Epimorfisma

Halaman ini berisi artikel tentang fungsi matematika. Untuk fenomena biologis, lihat Epimorfosis.

Dalam teori kategori, epimorfisma (juga disebut morfisme epik atau, bahasa sehari-hari, epi) adalah morfisma f:X→Y sehingga adalah pembatalan-kanan dalam arti bahwa, untuk semua objek Z dan semua morfisme g₁, g₂: Y → Z,

$g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.$

Epimorfisme adalah analog kategoris dari ke atau fungsi dugaan s (dan dalam kategori himpunan konsepnya sesuai persis dengan fungsi konjektur), tetapi mungkin tidak persis sama di semua konteks; misalnya, penyertaan $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ adalah epimorfisme cincin. dual dari suatu epimorfisme adalah monomorfisme (yaitu epimorfisme dalam kategori C adalah monomorfisme dalam kategori ganda C^op).

Banyak penulis di aljabar abstrak dan aljabar universal mendefinisikan 'epimorfisme' hanya sebagai ke atau konjektur homomorfisme. Setiap epimorfisme dalam pengertian aljabar ini merupakan epimorfisme dalam pengertian teori kategori, tetapi kebalikannya tidak berlaku untuk semua kategori. Dalam artikel ini, istilah "epimorfisme" akan digunakan dalam pengertian teori kategori yang diberikan di atas. Untuk lebih lanjut tentang ini, lihat § Terminologi di bawah.

Contoh

Setiap morfisme dalam kategori konkret yang fungsi yang mendasarinya adalah perkiraan adalah epimorfisme. In banyak kategori konkret yang menarik, sebaliknya juga benar. Misalnya, dalam kategori berikut, epimorfisme persis dengan morfisme yang menduga pada himpunan yang mendasarinya:

• Himpunan: himpunan dan fungsi. Untuk membuktikan itu setiap epimorfisme f: X → Y pada Himpunan bersifat dugaan, kami menyusunnya dengan fungsi karakteristik g₁: Y → {0,1} dari galeri f(X) dan peta g₂: Y → {0,1} yaitu konstan 1.
• Rel: disetel dengan relasi biner dan fungsi pemelihara relasi. Di sini kita bisa menggunakan bukti yang sama seperti untuk Himpunan, melengkapi {0,1} dengan relasi penuh {0,1}×{0,1}.
• Pos: himpunan terurut sebagian dan fungsi monoton. Jika f : (X, ≤) → (Y, ≤) tidak surjective, pilih y₀ in Y \ f(X) dan maka g₁ : Y → {0,1} menjadi fungsi karakteristik {y | y₀ ≤ y} dan g₂ : Y → {0,1} fungsi karakteristik {y | y₀ < y}. Peta ini bersifat monoton jika {0,1} diberikan urutan standar 0 <1.
• Grp: grup dan homomorfisme kelompok. Hasil bahwa setiap epimorfisme dalam Grp bersifat dugaan adalah karena Otto Schreier (dia sebenarnya membuktikan lebih, menunjukkan bahwa setiap subgrup adalah equalizer menggunakan produk bebas dengan satu subgrup gabungan); bukti dasar dapat ditemukan di (Linderholm 1970).
• FinGrp: kelompok hingga dan homomorfisme grup. Juga karena Schreier; bukti yang diberikan dalam (Linderholm 1970) menegaskan kasus ini juga.
• Ab: grup abelian dan homomorfisme grup.

Konsep terkait

Di antara konsep berguna lainnya adalah epimorfisme biasa, epimorfisme ekstrem, epimorfisme langsung, epimorfisme kuat, dan epimorfisme terbagi.

• Sebuah epimorfisme dikatakan biasa jika merupakan penggabung dari beberapa pasangan morfisme paralel.
• Sebuah epimorfisme $\varepsilon$ dikatakan ekstrem jika di setiap representasi $\varepsilon =\mu \circ \varphi$, dimana $\mu$ adalah monomorfisme, morfisme $\mu$ secara otomatis menjadi isomorfisme.
• Sebuah epimorfisme $\varepsilon$ dikatakan langsung jika dalam setiap representasi $\varepsilon =\mu \circ \varepsilon '$, dimana $\mu$ adalah monomorfisme dan $\varepsilon '$ adalah epimorfisme, morfisme $\mu$ secara otomatis menjadi isomorfisme.

• 

  Sebuah epimorfisme $\varepsilon :A\to B$ dikatakan kuat jika ada monomorphism $\mu :C\to D$ dan morfisme apapun $\alpha :A\to C$ dan $\beta :B\to D$ seperti yang $\beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha$, ada morfisme $\delta :B\to C$ seperti yang $\delta \circ \varepsilon =\alpha$ dan $\mu \circ \delta =\beta$.
• Sebuah epimorfisme $\varepsilon$ dikatakan terbelah jika ada morfisme $\mu$ seperti yang $\varepsilon \circ \mu =1$ (dalam hal ini $\mu$ disebut invers sisi kanan untuk $\varepsilon$).

Ada juga gagasan ' epimorfisme homologis dalam teori cincin. Morfisme f: A → B of cincin adalah epimorfisme homologis jika merupakan epimorfisme dan menginduksi fungsi penuh dan setia pada kategori turunan: D(f) : D(B) → D(A).

Morfisme yang merupakan monomorfisme dan epimorfisme disebut bimorfisme. Setiap isomorfisme adalah bimorfisme tetapi kebalikannya tidak benar secara umum. Misalnya, peta dari interval setengah terbuka [0,1) ke lingkaran satuan S¹.

Epimorfisme digunakan untuk mendefinisikan objek hasil bagi abstrak dalam kategori umum: dua epimorfisme f₁ : X → Y₁ dan f₂ : X → Y₂ dikatakan setara jika terdapat isomorfisme j : Y₁ → Y₂ with j f₁ = f₂. Ini adalah hubungan kesetaraan, dan kelas kesetaraan didefinisikan sebagai objek hasil bagi dari X.

Lihat pula

• Daftar topik teori kategori
• Monomorfisme

Daftar pustaka

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2015-04-21. Diakses tanggal 2020-11-06. 
• Bergman, George (2015). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. Springer. ISBN 978-3-319-11478-1. 
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193. 
• Tsalenko, M.S.; Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Epimorphism", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Sets for Mathematics. Cambridge university press. ISBN 0-521-80444-2. 
• Linderholm, Carl (1970). "A Group Epimorphism is Surjective". American Mathematical Monthly. 77: 176–177. doi:10.1080/00029890.1970.11992448. 

Pranala luar

• epimorphism di nLab
• Strong epimorphism di nLab