Bayangan (matematika)
Dalam matematika, bayangan (bahasa Inggris: image) fungsi adalah himpunan dari semua nilai keluaran (bahasa Inggris: output) yang dapat dihasilkan.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Codomain2.SVG/320px-Codomain2.SVG.png)
Struktur aljabar → Teori grup Teori grup |
---|
![]() |
Lebih umumnya lagi, ketika mencari fungsi yang diketahui di setiap anggota subhimpunan dari domainnya akan menghasilkan sebuah himpunan, dan hal tersebut dikatakan sebagai "bayangan di bawah fungsi." Mirip seperti sebelumnya, prabayangan (bahasa Inggris: preimage) subhimpunan dari kodomain adalah himpunan semua anggota dari domain yang memetakan ke anggota
Bayangan dan prabayangan tidak hanya dapat didefinisikan untuk fungsi, tetapi juga untuk relasi biner.
Definisi
suntingKata "bayangan" digunakan dalam tiga cara. Dalam definisi ini, menyatakan fungsi yang memetakan dari himpunan ke himpunan .
- Bayangan anggota
- Jika anggota dari , maka bayangan di bawah , dinotasikan , adalah nilai keluaran untuk argumen .
- Bayangan subhimpunan
- Misalkan adalah fungsi. Bayangan di bawah dari subhimpunan adalah himpunan semua untuk , diberi notasi . Definisi ini dapat ditulis menggunakan notasi ungkapan himpunan, yaitu:[1][2] Dengan demikian, akan menyebabkan dengan menyatakan himpunan kuasa dari himpunan , himpunan yang mengandung semua subhimpunan . Lihat § Notasi di bawah.
- Bayangan fungsi
- Bayangan fungsi adalah bayangan dari seluruh daerah asal fungsi, atau dikenal sebagai range fungsi.[3] Akan tetapi, hindari penggunaan kata "range" sebab dapat diartikan sebagai kodomain .
- Perumuman bayangan fungsi ke relasi biner
- Jika menyatakan sebarang relasi biner di perkalian Cartesius dan , dinotasikan , maka himpunan disebut bayangan atau range . Himpunan disebut daerah asal .
Prabayangan fungsi
suntingMisalkan adalah fungsi yang dipetakan dari ke Prabayangan dari hmpunan di bawah diberi notasi adalah subhimpunan yang didefinisikan dengan Terdapat notasi lain untuk prabayangan fungsi, seperti dan [4] Prabayangan fungsi dari himpunan singleton, yang dilambangkan dengan atau juga disebut sebagai fiber, atau fiber atas , atau himpunan aras dari Himpunan dari semua fiber atas anggota merupakan keluarga himpunan dengan indeks
Notasi untuk bayangan dan prabayangan
suntingPemakaian notasi di bagian sebelumnya dapat membingungkan. Oleh karena itu, terdapat notasi alternatif yang memberikan nama eksplisit [5] untuk bayangan dan prabayangan sebagai fungsi di antara himpunan kuasa:
- Notasi panah
- dengan
- dengan
- Notasi bintang
- sebagai pengganti
- sebagai pengganti
- Notasi lain
- Notasi lain untuk yang digunakan dalam logika matematika dan teori himpunan adalah ' .[6][7]
Sifat-sifat
suntingSifat-sifat umum
suntingUntuk setiap fungsi dan semua himpunan bagian and , berlaku sifat-sifat berikut:
Bayangan | Prabayangan |
---|---|
(adalah sama jika , sebagai contoh, jika surjektif)[8][9] | (adalah sama jika injektif)[8][9] |
jika dan hanya jika | jika dan hanya jika |
jika dan hanya jika terdapat sehingga | jika dan hanya jika |
jika dan hanya jika | jika dan hanya jika |
[8] | |
[10] | [10] |
[10] | [10] |
Juga:
- jika dan hanya jika
Fungsi banyak
suntingUntuk fungsi dan dengan subhimpunan dan , berlaku sifat-sifat berikut:
Subhimpunan daeral asal atau kodomain banyak
suntingUntuk fungsi dan subhimpunan and , berlaku sifat-sifat berikut:
Bayangan | Prabayangan |
---|---|
[10][11] | |
[10][11] (adalah sama jika injektif[12]) |
|
[10] (adalah sama jika injektif[12]) |
[10] |
(adalah sama jika injektif) |
Hasil tersebut tidak hanya mengaitkan bayangan dan prabayangan dengan pasang subhimpunan, tetapi juga mengaitkannya dengan aljabar irisan dan gabungan (Boole) untuk setiap koleksi subhimpunan:
dapat berupa himpunan tak terhingga, bahkan tak terhitung.)
Fungsi bayangan invers adalah homomorfisme kekisi terhadap aljabar himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya, sedangkan fungsi bayangan hanyalah homomorfisme semikekisi (dalam artian, tidak selalu mempertahankan irisan himpunan).
Lihat pula
suntingCatatan
sunting- ^ "5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2019-11-05. Diakses tanggal 2020-08-28.
- ^ Paul R. Halmos (1968). Naive Set Theory. Princeton: Nostrand. Bagian 8
- ^ Weisstein, Eric W. "Image". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-28.
- ^ Dolecki & Mynard 2016, hlm. 4-5.
- ^ Blyth 2005, hlm. 5.
- ^ Jean E. Rubin (1967). Set Theory for the Mathematician . Holden-Day. hlm. xix. ASIN B0006BQH7S.
- ^ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFUDiarsipkan 2018-02-07 di Wayback Machine., 29 Desember 2005, on: Semantic Scholar, hlm. 2
- ^ a b c See Halmos 1960, hlm. 39
- ^ a b Munkres 2000, hlm. 19
- ^ a b c d e f g h Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
- ^ a b Kelley 1985, hlm. 85
- ^ a b Munkres 2000, hlm. 21
Referensi
sunting- Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
- Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5..
- Templat:Dolecki Mynard Convergence Foundations Of Topology
- Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory . The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
- Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. 27 (edisi ke-2). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
- Templat:Munkres Topology