Bilangan kuasa penuh (bahasa Inggris: powerful number) adalah bilangan bulat positif sehingga untuk setiap bilangan prima yang membagi , maka juga membagi . Bilangan kuasa penuh dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan kuadrat dan bilangan kubik, yakni ditulis sebagai ; disini, dan adalah bilangan bulat positif.

Gambaran bilangan kuasa penuh 1, 4, 8, dan 9, dengan menggunakan batang Cuisenaire.

Berikut adalah daftar bilangan kuasa penuh dari 1 sampai 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... (barisan A001694 pada OEIS).

Sifat matematis

sunting

Jumlah timbal balik dari bilangan kuasa penuh adalah konvergen. Nilai dari jumlah ini dapat ditulis dengan beberapa cara lain, di antaranya menggunakan darab tak terhingga

 

Sebagai keterangan,   menyatakan bilangan prima,   menyatakan fungsi zeta Riemann, dan   menatakan konstanta Apéry.[1] (barisan A082695 pada OEIS) Lebih umumnya lagi, jumlah timbal balik dari bilangan kuasa penuh pangkat   sama dengan

 

ketika menuju ke konvergen.

Misalkan   melambangkan jumlah dari bilangan kuasa penuh di selang  , maka   sebanding dengan akar kuadrat dari  . Lebih tepatnya,[1]  

Dua bilangan kuasa berturut yang terkecil adalah 8 dan 9. Karena persamaan Pell   memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian, maka terdapat tak berhingga banyaknya pasangan dari bilangan kuasa penuh yang berturutan[1]; lebih umumnya, bilangan kuasa berturutan dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan Pell yang serupa,  , untuk setiap bilangan kubik  . Sayangnya, salah satu dari dua bilangan kuasa penuh yang berpasangan harus berupa bilangan kuadrat. Menurut Guy, Erdős menanyakan apakah terdapat tak berhingga banyaknya pasangan dari bilangan kuasa penuh berturutan seperti  , dan di dalam pasangan bilangan tersebut tidak terdapat bilangan kuadrat.[2] Walker memperlihatkan bahwa terdapat tak berhingga banyaknya pasangan tersebut dengan memperlihatkan bahwa   memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian. Penyelesaian miliknya untuk persamaan tersebut dihasilkan, untuk sebarang bilangan bulat ganjil  , dengan memandang bilangan

 

untuk bilangan bulat   dapat dibagi oleh 7 dan   dapat dibagi oleh 3. Setelah itu, ia mengonstruksikan dari   dan   menjadi bilangan kuasa penuh berturut   dan   dengna  .[3] Ketika memilih  ,  , dan  , maka dihasilkan pasangan berturutan terkecil, yaitu

 

dan

 

Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Bisakah tiga bilangan berturutan menjadi bilangan kuasa penuh?

Sebuah konjektur Erdős, Mollin, dan Walsh mengatakan bahwa tiada tiga bilangan kuasa penuh yang berturutan. Jika triplet dari bilangan kuasa penuh itu ada, maka suku terkecilnya pasti kongruen dengan 7, 27, atau 35 modulo 36.[4]

Catatan

sunting

Referensi

sunting