Fungsi linear (kalkulus)

Dalam matematika, istilah fungsi linear dapat mengacu kepada salah satu dari dua konsep berbeda namun berhubungan:

Fungsi polinomial orde satu, satu variabel;
Peta antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar

Geometri analitis

Tiga fungsi linear geometris — garis merah dan biru memiliki gradien yang sama (m), sementara garis merah dan hijau memotong sumbu y di tempat yang sama (b).

Dalam geometri analitis, istilah fungsi linear kadang-kadang digunakan dengan maksud fungsi polinomial orde satu dari variabel tunggal. Fungsi ini disebut linear karena grafiknya pada bidang Cartesius adalah garis lurus.

Fungsi seperti itu dapat ditulis sebagai:

f(x)=mx+b

(y-y1)=m(x-x1)

0=Ax+By+C

dengan $m$ dan $b$ adalah konstanta riil dan $x$ adalah variabel riil. Konstana $m$ disebut sebagai gradien atau kemiringan, sedangkan $b$ memberikan titik perpotongan antara grafik fungsi tersebut dengan sumbu $y$ . Mengubah $y$ membuat garis tersebut lebih curam atau landai, sementara mengubah $b$ akan menggerakkan garis ke atas atau ke bawah.

Contoh fungsi yang grafiknya berupa garis lurus adalah:

$f_{1}(x)=2x+1$
$f_{2}(x)=x/2+1$
$f_{3}(x)=x/2-1.$

Grafiknya ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.

Ruang vektor

Dalam matematika lanjut, sebuah fungsi linear berarti fungsi yang merupakan pemetaan linear, yaitu pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar.

Contohnya, bila $x$ dan $f(x)$ direpresentasikan sebagai vektor koordinat, maka fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai:

f(x)=\mathrm {M} x,

dengan M adalah matriks. Sebuah fungsi

f(x)=mx+b

adalah peta linear jika dan hanya jika $b$ = 0. Untuk nilai lain dari $b$ , fungsi ini tergolong dalam kelas yang lebih umum, yaitu peta afin

Sifat

Fungsi linear adalah fungsi polinomial di mana variabel $x$ memiliki paling banyak satu derajat:^[1]

f(x)=ax+b

.

Fungsi seperti itu disebut linear karena grafik, himpunan semua titik $(x,f(x))$ dalam bidang Kartesius, adalah garis. Koefisien a disebut slope dari fungsi dan garis (lihat di bawah).

Jika kemiringannya $a=0$ , ini adalah fungsi konstan $f(x)=b$ mendefinisikan garis horizontal, yang dikecualikan beberapa penulis dari kelas fungsi linier.^[2] Dengan definisi ini, derajat polinomial linier adalah tepat satu, dan grafiknya adalah garis yang tidak vertikal maupun horizontal. Namun, di artikel ini, $a\neq 0$ diperlukan, sehingga fungsi konstan akan dianggap linear.

Jika $b=0$ maka fungsi linier dikatakan homogen . Fungsi tersebut mendefinisikan garis yang melewati asal sistem koordinat, yaitu titik $(x,y)=(0,0)$ . Dalam teks matematika tingkat lanjut, istilah fungsi linier sering menunjukkan fungsi linier homogen khusus, sedangkan istilah fungsi affine digunakan untuk kasus umum, yang mencakup $b\neq 0$ .

Domain alami dari fungsi linear $f(x)$ , himpunan nilai masukan yang diperbolehkan untuk $x$ , adalah seluruh himpunan bilangan riil, $x\in \mathbb {R} .$ Anda juga dapat mempertimbangkan fungsi seperti itu dengan $x$ dalam sembarang medan, mengambil koefisien $a, b$ in that field.

Grafik $y=f(x)=ax+b$ adalah garis non-vertikal yang memiliki tepat satu persimpangan dengan sumbu $y$ , titik potongnya $y$ $(x,y)=(0,b).$ Nilai intersep $y$ $y=f(0)=b$ juga disebut nilai awal dari $f(x).$ Jika $a\neq 0,$ grafiknya adalah garis non-horizontal yang memiliki tepat satu persimpangan dengan sumbu $x$ , $x$ -titik potong $(x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).$ $x$ -nilai intersep $x=-{\tfrac {b}{a}},$ solusi dari persamaan $f(x)=0,$ juga disebut akar atau nol dari $f(x).$

Titik potong-lereng, kemiringan titik, dan bentuk dua titik

Fungsi linier tertentu $f(x)$ dapat ditulis dalam beberapa rumus standar yang menampilkan berbagai propertinya. Yang paling sederhana adalah bentuk titik potong-kemiringan ':

f(x)=ax+b

,

dari mana seseorang dapat langsung melihat kemiringan a dan nilai awal $f(0)=b$ , yang merupakan y - perpotongan dari grafik $y=f(x)$ .

Diberikan kemiringan a dan satu nilai yang diketahui $f(x_{0})=y_{0}$ , kami menulis bentuk kemiringan titik :

f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}

.

Dalam istilah grafis, ini memberikan garis $y=f(x)$ dengan kemiringan a melewati titik tersebut $(x_{0},y_{0})$ .

Bentuk dua titik dimulai dengan dua nilai yang diketahui $f(x_{0})=y_{0}$ dan $f(x_{1})=y_{1}$ . Satu menghitung kemiringan $a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ dan memasukkannya ke dalam bentuk kemiringan titik:

f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}

.

Grafiknya $y=f(x)$ adalah garis unik yang melewati titik-titik $(x_{0},y_{0}\!),(x_{1},y_{1}\!)$ . Persamaannya $y=f(x)$ dapat juga ditulis untuk menekankan kemiringan konstan:

{\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}

.

Hubungan dengan kelas fungsi lainnya

Jika koefisien variabel tidak nol ( $a \neq 0$ ), maka fungsi linier diwakili oleh a derajat 1 polinomial (juga disebut polinomial linear ), jika tidak, ini adalah fungsi konstan - juga fungsi polinomial, tetapi derajat nol.

Sebuah garis lurus, ketika digambar dalam jenis sistem koordinat yang berbeda dapat mewakili fungsi lain.

Misalnya, ini mungkin mewakili fungsi eksponensial ketika nilai diekspresikan dalam skala logaritmik. Artinya ketika $log (g (x))$ adalah fungsi linier dari $x$ , fungsi $g$ adalah eksponensial. Dengan fungsi linier, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan jumlah yang tetap, yang merupakan kemiringan grafik fungsi. Dengan fungsi eksponensial, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan kelipatan tetap, yang dikenal sebagai basis dari fungsi eksponensial.

Jika keduanya argumen dan nilai suatu fungsi berada dalam skala logaritmik (yaitu, ketika $log (y)$ adalah fungsi linier dari $log (x)$ ), maka garis lurus melambangkan hukum pangkat:

\log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}

Spiral archimedean ditentukan oleh persamaan kutub r = ½θ + 2

Di sisi lain, grafik dari fungsi linear dalam hal koordinat polar:

r=f(\theta )=a\theta +b

adalah spiral Archimedean if $a\neq 0$ dan lingkaran sebaliknya.

Lihat pula

Catatan

^ Stewart 2012, p. 24
^ Swokowski 1983, p. 34

Referensi

James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (edisi ke-Alternate), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0871503417

Pranala luar

(Inggris)Linear Functions on Id Mind Diarsipkan 2007-08-12 di Wayback Machine.
(Inggris)Interactive tool to explore linear functions Diarsipkan 2023-03-26 di Wayback Machine.

[1] Stewart 2012, p. 24

[2] Swokowski 1983, p. 34

[1]

[2]