Pengguna:Klasüo/bak pasir/Arsip 41

Untuk kegunaan lain, lihat Binomial.

Dalam aljabar, sebuah binomial adalah polinomial dari salah satu jumlah dari dua suku yang masing-masingnya merupakan monomial. Ini merupakan jenis polinomial rongga sederhana setelah monomial.

Definisi

Sebuah binomial adalah polinomial dari salah satu jumlah dari dua monomial. Sebuah binomial dalam satu tak-tentu (juga dikenal sebagai uni peubah binomial) dapat ditulis dalam bentuk

$ax^{m}-bx^{n}\,,$

dimana $a$ dan $b$ adalah bilangan, dan $m$ dan $n$ berbeda dengan bilangan bulat nonnegatif dan $x$ adalah simbol yang disebut tak-tentu atau karena alasan historis sebuah variabel. Dalam konteks polinomial Laurent, sebuah binomial Laurent yang biasanya disebut binomial, didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi eksponen $m$ dan $n$ sebagai negatif.

Secara umum, binomial ditulis sebagai:

$ax_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-bx_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}$

Contoh

$3x-2x^{2}$

$xy+yx^{2}$

$0.9x^{3}+\pi y^{2}$

$2x^{3}+7$

Operasi pada binomial sederhana

• Binomial $x^{2}-y^{2}$ dapat difaktorkan sebagai produk dari dua binomial lainnya:

$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).$

Ini adalah kasus khusus dari rumus umum:

$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}\,y^{n-k}.$

Saat mengerjakan bilangan kompleks, ini juga dapat diperluas ke:

$x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).$

• Produk dari pasangan binomial linear $(ax+b)$ dan $(cx+d)$ adalah trinomial:

$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.$

• Binomial dinaikkan kuasa ke-$n$, direpresentasikan sebagai $(x+y)^{n}$ dapat diperluas dengan menggunakan teorema binomial atau secara ekuivalen, menggunakan segitiga Pascal. Misalnya, kuadrat $(x+y)^{2}$ dari binomial $(x+y'')$ sama dengan jumlah kuadrat kedua suku dan dua kali lipat produk dari penyebutannya, yaitu:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.$

Barisan (1, 2, 1) yang muncul sebagai pengganda untuk suku-suku dalam pemuaian ini adalah koefisien binomial dari dua baris ke bawah dari bagian atas segitiga Pascal. Perluasan pangkat ke-$n$ menggunakan bilangan baris $n$ turun dari atas segitiga.

• Penerapan rumus di atas untuk kuadrat binomial adalah rumus-"$(m,n)$" untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras:

Untuk $m<n$, misalkan $a=n^{2}-m^{2}$, $b=2mn$, and $c=n^{2}+m^{2}$; lalu $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

• Binomial yang merupakan jumlah atau selisih pangkat tiga dapat difaktorkan menjadi polinomial urutan rendah sebagai berikut:

$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

Lihat pula

• Persegi lengkap
• Distribusi binomial
• Daftar topik faktorial dan binomial (yang berisi banyak tautan terkait)

Referensi

• Bostock, L.; Chandler, S. (1978). Pure Mathematics 1. Oxford University Press. hlm. 36. ISBN 0-85950-092-6.