Balok jajar genjang

Parallelepiped
Jenis	PrismaPlesiohedron
Muka	6 jajar genjang
Rusuk	12
Titik pojok	8
Grup simetri	Ci, [2+,2+], (×), orde 2
Sifar	cembu, zonohedron

Dalam geometri, balok jajargenjang (bahasa Inggris: parallelepiped) adalah bangunan dimensi tiga yang dibentuk oleh enam bangun datar jajargenjang, mirip seperti kubus yang dibentuk oleh persegi. Balok jajargenjang mempunyai tiga definisi yang ekuivalen

• sebuah polihedron yang mempunyai enam muka (heksahedron), tetapi berupa jajargenjang;
• sebuah heksahedron yang mempunyai tiga pasangan muka yang sejajar; dan
• sebuah prisma yang mempunyai alas berbentuk jajargenjang.

Terdapat kasus istimewa dari balok jajar genjang, seperti: Balok berbentuk persegi panjang, yang mempunyai enam muka persegi panjang; kubus yang mempunyai enam muka persegi; dan rombohedron yang mempunyai enam muka layang-layang.

Balok jajar genjang merupakan subkelas dari prismatoid.

Sifat

Salah satu dari tiga pasangan permukaan paralel dapat dipandang sebagai bidang alas prisma. Paralelepiped memiliki tiga set empat tepi paralel; tepi dalam setiap set memiliki panjang yang sama.

Parallelepiped memiliki hasil transformasi linear dari kubus.

Karena setiap permukaan memiliki simetri titik, paralelepiped adalah bentuk dari zonohedron. Ada pula seluruh paralelepiped memiliki titik simetri C_i (lihat pula triklinik). Setiap sisi dapat dilihat dari luar, salah satu bayangan cermin dari sisi yang berlawanan. Muka pada umumnya berbentuk kiral, tetapi parallelepiped nya tidak.

Sebuah tessellation ruang yang mengisi kemungkinan dengan kongruen salinan parallelepiped apapun.

Rumus paralelipiped pada luas permukaan

Luas permukaan pada paralelepiped adalah jumlah dari luas jajaran genjang pembatas:

$A=2\cdot \left(|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {c}}|+|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\right)$

$=2(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta )\$.

Rumus paralelipiped pada volume

Parallelepiped, dengan menggunakan vektor

Sebuah paralelepiped dapat dianggap sebagai prisma miring dengan jajaran genjang sebagai alasnya. Karena itu volume pada $V$ dari sebuah parallelepiped adalah hasil kali dari luas alas $L$ dan tinggi $t$ (sebagai diagram). Yaitu

$L=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin \gamma =|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|~$ (darimana $\gamma$ adalah segitiga vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$), dan

$h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos \theta ~|~$ (darimana $\theta$ adalah segitiga vektor ${\vec {c}}$ dan normal) yaitu:

$V=L\cdot t=(|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \gamma )\cdot |{\vec {c}}||\cos \theta ~|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|~|{\vec {c}}|~|\cos \theta ~|=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|~.$

The mixed product of three vectors is called triple product. It can be described by a determinant. Hence for ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T},~{\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T},~{\vec {c}}=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T},$ the volume is:

(V1) $\quad V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\;\right|$ .

Produk campuran dari tiga vektor disebut perkalian tiga. Hal tersebut bisa dijelaskan oleh determinan. Karena:

(V2)$\quad V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}$ ,

Darimana $\ \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\;\beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\;\gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}}),\$ and $a,b,c$ adalah panjang tepi.

Proof of (V2)

The proof of (V2) uses properti pada determinant dan produk campuran pada geometri:

Let be $M$ the 3x3-matrix, whose columns are the vectors ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ (see above). Then the following is true:

$V^{2}=(\det M)^{2}=\det M\det M=\det M^{T}\det M=\det(M^{T}M)$

$=\det {\begin{bmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{bmatrix}}=\ a^{2}b^{2}c^{2}\;\left(1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\right).$

(The last step uses $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=a^{2},...,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=ab\cos \gamma ,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=ac\cos \beta ,\;{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=bc\cos \alpha ,...$)

Tetrahedron yang sesuai

Volume setiap tetrahedron yang berbagi tiga tepi konvergen dari parallelepiped sama dengan seperenam volume dari parallelepiped tersebut (lihat bukti).