Garis besar struktur aljabar

Dalam matematika, terdapat banyak tipe struktur aljabar yang dipelajari. Aljabar abstrak pada pokoknya merupakan studi mengenai struktu aljabar dan sifat-sifatnya tertentu. Struktur aljabar dapat dipandang dalam cara yang berbeda, namun titik awal umumnya mengenai pelajaran aljabar adalah bahwa sebuah objek aljabar menggabungkan satu himpunan atau lebih dengan satu operasi biner atau operasi uner atau lebih memenuhi sebuah pengumpulan aksioma.

Cabang matematika lainnya dikenal sebagai sebuah aljabar semesta mempelajari struktur aljabar pada umumnya. Dari sudut pandang aljabar semesta, hampir struktur-struktur dapat dibagi menjadi varietas dan kuasivarietas bergantung pada aksioma digunakan. Beberapa bahasa formal aksiomatik bahwa baik bukan varietas maupun kuasivarietas, disebut takvarietas, terkadang mencakup di antara struktur aljabar oleh tradisi.

Contoh konkret mengenai setiap struktur dapat ditemukan dalam artikel tertulis.

Struktur aljabar ada sangat banyak hari ini bahwa artikel ini akan pasti menjadi taklengkap. Sebagai tambahan untuk ini, terdapat beberapa nama untuk struktur yang sama, dan terkadang salah satu nama akan didefinisikan dengan tidak menyetujui aksioma oleh beberapa penulis. Kebanyakan struktur muncul pada halaman ini akan menjadi salah satu yang umum yang kebanyakan penulis setuju. Daftar-daftar situs lainnya mengenai struktur aljabar, diatur kurang lebih secara abjad, mencakup Jipsen Diarsipkan 2020-11-27 di Wayback Machine. dan PlanetMath Diarsipkan 2007-11-13 di Wayback Machine.. Daftar-daftar ini menyebutkan banyak struktur yang tidak dicakupi di bawah, dan dapat menyajikan lebih banyak informasi mengenai beberapa struktur daripada disajikan di sini

Studi mengenai struktur aljabar

Struktur aljabar muncul dalam kebanyakan cabang-cabang matematika, dan salah satunya dapat menghadapinya dalam beberapa cara.

• Studi awal: Dalam universitas Amerika; grup, ruang vektor dan medan umumnya merupakan struktur pertama yang dihadapi dalam subjek seperti aljabar linear. Mereka biasanya diperkenalkan sebagai himpunan-himpunan dengan aksioma tertentu.
• Studi lanjutan:
  • Aljabar abstrak mempelajari sifat-sifat mengenai struktur aljabar spesifik.
  • Aljabar semesta mempelajari struktur aljabar secara abstrak, daripada tipe-tipe struktur yang spesifik.
    • Varietas
  • Teori kategori mempelajari hubungan timbal balik antara struktur, aljabar, dan takaljabar yang berbeda. Untuk mempelajari sebuah objek takaljabar, ini sering kali digunakan untuk menggunakan teori kategori untuk menghubungkan objek dengan sebuah struktur aljabar.
    • Contoh: Grup fundamental mengenai sebuah ruang topologis memberikan informasi tentang ruang topologis.

Tipe-tipe struktur aljabar

Secara umum penuhnya, sebuah struktur aljabar dapat digunakan suatu jumlah himpunan-himpunan dan suatu jumlah aksioma-aksioma dalam definisinya. Struktur yang dipelajari paling umum, namun, biasanya melibatkan hanya satu atau dua himpunan dan satu atau dua operasi biner. Struktur di bawah diatur oleh bagaimana banyak himpunan dilibatkan, dan berapa banyak operasi biner digunakan. Lekukan yang meningkat berarti untuk mengindikasi sebuah struktur yang lebih eksotik, dan tingkatan terlekukannya adalah paling dasar.

Satu operasi biner pada satu himpunan

Struktur grup
	Totalitas	Asosiatif	Identitas	Invers	Komutativitas
Semigrupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kuasigrup	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma Unital	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Loop	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup invers	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan
Grup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grup Abelian	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Struktur berikut terdiri dari sebuah himpunan dengan sebuah operasi biner. Struktur paling umum adalah grup. Struktur lainnya melibatkan aksioma yang melemahkan atau menguatkan untuk grup, dan mungkin sebagai tambahan menggunakan operasi uner.

• Grup adalah struktur utama. Grup Abel adalah sebuah tipe khusus grup yang penting.
  • Semigrup dan monoid: Ini seperti grup, kecuali operasinya tidak perlu memiliki unsur balikan.
  • Kuasigrup dan gelung: Ini seperti grup, kecuali operasinya tidak perlu menjadi asosiatif.
  • Magma: Ini seperti grup, kecuali operasinya tidak perlu menjadi asosiatif atau memiliki unsur balikkan.
• Semikekisi: Ini pada dasarnya "setengah" struktur kekisi (lihat di bawah).

Dua operasi biner pada satu himpunan

Tipe-tipe utama mengenai struktur dengan satu operasi memiliki dua operasi biner adalah gelanggang dan kekisi. Aksiomanya mendefinisikan banyak dari struktur-struktur lainnya adalah modifikasi dari aksioma untuk gelanggang dan kekisi. Salah satu perbedaan besar antara gelanggang dan kekisi adalah bahwa kedua operasinya berkaitan dengan satu sama lain dalam cara yang berbeda. Dalam struktur seperti gelanggang, dua operasinya terjalin oleh hukum distributif, dalam struktur seperti kekisi, operasinya terjalin oleh hukum serapan.

• Gelanggang: Dua operasinya biasanya dikatakan penambahan dan perkalian. Gelanggang komutatif adalah sebuah tipe yang termasuk penting mengenai gelanggang dimana operasi perkalian adalah komutatif. Ranah integral dan medan adalah tipe yang termasuk penting mengenai gelanggang komutatif.
  • Gelanggang takasosiatif: Ini seperti gelanggang, tapi operasi perkaliannya tidak perlu menjadi asosiatif.
    • Gelanggang Lie dan gelanggang Jordan merupakan contoh khusus mengenai gelanggang takasosiatif.
  • Semigelanggang: Ini seperti gelanggang, tapi operasi penambahannya tidak perlu memiliki balikkan.
  • Gelanggang dekat: Ini seperti gelanggang, tapi operasi penambahannya tidak perlu menjadi komutatif.
  • Gelanggang-*: Ini merupakan gelanggang dengan sebuah operasi uner tambahan dikenal sebagai sebuah involusi.
• Kekisi: Dua operasinya biasanya dikatakan pertemuan dan sambungan.
• Latticoid, pertemuan dan sambungan bertukar tetapi tidak perlu iring.
• Kekisi pencong: pertemuan dan sambungan iring tetapi tidak perlu bertukar.

Dua operasi biner dan dua himpunan

Struktur berikut yang memiliki keistimewaan umum memiliki dua himpunan, $A$ dan $B$, sehingga terdapat sebuah operasi biner dari $A\times A$ ke dalam $A$ dan operasi lainnya dari $B\times B$ ke dalam $A$.

• Ruang vektor: Himpunan $A$ merupakan sebuah grup Abel, dan himpunan $B$ adalah medan.
  • Ruang vektor bertingkat: Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah penguraian jumlah langsung menjadi subruang.
• Modul: Himpunan $A$ adalah sebuah grup Abel, tapi $B$ hanya sebuah gelanggang umum dan tidak selalu sebuah medan.
  • Tipe khusus modul, termasuk modul bebas, modul projektif, modul injektif, dan modul datar dipelajari dalam aljabar abstrak.
• Grup dengan operasi: Dalam kasus ini, himpunan $A$ adalah grup, dan himpunan $B$ hanya sebuah himpunan.

Tiga operasi biner dan dua himpunan

Banyak struktur disini sebenarnya adalah struktur hibrid dari salah satunya yang disebutkan sebelumnya.

• Aljabar atas medan: Ini adalah sebuah gelanggang yang juga merupakan sebuah ruang vektor atas medan. Terdapat aksioma mengatur interaksi dari dua struktur. Perkalian biasanya diasumsi menjadi asosiatif.
  • Aljabar atas gelanggang: Ini didefinisikan dengan cara yang sama sebagai aljabar atas medan, kecuali bahwa medan sekarang dapat menjadi suatu gelanggang komutatif.
  • Aljabar bertingkat: Aljabar ini dilengkapi dengan sebuah penguraian menjadi tingkatan.
• Aljabar takasosiatif: Ini adalah aljabar untuk yang asosiativitas mengenai perkalian gelanggang yang santai.
  • Aljabar Lie dan Aljabar Jordan adalah contoh khusus mengenai aljabar takasosiatif.
• Koaljabar: Struktur ini memiliki aksioma yang membuat perkaliannya dual dengan aljabar asosiatifnya.
  • Bialjabar: Struktur ini sekaligus aljabar dan koaljabar yang operasinya serasi. Mereka sebenarnya ada empat operasi untuk struktur ini.

Struktur aljabar dengan struktur takaljabar tambahan

Terdapat banyak contoh-contoh mengenai struktur matematis dimana struktur aljabar ada bersama struktur takaljabar.

• Ruang vektor topologis adalah ruang vektor dengan sebuah topologi serasi.
• Grup Lie: Ini adalah manifold topologis yang juga membawa sebuah struktur grup serasi.
• Grup terurut, gelanggang terurut, dan medan terurut memiliki struktur aljabar serasi dengan sebuah tatanan pada himpunan.
• Aljabar von Neumann: ini adalah aljabar-* pada sebuah ruang Hilbert yang dilengkapi dengan topologi operator lemah.

Struktur aljabar dalam disiplin berbeda

Beberapa struktur aljabar mencari penggunaan dalam disilpin di luar aljabar abstrak. Hal berikut berarti untuk mendemonstrasikan beberapa penerapan spesifik dalam bidang lainnya.

Dalam fisika:

• Grup Lie digunakan dengan luas dalam fisika. Beberapa yang diketahui mencakup grup ortogonal dan grup uniter.
• Aljabar Lie
• Ruang darab dalam
• Aljabar Kac–Moody
• Kuaternion dan lebih umumnya aljabar geometrik

Dalam logika matematis:

• Aljabar Boole adalah gelanggang dan kekisi, terhadap dua operasi.
  • Aljabar Heyting adalah sebuah contoh khusus mengenai aljabar Boole.
• Aritmetika Peano
• Aljabar batas
• Aljabar-MV

Dalam ilmu komputer:

• Aljabar maks-plus
• Monoid sintatik
• Monoid peralihan

Lihat pula

• Aljabar abstrak
  • Garis besar aljabar abstrak
• Aljabar semesta
  • Varietas (aljabar semesta)
• Aljabar linear
  • Garis besar aljabar linear
• Ariti
• Teori kategori
• Objek bebas
• Operasi (matematika)
• Tanda tangan (logika)
• Teori tingkat pertama
• Daftar matematis

Referensi

• Garrett Birkhoff, 1967. Lattice Theory, 3rd ed, AMS Colloquium Publications Vol. 25. American Mathematical Society.
• ———, and Saunders MacLane, 1999 (1967). Algebra, 2nd ed. New York: Chelsea.
• George Boolos and Richard Jeffrey, 1980. Computability and Logic, 2nd ed. Cambridge Univ. Press.
• Dummit, David S., and Foote, Richard M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed. John Wiley and Sons.
• Grätzer, George, 1978. Universal Algebra, 2nd ed. Springer.
• David K. Lewis, 1991. Part of Classes. Blackwell.
• Michel, Anthony N., and Herget, Charles J., 1993 (1981). Applied Algebra and Functional Analysis. Dover.
• Potter, Michael, 2004. Set Theory and its Philosophy, 2nd ed. Oxford Univ. Press.
• Smorynski, Craig, 1991. Logical Number Theory I. Springer-Verlag.

A monograph available free online:

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Diarsipkan 2005-01-23 di Wayback Machine. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

Pranala luar

• Jipsen:
  • Daftar Diarsipkan 2023-07-06 di Wayback Machine. alfabetis mengenai struktur aljabar; mencakup banyak yang tidak disebutkan disini.
  • Buku daring dan catatan perkuliahan. Diarsipkan 2022-03-30 di Wayback Machine.
  • Map Diarsipkan 2021-05-07 di Wayback Machine. berisi sekitar 50 struktur, beberapa di antaranya tidak muncul di atas. Demikian juga, kebanyakan struktur di atas tidak hadir dari peta ini.
• Indeks topik PlanetMath Diarsipkan 2007-11-13 di Wayback Machine..
• Hazewinkel, Michiel (2001) Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag.
• Halaman Mathworld Diarsipkan 2020-11-30 di Wayback Machine. pada aljabar abstrak.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Algebra Diarsipkan 2020-09-25 di Wayback Machine. oleh Vaughan Pratt.