilangan real dapat dipakai, walaupun tanda nilai mutlak pada rumus melambangkan norma kompleks:[4]  

Rumus jarak untuk dimensi lebih tinggi

sunting
 
Rumus Euklides dimensi-n diturunkan dengan menerapkan teorema Pythagoras secara berulang.

Untuk titik yang dinyatakan dengan koordinat Cartesius, jarak untuk dimensi tiga dirumuskan sebagai   Secara umum, untuk titik yang dinyatakan dengan koordinat Cartesius di ruang Euklides dimensi-n, jaraknya dirumuskan sebagai[5]  

Objek selain titik

sunting

Untuk pasangan objek yang bukan merupakan titik, jaraknya cukup dapat didefinisikan sebagai jarak terkecil antara setiap dua titik dari dua objek, walaupun ada perumuman yang lebih rumit mengenai jarak dari titik ke himpunan seperti jarak Hausdorff juga umum dipakai.[6] Rumus menghitung jarak antara jenis objek yang berbeda, di antaranya:

Sifat-sifat

sunting

Jarak Euklides merupakan contoh dari jarak dalam ruang metrik,[9] dan memenuhi semua sifat dari ruang metrik yang terdefinisi berikut:[10]

  • Jarak Euklides bersifat simetrik, yang mengartikan bahwa d(p, q) = d(q, p) untuk semua titik p dan q. That is (unlike road distance with one-way streets) the distance between two points does not depend on which of the two points is the start and which is the destination.[10]
  • Jarak Euklides bernilai positif, yang mengartikan bahwa jarak antara dua titik yang berbeda bernilai positif, sedangkan jarak dari setiap titik ke dirinya bernilai nol.[10]
  • Jarak Euklides memenuhi ketaksamaan segitiga, yang mengatakan: untuk setiap tiga titik p, q, dan r, d(p, q) + d(q, r) ≥ d(p, r). Secara intuitif, berjalan dari titik p ke titik r melewati titik q tidak dapat lebih pendek dari berjalan langsung dari titik p ke r.[10]

Adapun pertidaksamaan Ptolemaus, sebuah sifat lain yang melibatkan jarak Euklides di antara empat titik p, q, r, dan s, yang menyatakan bahwa   Untuk titik-titik di bidang tersebut, rumus di atas dapat dikatakan bahwa untuk setiap segi empat, perkalian antara sisi yang berhadapan dari jumlah segi empat lebih besar dari perkalian dari sisi diagonalnya. Akan tetapi, pertidaksamaan Ptolemaus lebih umumnya berlaku untuk titik-titik yang ada di ruang Euklides untuk setiap dimensi, tidak peduli bentuk susunannya.[11] Untuk titik-titik di ruang metrik yang bukan ruang Euklides, pertidaksamaan ini tidak berlaku benar. Geometri jarak Euklides mempelajari sifat-sifat dari jarak Euklides seperti pertidaksamaan Ptolemaus, serta mempunyai penerapan yang menentukan himpunan yang diberikan dari jarak yang dimulai dari titik di ruang Euklides.[12]

Jarak Euklides kuadrat

sunting
 
Sebuah kerucut, yang dibentuk dari grafik dari jarak Euklides dari titik asal di bidang.
 
Sebuah paraboloid, yang dibentuk dari grafik dari jarak Euklides kuadrat dari titik asal

Dalam banyak penerapan, khususnya saat membandingkan jarak, perhitungan akar kuadrat dalam jarak Euklides mungkin terasa lebih nyaman jika dihilangkan. Nilai dari hasil tersebut merupakan penguadratan dari jarak Euklides, dan disebut jarak Euklides kuadrat.[13] Jarak Euklides kuadrat dapat dinyatakan sebagai jumlah kuadrat melalui persamaan berikut:

 

Selain penerapannya dalam membandingkan jarak, jarak Euklides kuadrat merupakan alat penting di bidang statistika. Jarak tersebut dipakai dalam metode kuadrat terkecil, sebuah metode statistik penyuaian (method of fitting statistical) yang mengestimasi data dengan meminimum rerata dari jarak kuadrat di antara nilai yang diamati dan nilai yang diestimasi,[14] dan dipakai sebagai bentuk divergensi sederhana untuk membandingkan distribusi probabilitas.[15] The addition of squared distances to each other, as is done in least squares fitting, corresponds to an operation on (unsquared) distances called Pythagorean addition.[16] Dalam analisis kluster, jarak kuadrat dapat dipakai untuk memperkuat efek dari jarak yang lebih panjang.[13]

Jarak Euklides kuadrat tidak membentuk ruang metrik, sebab tidak memenuhi ketaksamaan segitiga.[17] Akan tetapi, jaraknya bersifat mulus, yakni berupa fungsi cembung sempurna dari dua titik, tidak seperti jarak biasa yang tidak mulus (mendekati pasangan dari titik yang sama) dan cembung (tetapi bukan cembung sempurna). Karena itu, jarak Euklides kuadrat seringkali dipakai dalam teori optimisasi, sebab jarak tersebut memungkinkan pemakaian analisis cembung. Selain itu, karena penguadratan merupakan fungsi monotonik dari nilai non-negatif, maka peminimuman jarak kuadrat ekuivalen dengan peminimuman jarak Euklides, sehingga masalah optimisasi juga ekuivalen dengan masalah yang sama, tetapi penyelesaiannya menjadi lebih mudah ketika memakai jarak kuadrat.[18]

Kumpulan dari semua jarak kuadrat di antara pasangan titik dari himpunan terhingga dapat disimpan dalam sebuah matriks jarak Euklides, serta dipakai ke bentuk tersebut dalam geometri jarak.[19]

Perumuman

sunting

Dalam cabang matematika lebih lanjut, saat jarak Euklides dipandang sebagai ruang vektor, jaraknya diiringi dengan norma yang disebut sebagai norma Euklides, didefinisikan sebagai jarak dari masing-masing vektor yang berawal dari titik asal. One of the important properties of this norm, relative to other norms, is that it remains unchanged under arbitrary rotations of space around the origin.[20] Menurut teorema Dvoretzky, setiap ruang vektor bernorma dimensi terhingga mempunyai subruang dimensi tinggi dengan norma yang kira-kira dekat dengan norma Euklides, satu-satunya norma yang ada di sifat tersebut.[21] Jarak Euklides dapat diperluas ke ruang vektor berdimensi tak terhingga sebagai norma L2.[22] Jarak Euklides memberikan ruang Euklides suatu struktur ruang topologis, topologi Euklides, dengan bola pejal terbuka (subhimpunan dari titik yang lebih sedikit daripada jarak yang berawal dari titik yang diketahui) sebagai lingkungannya.[23]

Jarak umum lainnya dalam ruang Euklides beserta ruang vektor berdimensi rendah melibatkan:[24]

  • Jarak Chebyshev, yang menghitung jarak yang hanya dengan mengasumsi bahwa dimensi yang sangat signifikan adalah penting.
  • Jarak Manhattan, yang menghitung jarak hanya dengan mengikuti arah pada sumbu.
  • Jarak Minkowski, suatu perumuman yang menyatukan jarak Euklides, jarak Manhattan, dan jarak Chebyshev.

For points on surfaces in three dimensions, the Euclidean distance should be distinguished from the geodesic distance, the length of a shortest curve that belongs to the surface. In particular, for measuring great-circle distances on the earth or other spherical or near-spherical surfaces, distances that have been used include the haversine distance giving great-circle distances between two points on a sphere from their longitudes and latitudes, and Vincenty's formulae also known as "Vincent distance" for distance on a spheroid.[25]

Asal-muasal

sunting

Jarak Euklides adalah jarak di dalam ruang Euklides yang dinamai dari seorang matematikawan Yunani kuno yang bernama Euklides. Konsep tersebut dijelaskan dalam bukunya, Elements, yang menjadi buku cetak standar selama bertahun.[26] Konsep tentang panjang dan jarak yang tersebar luas di seluruh budaya, kemungkinan berawal dari earliest surviving "protoliterate" bureaucratic documents from Sumer in the fourth millennium BC (far before Euclid),[27] and have been hypothesized to develop in children earlier than the related concepts of speed and time.[28] But the notion of a distance, as a number defined from two points, does not actually appear in Euclid's Elements. Instead, Euclid approaches this concept implicitly, through the congruence of line segments, through the comparison of lengths of line segments, and through the concept of proportionality.[29]

The Pythagorean theorem is also ancient, but it could only take its central role in the measurement of distances after the invention of Cartesian coordinates by René Descartes in 1637. The distance formula itself was first published in 1731 by Alexis Clairaut.[30] Because of this formula, Euclidean distance is also sometimes called Pythagorean distance.[31] Although accurate measurements of long distances on the earth's surface, which are not Euclidean, had again been studied in many cultures since ancient times (see history of geodesy), the idea that Euclidean distance might not be the only way of measuring distances between points in mathematical spaces came even later, with the 19th-century formulation of non-Euclidean geometry.[32] The definition of the Euclidean norm and Euclidean distance for geometries of more than three dimensions also first appeared in the 19th century, in the work of Augustin-Louis Cauchy.[33]

Referensi

sunting
  1. ^ a b c Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, hlm. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7 
  2. ^ a b Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (edisi ke-6th), Cengage Learning, hlm. 698, ISBN 978-0-534-40212-9 
  3. ^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (edisi ke-6th), Cengage Learning, hlm. 17, ISBN 978-1-111-80864-8 
  4. ^ Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), "3.1.1 The Distance Between Two Points", Complex Numbers from A to ... Z (edisi ke-2nd), Birkhäuser, hlm. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0 
  5. ^ Tabak, John (2014), Geometry: The Language of Space and Form, Facts on File math library, Infobase Publishing, hlm. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0 
  6. ^ Ó Searcóid, Mícheál (2006), "2.7 Distances from Sets to Sets", Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, hlm. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8 
  7. ^ a b Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R. (April 1952), "Distance from a line, or plane, to a point", Classroom notes, American Mathematical Monthly, 59 (4): 242–243, doi:10.2307/2306514, JSTOR 2306514 
  8. ^ Bell, Robert J. T. (1914), "49. The shortest distance between two lines", An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions (edisi ke-2nd), Macmillan, hlm. 57–61 
  9. ^ Ivanov, Oleg A. (2013), Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics, Springer, hlm. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1 
  10. ^ a b c d Strichartz, Robert S. (2000), The Way of Analysis, Jones & Bartlett Learning, hlm. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0 
  11. ^ Adam, John A. (2017), "Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays", Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, hlm. 26–27, doi:10.1515/9781400885404-004, ISBN 978-1-4008-8540-4 
  12. ^ Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, hlm. xi, ISBN 978-3-319-60792-4 
  13. ^ a b Spencer, Neil H. (2013), "5.4.5 Squared Euclidean Distances", Essentials of Multivariate Data Analysis, CRC Press, hlm. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2 
  14. ^ Randolph, Karen A.; Myers, Laura L. (2013), Basic Statistics in Multivariate Analysis, Pocket Guide to Social Work Research Methods, Oxford University Press, hlm. 116, ISBN 978-0-19-976404-4 
  15. ^ Csiszár, I. (1975), "I-divergence geometry of probability distributions and minimization problems", Annals of Probability, 3: 146–158, doi:10.1214/aop/1176996454, JSTOR 2959270, MR 0365798 
  16. ^ Moler, Cleve and Donald Morrison (1983), "Replacing Square Roots by Pythagorean Sums" (PDF), IBM Journal of Research and Development, 27 (6): 577–581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651  , doi:10.1147/rd.276.0577 
  17. ^ Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), "Euclidean distance based permutation methods in atmospheric science", dalam Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr., Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences, Springer, hlm. 7–27, doi:10.1007/978-1-4757-6581-6_2 
  18. ^ Kaplan, Wilfred (2011), Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, 51, John Wiley & Sons, hlm. 61, ISBN 978-1-118-03104-9 
  19. ^ Alfakih, Abdo Y. (2018), Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory, Springer, hlm. 51, ISBN 978-3-319-97846-8 
  20. ^ Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011), Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System, John Wiley & Sons, hlm. 106, ISBN 978-3-527-63457-6 
  21. ^ Matoušek, Jiří (2002), Lectures on Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, hlm. 349, ISBN 978-0-387-95373-1 
  22. ^ Ciarlet, Philippe G. (2013), Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, hlm. 173, ISBN 978-1-61197-258-0 
  23. ^ Richmond, Tom (2020), General Topology: An Introduction, De Gruyter, hlm. 32, ISBN 978-3-11-068657-9 
  24. ^ Klamroth, Kathrin (2002), "Section 1.1: Norms and Metrics", Single-Facility Location Problems with Barriers, Springer Series in Operations Research, Springer, hlm. 4–6, doi:10.1007/0-387-22707-5_1 
  25. ^ Panigrahi, Narayan (2014), "12.2.4 Haversine Formula and 12.2.5 Vincenty's Formula", Computing in Geographic Information Systems, CRC Press, hlm. 212–214, ISBN 978-1-4822-2314-9 
  26. ^ Zhang, Jin (2007), Visualization for Information Retrieval, Springer, ISBN 978-3-540-75148-9 
  27. ^ Høyrup, Jens (2018), "Mesopotamian mathematics" (PDF), dalam Jones, Alexander; Taub, Liba, The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science, Cambridge University Press, hlm. 58–72 
  28. ^ Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), "The understanding of relative speeds, distances, and durations of movement", Developmental Psychology, 17 (4): 490–493, doi:10.1037/0012-1649.17.4.490 
  29. ^ Henderson, David W. (2002), "Review of Geometry: Euclid and Beyond by Robin Hartshorne", Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 563–571, doi:10.1090/S0273-0979-02-00949-7   
  30. ^ Maor, Eli (2019), The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, Princeton University Press, hlm. 133–134, ISBN 978-0-691-19688-6 
  31. ^ Rankin, William C.; Markley, Robert P.; Evans, Selby H. (March 1970), "Pythagorean distance and the judged similarity of schematic stimuli", Perception & Psychophysics, 7 (2): 103–107, doi:10.3758/bf03210143   
  32. ^ Milnor, John (1982), "Hyperbolic geometry: the first 150 years", Bulletin of the American Mathematical Society, 6 (1): 9–24, doi:10.1090/S0273-0979-1982-14958-8  , MR 0634431 
  33. ^ Ratcliffe, John G. (2019), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149 (edisi ke-3rd), Springer, hlm. 32, ISBN 978-3-030-31597-9 
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/w/index.php?title=Pengguna:Dedhert.Jr/Uji_halaman_01/22&oldid=22626496"