Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga

(Dialihkan dari Lingkaran singgung luar)

Dalam geometri, lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran terbesar yang terisi di dalam segitiga; ini bersinggung (merupakan garis singgung dengan) tiga sisi. Pusat dari lingkaran adalah pusat segitiga disebut pusat lingkaran dalam segitiga.[1]

Sebuah segitiga berwarna   dengan lingkaran dalam  , pusat lingkaran dalam (), lingkaran singgung luar  , pusat lingkaran singgung luar (, , dan ), garis pembagi sudut dalam berwarna   dan garis pembagi sudut berwarna  . Segitiga berwarna hijau   merupakan segitiga pusat singgung luar.

Sebuah pusat lingkaran singgung luar[2] dari segitiga merupakan sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, singgung dengan satu sisinya singgung dengan perluasan dari dua lainnya. Setiap segitiga memiliki tiga pusat lingkaran singgung luar yang berbeda, setiap garis singgung dengan salah satu dari sisi-sisi segitiga.[3]

Pusat dari lingkaran dalam, disebut pusat lingkaran dalam, dapat ditemukan sebagai perpotongan dari tiga garis bagi dalam.[4][5] Pusat lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam dari satu sudut (di verteks , sebagai contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat dari lingkaran singgung luar ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks , atau pusat lingkaran singgung luar .[6] Karena garis bagi dalam dari sebuah sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama-sama dengan tiga pusat lingkaran singgung luarnya membentuk sebuah sistem ortosentrik.[7]:p. 182

Semua poligon beraturan memiliki garis singgung lingkaran dalam untuk semua sisi, tetapi tidak semua poligon; yang ada poligon singgung.

Lihat pula: Garis singgung dengan lingkaran

Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam

sunting

Andaikan   memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari   dan pusat  . Misalkan   menjadi panjangnya  ,   adalah panjang  , dan   panjangnya  . Juga misalkan  ,  , dan   menjadi titik singgung dimana lingkaran dalam menyinggung  ,  , dan  .

Pusat lingkaran dalam

sunting

Pusat lingkaran dalam merupakan titik dimana garis bagi dalam   bertemu.

Jarak dari verteks   ke pusat lingkaran dalam   adalah[butuh rujukan]

 

Koordinat trilinear

sunting

Korodinat trilinear untuk sebuah titik dalam segitiga merupakan nisbah dari semua jarak ke sisi-sisi segitiga. Karena pusat lingkaran dalam adalah jarak yang sama dari semua sisi-sisi dari segitiga, koordinat trilinear untuk pusat lingkaran dalam adalah[8]

 

Koordinat barisentrik

sunting

Koordinat barisentrik untuk sebuah titik dalam sebuah segitiga memberikan bobot sehingga titiknya adalah rerata berbobot dari posisi verteks segitiga. Koordinat barisentrik untuk pusat lingkaran dalam diberikan oleh[butuh rujukan]

 

dimana  ,  , dan   adalah panjang sisi-sisi dari segitiga, atau dengan setara (menggunakan hukum sinus) oleh

 

dimana  ,  , dan   adalah sudut-sudut pada tiga verteksnya.

Koordinat Cartesius

sunting

Koordinat Cartesius dari pusat lingkaran dalam adalah sebuah rerata berbobot dari koordinat dari tiga verteks menggunakan panjang sisi dari segitiga relatif terhadap keliling (yaitu, menggunakan koordinat barisentrik yang diberikan di atas, ternormalkan untuk menjumlahkan kesatuannya) sebagai bobot. Bobotnya positif sehingga pusat lingkaran dalam terletak di dalam segitiga ketika dinyatakan di atas. Jika ketiga verteksnya terletak di  ,  , dan  , dan sisi-sisinya berlawanan dengan verteks-verteks ini memiliki padanan panjang  ,  , dan  , maka pusat lingkaran dalamnya di[butuh rujukan]

 

Jari-jari

sunting

Jari-jari lingkaran dalam   dalam sebuah segitiga dengan sisi-sisi panjang  ,  ,   diberikan oleh[9]

 

..., dimana  Lihat rumus Heron

Jarak ke verteks

sunting

Melambangkan pusat lingkaran dalam   sebagai  , jarak dari pusat lingkaran dalam ke verteks digabungkan dengan panjang dari sisi-sisi segitiga mematuhi persamaannya[10]

 

Sebagai tambahan,[11]

 

dimana   dan   masing-masing adalah radius lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Sifat-sifat lainnya

sunting

Kumpulan pusat-pusat segitiga dapat diberikan struktur grup di bawah perkalian secara koordinat mengenai koordinat trilinear, dalam grup ini, pusat lingkaran dalam membentuk elemen identitas.[12]

Lingkaran dalam dan sifat-sifat radiusnya

sunting

Jarak antara verteks dan titik singgung paling terdekat

sunting

Jarak dari sebuah verteks ke dua titik singgung paling terdekat adalah sama; misalnya:[13]

 

Sifat-sifat lainnya

sunting

Andaikan titik-titik singgung dari lingkaran dalam membagi sisi-sisi menjadi panjang   dan  ,   dan  , serta   dan  . Maka lingkaran dalam memiliki jari-jari[14]

 

dan luas dari segitiganya adalah

 

Jika tingginya dari sisi-sisi panjang  ,  , dan   adalah  ,  , dan  , maka jari-jari lingkaran dalam   adalah sepertiga dari purata harmonik tinggi ini; yaitu,[15]

 

Darab dari jari-jari lingkaran dalam   dan jari-jari lingkaran luar   dari sebuah segitiga dengan sisi-sisi  ,  , dan   adalah[16]:189,#298(d)

 

Beberapa hubungan di sekitar sisi-sisi, jari-jari lingkaran dalam, dan jari-jari lingkaran luar adalah:[17]

 

Setiap garis melalui sebuah segitiga yang kedua luas segitiga dan kelilingnya terbelah dua menuju ke pusat lingkaran segitiga (pusat lingkaran dalamnya). Terdapat baik satu, dua, atau tiga ini untuk suatu segitiga yang diberikan.[18]

Melambangkan pusat dari lingkaran dalam   sebagai  , kita mempunyai[19]

 

dan[20]:121,#84

 

Jari-jari lingkaran dalam tidak lebih besar daripada sepersembilan jumlah dari tinggi.[21]:289

Jarak kuadrat dari pusat   ke pusat lingkaran luar   diberikan oleh[22]:232

 

dan jarak dari pusat lingkaran dalam dengan pusat   dari lingkaran sembilan adalah[23]:232

 

Pusat lingkaran dalam terletak di segitiga tengah (yang verteks-verteksnya merupakan titik tengah dari sisinya).[24]:233, Lemma 1

Hubungan dengan luas dari segitiga

sunting

Jari-jari dari lingkaran dalam berkaitan dengan luas dari segitiga.[25] Nisbah dari luas lingkaran dalam dengan luas segitiga lebih kecil atau sama dengan  , dengan persamaannya berlaku hanya untuk segitiga sama sisi.[26]

Andaikan   memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari   dan pusat  . Misalkan   menjadi panjang  ,   menjadi panjang  , dan   menjadi panjang  . Sekarang, lingkaran dalam singgung dengan   pada suatu titik  , dan demikian   adalah siku-siku. Demikian,   memiliki alas dengan panjang   dan tinggi  , dan jadi memiliki luas  . Dengan cara yang serupa,   memiliki luas   dan   memiliki luas  . Karena ketiga segitiga ini memisahkan  , kita lihat bahwa luas   dari   adalah:[butuh rujukan]

 dan

 

dimana   adalah luas dari   dan   adalah semiperimeternya.

Untuk sebuah rumus yang alternatif, anggap  . Ini adalah segitiga siku-siku dengan satu sisinya sama dengan   dan sisi lainnya sama dengan  . Kesamaannya benar untuk  . Segitiga yang besar dikomposisi enam segitiga dan luas totalnya adalah:[butuh rujukan]

 

Segitiga dan titik Gergonne

sunting
 
Sebuah segitiga,  , dengan lingkaran dalam berwarna  , pusat lingkaran dalam ( ) berwarna  , segitiga kontak ( ) berwarna   dan titik Gergonee ( ) berwarna  .


Segitiga Gergonne (dari  ) didefinisikan oleh tiga titik singgung dari lingkaran dalam pada tiga sisi. Titik singgung berlawanan   dilambangkan  , dll.

Segitiga Gergonne,  , juga dikenal sebagai segitiga kontak atau segitiga singgung dalam dari  . Luasnya adalah

 

dimana  ,  , dan   adalah luasnya, jari-jari dari lingkaran dalam dari segitiga asalnya, dan  ,  , serta   adalah panjang sisi dari segitiga asalnya. Ini adalah luas yang sama seperti yang dari segitiga singgung luar.[27]

Tiga garis  ,  , dan   memotong dalam sebuah titik tunggal disebut titik Gergonne, dilambangkan sebagai   (pusat segitiga  ). Titik Gergonne terletak di cakram ortosentroidal terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.[28]

Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah titik simedian dari segitiga Gergonne.[29]

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh[butuh rujukan]

 

Koordinat trilinear untuk titik Gergonne diberikan oleh[butuh rujukan]


atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus

 

Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar

sunting
 
Sebuah segitiga berwarna   dengan lingkaran dalam  , pusat lingkaran dalam ( ), lingkaran singgung luar  , pusat lingkaran singgung luar ( ,  , dan  ), garis pembagi sudut dalam berwarna   dan garis pembagi sudut berwarna  . Segitiga berwarna hijau   merupakan segitiga pusat singgung luar.


Sebuah lingkaran singgung luar[30] dari segitiga adalah sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, bersinggung dengan satu sisinya dan singgung dengan perluasan dari keduanya. Setiap segitiga memiliki tiga lingkaran yang berbeda, setiap singgung ke satu dari sisi-sisi segitiga.[3]

Pusat sebuah lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam satu sudut (di verteks  , contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat lingkaran singgung ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks dari  , atau pusat lingkaran singgung luar dari  .[31] Karena garis bagi dalam sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama dengan tiga pusat lingkaran singgung luar membentuk sebuah sistem ortosentrik.[32]:182

Koordinat trilinear pusat lingkaran singgung luar

sunting

Saat pusat lingkaran dalam   memiliki koordinat trilinear  , pusat lingkaran singgung luar memiliki trilinear  ,  , dan  .[butuh rujukan]

Jari-jari pusat lingkaran singgung luar

sunting

Jari-jari dari lingkaran singgung luar disebut jari-jari lingkaran singgung luar.

Jari-jari lingkaran singgung luar dari lingkaran singgung luar berlawanan   (jadi menyentuh  , berpusat di  ) adalah[33][34]

 ..., dimana  .

Lihat rumus Heron

Penurunan rumus pusat lingkaran singgung luar[35]

sunting
Klik tampil untuk melihat bagian konten ini

Misalkan lingkaran singgung di sisi   bersinggung di sisi   diperpanjang di  , dan misalkan jari-jari lingkaran singgung luar menjadi   dan pusatnya mnejadi  . Maka   merupakan sebuah tinggi dari  , jadi   memiliki luas  . Dengan menggunakan argumen yang serupa,   memiliki luas   dan   memiliki luas  . Demikian luasnya   dari   adalah

 .

Jadi, oleh simetri, melambangkan   sebagai jari-jari lingkaran dalam,

 .

Oleh Hukum Kosinus, kita memiliki

 

Menggabungkan ini dengan identitas  , kita memiliki

 

Tetapi  , dan demikian

 

yang merupakan rumus Heron.

Menggabungkan ini dengan  , kita memiliki

 

Dengan cara yang serupa,   memberikan

 

dan

 


Sifat-sifat lainnya

sunting

Dari rumus di atas salah satunya dapat melihat bahwa lingkaran singgun luar selalu lebih besar dari lingkaran dalam dan bahwa lingkaran singgung paling terbesar merupaakan salah satu bersinggung dengan sisi terpanjang serta lingkaran singgung luar bersinggung dengan sisi terpendek. Lebih lanjut, menggabungkan rumus-rumus ini menghasilkan:[36]

 

Sifat-sifat lingkaran singgung luar lainnya

sunting

Lambung lingkar dari lingkaran singgung luar secara internal menyinggung dengan setiap dari lingkaran singgung luar dan dengan demikian merupakan sebuah lingkaran Apollonius.[37] Jari-jari lingkaran Apollonius ini adalah   dimana   adalah jari-jari lingkaran dalam dan   adalah semiperimeter dari segitiga.[38]

Hubungan berikut berlaku di antara jari-jari lingkaran dalam  , jari-jari lingkaran luar  , semiperimeter  , dan jari-jari lingkaran singgung luar  ,  ,  :[39]

 

Lingkaran melalui pusat-pusat dari tiga lingkaran singgung luar memiliki jari-jari  .[40]

Jika   adalah titik tinggi dari  , maka[41]

 

Segitiga Nagel dan titik Nagel

sunting
 
Segitiga singgung luar ( ) berwarna   dan titik Nagel ( ) berwarna   dari sebuah segitiga ( ) berwarna  . Lingkaran berwarna jingga adalah lingkaran singgung luar dari segitiga.


Segitiga Nagel atau segitiga singgung luar   dilambangkan oleh verteks-verteks  ,  , dan   yang terdapat tiga titik dimana lingakran singgung luar menyinggung rujukan   dan dimana   adalah lawannya dari  , dst.   ini juga dikenal sebagai segitiga singgung luar  . Lingkaran luar dari singgung luar   disebut lingkaran Mandart.[butuh rujukan]

Tiga garis  ,  , dan   disebut pembagi dari segitiga, mereka membagi garis setiap keliling dari segitiga,[butuh rujukan]

 

Pembaginya memotong dalam sebuah titik tunggal, titik Nagel segitiga   (atau pusat segitiga  ).

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung luar diberikan oleh[butuh rujukan]

 

Koordinat trilinear untuk titik Nagel diberikan oleh[butuh rujukan]

 

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus,

 

Titik Nagel merupakan sekawan isotomik dari titik Gergonne.[butuh rujukan]

Konstruksi yang berkaitan

sunting

Lingkaran sembilan titik dan titik Feuerbach

sunting
 
Lingkaran sembilan titik bersinggung dengan lingkaran dalam dengan lingkaran singgung luar


Dalam geometri, lingkaran sembilan titik merupakan sebuah lingkaran yang dapat dikonstruksikan untuk suatu segitiga yang diberikan. Ini dinamakan demikian karena ini lewat melalui sembilan titik konsiklik bermakna didefinisikan dari segitiga. Sembilan titik ini adalah:[42][43]

  • Titik tengah setiap sisi dari segitiga
  • Kaki dari setiap tinggi
  • Titik tengah dari ruas garis dari setiap verteks-verteks segitiga ke titik tinggi (dimana tiga ketinggiannya bertemu; ruas garis ini terletak pada masing-masing ketinggiannya).

Pada tahun 1822, Karl Feuerbach menemukan bahwa setiap lingkaran sembilan titik segitiga secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luarnya dan secara internal bersinggung dengan lingkaran dalamnya; hasil ini diknel sebagia teorema Feuerbach. Dia membuktikan bahwa:[butuh rujukan]

... lingkarannya yang lewat melalui kaki dari tinggi segitiga bersinggungan dengan semua empat lingkaran yang pada gilirannya bersinggungan dengan tiga sisi dari segitiga ... (Feuerbach 1822)

Pusat segitiga di mana singgung lingkaran dalam dan lingkaran sembilan disebut titik Feuerbach.

Segitiga pusat dalam dan pusat singgung luar

sunting

Titik perpotongan dari garis bagi sudut dalam   dengan ruas  ,  , dan   adalah verteks-verteks dari segitiga pusat dalam. Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga pusat dalam diberikan oleh

 

Segitiga pusat singgung luar dari sebuah segitiga acuan memiliki verteks-verteks pada pusat dari lingkaran singgung luar segitiga acuan. Sisinya pada garis bagi sudut luar dari segitiga acuan (lihat gambar pada halaman di atas). Koordinat trilinear untuk verteks-verteks mengenai segitiga pusat singgung luar diberikan oleh[butuh rujukan]

 

Persamaan untuk empat lingkaran

sunting

Misalkan   menjadi sebuah titik peubah dalam koordinat trilinear, dan misalkan  ,  , dan  . Keempat lingkaran digambarkan di atas diberikan dengan setara oleh baik dari dua persamaan yang diberikan:[44]

  • Lingkaran dalam:

 

  • Lingkaran singgung luar  :

 

  • Lingkaran singgung luar  :

 

  • Lingkaran singgung luar  :

 

Teorema Euler

sunting

Teorema Euler menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga:

 

dimana   dan   adalah jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam masing-masing, dan   adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran dalam.

Untuk lingkaran singgung luar, persamaannya menyerupai:

 

dimana   merupakan jari-jari mengenai salah satu dari lingkaran singgung luar, dan   adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran singgung luarnya.[45][46][47]

Perampatan dengan poligon lainnya

sunting

Beberapa (tapi tidak semua) segi empat memiliki sebuah lingkaran dalam. Ini disebut segi empat singgung. Di antaranya banyak sifat-sifat yang mungkin paling terpenting adalah bahwa dua pasangannya mengenai sisi berhadapan memiliki jumlah yang sama. Ini disebut teorema Pitot.[48]

Lebih umumnya, sebuah poligon dengan suatu jumlah sisi bahwa memiliki sebuah lingkaran dalam (yaitu, salah satunya yang bersinggung dengan setiap sisi disebut sebuah poligon singgung.[butuh rujukan]

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ (Kay 1969, hlm. 140)
  2. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 74)
  3. ^ a b (Altshiller-Court 1925, hlm. 73)
  4. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 73)
  5. ^ (Kay 1969, hlm. 117)
  6. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 73)
  7. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
  8. ^ Encyclopedia of Triangle Centers Diarsipkan 2012-04-19 di Wayback Machine., accessed 2014-10-28.
  9. ^ (Kay 1969, hlm. 201)
  10. ^ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (March 2012), "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette, 96: 161–165 .
  11. ^ Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications . #84, p. 121.
  12. ^ Encyclopedia of Triangle Centers Diarsipkan 2012-04-19 di Wayback Machine., accessed 2014-10-28.
  13. ^ Mathematical Gazette, July 2003, 323-324.
  14. ^ Chu, Thomas, The Pentagon, Spring 2005, p. 45, problem 584.
  15. ^ (Kay 1969, hlm. 203)
  16. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
  17. ^ Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
  18. ^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers," Mathematics Magazine 83, April 2010, pp. 141-146.
  19. ^ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.
  20. ^ Altshiller-Court, Nathan. College Geometry, Dover Publications, 1980.
  21. ^ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  22. ^ Franzsen, William N. (2011). "The distance from the incenter to the Euler line" (PDF). Forum Geometricorum. 11: 231–236. MR 2877263. .
  23. ^ Franzsen, William N. (2011). "The distance from the incenter to the Euler line" (PDF). Forum Geometricorum. 11: 231–236. MR 2877263. .
  24. ^ Franzsen, William N. (2011). "The distance from the incenter to the Euler line" (PDF). Forum Geometricorum. 11: 231–236. MR 2877263. .
  25. ^ Coxeter, H.S.M. "Introduction to Geometry 2nd ed. Wiley, 1961.
  26. ^ Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.
  27. ^ Weisstein, Eric W. "Contact Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
  28. ^ Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
  29. ^ Dekov, Deko (2009). "Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point" (PDF). Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. 1: 1–14. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2010-11-05. 
  30. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 74)
  31. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 73)
  32. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
  33. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 79)
  34. ^ (Kay 1969, hlm. 202)
  35. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 79)
  36. ^ Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle," Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138. (See also part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.)
  37. ^ Grinberg, Darij, and Yiu, Paul, "The Apollonius Circle as a Tucker Circle", Forum Geometricorum 2, 2002: pp. 175-182.
  38. ^ Stevanovi´c, Milorad R., "The Apollonius circle and related triangle centers", Forum Geometricorum 3, 2003, 187-195.
  39. ^ Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
  40. ^ Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
  41. ^ Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
  42. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 103–110)
  43. ^ (Kay 1969, hlm. 18,245)
  44. ^ Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
  45. ^ Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.
  46. ^ Johnson, R. A. Modern Geometry, Houghton Mifflin, Boston, 1929: p. 187.
  47. ^ Emelyanov, Lev, and Emelyanova, Tatiana. "Euler’s formula and Poncelet’s porism", Forum Geometricorum 1, 2001: pp. 137–140.
  48. ^ Pritsker, Boris (2017-08-22). Geometrical Kaleidoscope (dalam bahasa Inggris). Courier Dover Publications. hlm. 51. ISBN 978-0-486-82481-9. 

Referensi

sunting
  • Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (edisi ke-2), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504 
  • Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075 
  • Kimberling, Clark (1998). "Triangle Centers and Central Triangles". Congressus Numerantium (129): i–xxv,1–295. 
  • Kiss, Sándor (2006). "The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles". Forum Geometricorum (6): 171–177. 

Pranala luar

sunting

Interaktif

sunting