Lingkaran

Lingkaran adalah bentuk yang terdiri dari semua titik dalam bidang yang berjarak tertentu dari titik tertentu, pusat; ekuivalennya adalah kurva yang dilacak oleh titik yang bergerak dalam bidang sehingga jaraknya dari titik tertentu adalah konstan. Jarak antara titik mana pun dari lingkaran dan pusat disebut jari-jari. Artikel ini adalah tentang lingkaran dalam geometri Euklides, dan, khususnya, bidang Euklides, kecuali jika dinyatakan sebaliknya.

Secara khusus, sebuah lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang membagi pesawat menjadi dua wilayah: interior dan eksterior. Dalam penggunaan sehari-hari, istilah "lingkaran" dapat digunakan secara bergantian untuk merujuk pada batas gambar, atau keseluruhan gambar termasuk bagian dalamnya; dalam penggunaan teknis yang ketat, lingkaran hanyalah batas dan seluruh gambar disebut cakram.

Lingkaran juga dapat didefinisikan sebagai jenis elips khusus di mana dua fokus bertepatan dan eksentrisitasnya adalah 0, atau bentuk dua dimensi yang melingkupi area per satuan perimeter kuadrat, menggunakan kalkulus variasi.

Definisi Euclid

Lingkaran adalah sosok bidang yang dibatasi oleh satu garis lengkung, dan sedemikian rupa sehingga semua garis lurus yang ditarik dari titik tertentu di dalamnya ke garis pembatas, adalah sama. Garis pembatas disebut kelilingnya dan titiknya, pusatnya.
— Euclid, Elements, Book I^[1]^:4

Definisi topologis

Di bidang topologi, lingkaran tidak terbatas pada konsep geometris, tetapi untuk semua homeomorfismenya. Dua lingkaran topologi setara jika satu dapat ditransformasikan menjadi yang lain melalui deformasi R³ pada dirinya sendiri (dikenal sebagai ambient isotopy)^[2]

Istilah dalam lingkaran

Beberapa istilah geometri mengenai lingkaran, yaitu:

Titik pusat: merupakan titik tengah lingkaran, di mana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.

Jari-jari atau radius: merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan sebarang titik pada lingkaran.
Tali busur: merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik yang berbeda pada lingkaran.
Diameter: merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
Garis potong: merupakan garis perpanjangan tali busur, memotong lingkaran di dua titik berbeda.
Garis singgung: merupakan garis yang menyentuh lingkaran tepat hanya pada satu titik.
Apotema: merupakan ruas garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

Busur: merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
Keliling lingkaran: merupakan busur terpanjang pada lingkaran
Juring: merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
Tembereng: merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
Cakram: merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Sejarah

Dalam bahasa Inggris, lingkaran disebut dengan circle serta memiliki kaitan yang erat dengan kata circus ataupun circuit. Sementara itu, lingkaran dalam bahasa Yunani adalah κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos) yang merupakan metatesis dari bahasa Yunani homerik yaitu κρίκος atau krikos artinya cincin, gelang, atau simpai.^[3]

Gambar lingkaran dalam astronomi Arab kuno

Keberadaan lingkaran telah ada sejak zaman prasejarah. Objek-objek alami seperti Bulan dan Matahari memiliki bentuk lingkaran jika diamat. Penemuan bangun datar lingkaran juga telah menjadi dasar dari perkembangan cabang ilmu lainnya seperti geometri, astronomi, dan kalkulus. Penemuan roda menjadi cikal bakal penemuan dari sifat-sifat yang dimiliki lingkaran.^[4]

Bangsa Yunani mengatakan bahwa bangsa Mesir merupakan bangsa penemu ilmu geometri. Ahmes yang merupakan seorang penulis Rhind papyrus mengemukakan aturan untuk menentukan luas lingkaran yang bernilai 256/81 atau sekitar 3,16. Sementara itu, pada 650 SM, Thales merupakan orang yang pertama kali mengemukakan teorema yang berkaitan dengan lingkaran. Pada buku The Euclid III mengemukakan tentang elemen-elemen lingkaran dan penulisan segibanyak. Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah mencari luas persegi dengan luas yang sama seperti lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal' pertama kali dicoba untuk memecahkan masalah tersebut. Anaxagoras pada 450 SM adalah matematikawan yang tercatat pertama kali mempelajari masalah ini.^[4]

Persamaan lingkaran

Suatu lingkaran memiliki persamaan

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}\!

dengan $R\!$ adalah jari-jari lingkaran dan $(x_{0},y_{0})\!$ adalah koordinat pusat lingkaran.

Jika pusat lingkaran terdapat di $(0,0)\!$ , maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

x^{2}+y^{2}=R^{2}\!

Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk

x^{2}+Ax+y^{2}+By+C=0\!

dengan ${\sqrt {{\frac {A^{2}+B^{2}}{4}}-C}}\!$ adalah jari-jari lingkaran dan $(-{\frac {A}{2}},-{\frac {B}{2}})\!$ adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

x=x_{0}+R\cos(t)\!

y=y_{0}+R\sin(t)\!

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus

L=\pi r^{2}\!

L = luas

r = jari-jari (radius)

π = Pi (kira-kira 22/7 atau 3.14)

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

\mathrm {d} A=r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r

dalam koordinat polar, yaitu

\int \mathrm {d} A=\int _{r=0}^{R}\int _{\theta =0}^{2\pi }r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r=\int _{r=0}^{R}r\,\mathrm {d} r\int _{\theta =0}^{2\pi }\,\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}(R^{2}-0^{2})\ (2\pi -0)=\pi R^{2}

.

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam $R_{1}\!$ dan jari-jari luar $R_{2}\!$ .

Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

A(R,\theta )={\frac {1}{2}}R^{2}\theta \!

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas juring adalah ${\frac {\theta }{360}}\pi r^{2}$ atau ${\frac {\theta }{2}}r^{2}$

Luas tembereng

Luas tembereng = ${\frac {1}{2}}r^{2}\theta -{\frac {1}{2}}r^{2}\sin(\theta )$

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam $r$ dan jari-jari luar $R$ , yaitu

A_{\text{cincin}}=\pi (R^{2}-r^{2})

di mana untuk $r=0\!$ , rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

A_{\text{potongan cincin}}={\frac {\pi }{2}}(R^{2}-r^{2})\theta

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

K=2\pi r\!=\pi d\!

K = keliling

r = jari-jari

π = Pi (kira-kira 22/7 atau 3.14)

d = diameter

dimana $K$ , $r$ , $d$ melambangkan keliling, jari-jari, dan diameter lingkaran.

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

L=R\theta \!

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

\mathrm {d} L=\int {\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x

di mana digunakan

y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda $\pm$ mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

Panjang busur adalah ${\frac {\theta }{360}}2\pi r$ atau $\theta r$