Rumus kuadrat

Dalam aljabar elementer, rumus kuadrat adalah rumus yang memberikan solusi untuk sebuah persamaan kuadrat. Ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat selain menggunakan rumus kuadrat, seperti faktorisasi (pemfaktoran langsung, pengelompokan, metode AC), menyelesaikan suatu kuadrat, membuat atau menggambar grafik,dan lain sebagainya.^[1]

Diberikan persamaan kuadrat umum dalam bentuk

ax^{2}+bx+c=0

dengan $x$ mewakili suatu variabel yang tidak diketahui. Variabel $a$ , $b$ , dan $c$ mewakili konstanta dengan $a\neq 0$ , rumus kuadratnya adalah:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \

dimana tanda plus-minus "±" menunjukkan bahwa persamaan kuadrat memiliki dua solusi.^[2] Dengan menulisnya secara terpisah, maka diperoleh:

x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

dan

x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

.

Masing-masing dari dua solusi ini juga disebut akar dari persamaan kuadrat. Secara geometris, akar-akar tersebut mewakili nilai $x$ di mana suatu parabola $y=ax^{2}+bx+c$ , memotong sumbu $x$ .^[3]

Selain menjadi rumus yang memberikan nilai nol dari suatu parabola, rumus kuadrat juga dapat digunakan untuk mengidentifikasi sumbu simetri parabola,^[4] dan jumlah bilangan real nol yang terdapat di persamaan kuadrat.^[5]

Perumusan yang setara

Rumus kuadrat juga dapat ditulis sebagai:

x={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ \ ,

yang dapat disederhanakan menjadi:

x=-\left({\frac {b}{2a}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ \ .

Versi rumus ini cocok jika menggunakan akar kompleks, dalam hal ini ekspresi di luar akar kuadrat akan menjadi bagian riil, dan akar kuadrat ekspresi bagian imajiner. Ekspresi di dalam akar kuadrat adalah diskriminan.

Metode Muller

Rumus kuadrat yang kurang dikenal, yang digunakan di metode Muller dan yang dapat ditemukan dari rumus Vieta, memberikan akar yang sama melalui persamaan:

x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ \ .

Formulasi berdasarkan parameter alternatif

Parameterisasi standar dari persamaan kuadrat adalah

ax^{2}+bx+c=0\ \ .

Beberapa sumber, terutama yang lebih tua, menggunakan parameterisasi alternatif dari persamaan kuadrat seperti

ax^{2}-2b_{1}x+c=0

, where

b_{1}=-b/2

,^[6]

atau

ax^{2}+2b_{2}x+c=0

, where

b_{2}=b/2

.^[7]

Parameter alternatif ini menghasilkan bentuk yang sedikit berbeda untuk solusi, tetapi yang sebaliknya setara dengan parametriisasi standar.

Turunan rumus

Banyak metode berbeda untuk mendapatkan rumus kuadrat tersedia dalam literatur. Yang standar adalah aplikasi sederhana dari teknik menyelesaikan persegi.^[8]^[9]^[10]^[11] Metode alternatif terkadang lebih sederhana daripada menyelesaikan kuadrat, dan mungkin menawarkan wawasan menarik tentang bidang matematika lainnya.

Sejarah perkembangan

Metode paling awal untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah geometri. Tablet paku Babilonia berisi soal yang dapat direduksi menjadi pemecahan persamaan kuadrat.^[12] The Egyptian Berlin Papyrus, dating back to the Middle Kingdom (2050 BC to 1650 BC), contains the solution to a two-term quadratic equation.^[13]

Ahli matematika Yunani Euclid (sekitar 300 SM) menggunakan metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di Buku 2 dari Elemen , sebuah risalah matematika yang berpengaruh.^[14] Rules for quadratic equations appear in the Chinese The Nine Chapters on the Mathematical Art circa 200 BC.^[15]^[16] Dalam karyanya Arithmetica , ahli matematika Yunani Diophantus (sekitar tahun 250 M) memecahkan persamaan kuadrat dengan metode aljabar yang lebih dikenali daripada aljabar geometris Euklides.^[14] His solution gives only one root, even when both roots are positive.^[17]

Matematikawan India Brahmagupta (597–668 M) secara eksplisit mendeskripsikan rumus kuadrat dalam risalahnya Brāhmasphuṭasiddhānta yang diterbitkan pada 628 M,^[18] tetapi ditulis dengan kata-kata, bukan simbol.^[19] Solusi persamaan kuadratnya $ax 2 + bx = c$ adalah sebagai berikut: "Untuk bilangan absolut dikalikan dengan empat kali [koefisien] kuadrat, tambahkan kuadrat dari [koefisien] suku tengah; akar kuadratnya, dikurangi [koefisien] suku tengah, dibagi dua kali [koefisien] persegi adalah nilainya."^[20] Ini sama dengan:

x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .

Ahli matematika Persia abad ke-9 Muḥammad bin Mūsā al-Khwārizmī memecahkan persamaan kuadrat secara aljabar.^[21] Rumus kuadrat yang mencakup semua kasus pertama kali diperoleh oleh Simon Stevin pada tahun 1594.^[22] Pada tahun 1637 René Descartes menerbitkan La Géométrie berisi kasus khusus dari rumus kuadrat dalam bentuk yang kita kenal sekarang.^[23]

Penggunaan yang signifikan

—Dalam proses --

Lihat pula

Referensi

^ "Quadratic Factorisation: The Complete Guide". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2016-03-13. Diakses tanggal 2019-11-10.
^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, hlm. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
^ "Understanding the quadratic formula". Khan Academy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-11-10.
^ "Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry ..." www.mathwarehouse.com. Diakses tanggal 2019-11-10.
^ "Discriminant review". Khan Academy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-11-10.
^ Kahan, Willian (November 20, 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), diakses tanggal 2012-12-25
^ "Quadratic Formula", Proof Wiki, diakses tanggal 2016-10-08
^ Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw–Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X , Chapter 13 §4.4, p. 291
^ Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "Rumus kuadrat adalah metode paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan diturunkan dari metode umum lain: menyelesaikan kuadrat."
^ Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
^ Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
^ Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. hlm. 34. ISBN 978-0-88385-783-0.
^ The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. hlm. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
^ ^a ^b Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. hlm. 39. ISBN 978-0-88385-783-0.
^ Aitken, Wayne. "A Chinese Classic: The Nine Chapters" (PDF). Mathematics Department, California State University. Diakses tanggal 28 April 2013.
^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics . Courier Dover Publications. hlm. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.
^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics . Courier Dover Publications. hlm. 134. ISBN 0-486-20429-4.
^ Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).
^ Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
^ Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. hlm. 87. ISBN 0-387-95336-1.
^ Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. hlm. 42. ISBN 978-0-88385-783-0.
^ Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, hlm. 470
^ Rene Descartes. The Geometry (dalam bahasa English).

[1] "Quadratic Factorisation: The Complete Guide". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2016-03-13. Diakses tanggal 2019-11-10.

[2] Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, hlm. 219, ISBN 978-0-470-55964-2

[3] "Understanding the quadratic formula". Khan Academy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-11-10.

[4] "Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry ..." www.mathwarehouse.com. Diakses tanggal 2019-11-10.

[5] "Discriminant review". Khan Academy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-11-10.

[kahan-6] Kahan, Willian (November 20, 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), diakses tanggal 2012-12-25

[7] "Quadratic Formula", Proof Wiki, diakses tanggal 2016-10-08

[8] Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw–Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X , Chapter 13 §4.4, p. 291

[9] Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "Rumus kuadrat adalah metode paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan diturunkan dari metode umum lain: menyelesaikan kuadrat."

[10] Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).

[11] Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).

[12] Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. hlm. 34. ISBN 978-0-88385-783-0.

[13] The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. hlm. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.

[quad-14] Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. hlm. 39. ISBN 978-0-88385-783-0.

[Aitken-15] Aitken, Wayne. "A Chinese Classic: The Nine Chapters" (PDF). Mathematics Department, California State University. Diakses tanggal 28 April 2013.

[16] Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics . Courier Dover Publications. hlm. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.

[17] Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics . Courier Dover Publications. hlm. 134. ISBN 0-486-20429-4.

[Bradley-18] Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).

[19] Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).

[Stillwell2004-20] Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. hlm. 87. ISBN 0-387-95336-1.

[21] Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. hlm. 42. ISBN 978-0-88385-783-0.

[22] Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, hlm. 470

[23] Rene Descartes. The Geometry (dalam bahasa English).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]