Persamaan diferensial biasa

Dalam matematika, persamaan diferensial biasa (atau PDB, bahasa Inggris: Ordinary differential equation singkatan ODE) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, tetapi secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkaan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial sederhana yaitu PD orde satu. Berdasarkan definisi, suatu PD orde satu dapat dinyatakan secara umum dalam dua bentuk, yaitu bentuk implisit dan eksplisit. Contoh-contoh mengidentifikasi PD orde satu dapat dikaji lebih lanjut.

Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan diferensial

$m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=F(x(t)),\,$

untuk gerakan partikel dengan massa konstan m. Pada umumnya, gaya F tergantung kepada posisi partikel x(t) pada waktu t, dan demikian fungsi yang tidak diketahui x(t) muncul pada kedua ruas persamaan diferensial, seperti yang diindikasikan dalam notasi F(x(t)).

Persamaan diferensial biasa dibedakan dengan persamaan diferensial parsial, yang melibatkan turunan parsial dari beberapa variabel.

Persamaan diferensial biasa muncul dalam berbagai keadaan, termasuk geometri, mekanika, astronomi dan pemodelan populasi. Banyak matematikawan ternama telah mempelajari persamaan diferensial dan memberi sumbangan terhadap bidang studi ini, termasuk Isaac Newton, Gottfried Leibniz, keluarga Bernoulli, Riccati, Clairaut, d'Alembert dan Euler.

Dalam kasus persamaan tersebut linier, persamaan diferensial biasa dapat dipecahkan dengan metode analitik. Malangnya, kebanyakan persamaan diferensial nonlinier, dan kecuali sebagian kecil, tidak dapat dipecahkan secara eksak. Pemecahan hampiran dapat dicapai menggunakan komputer.

Persamaan diferensial

Lintasan peluru yang ditembakkan dari meriam mengikuti kurva yang ditentukan lewat persamaan diferensial parsial yang diturunkan dari hukum kedua Newton

Persamaan diferensial linear adalah persamaan diferensial yang ditentukan oleh polinomial linear dalam fungsi yang tidak diketahui dan turunannya, hal ini adalah persamaan dari bentuk

$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,$

dimana $a_{0}(x)$, ..., $a_{n}(x)$ dan $b(x)$ adalah nilai sembarang dari fungsi terdiferensiasi yang tidak perlu menggunakan linearr, dan $y',\ldots ,y^{(n)}$ adalah turunan berurutan dari fungsi yang tidak diketahui y variabel x.

Di antara persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial linear memainkan peran penting karena beberapa alasan. Sebagian besar fungsi dasar dan khusus yang ditemukan dalam fisika dan matematika terapan adalah solusi persamaan diferensial linier (lihat Fungsi holonomik). Ketika fenomena fisik dimodelkan dengan persamaan non-linier, umumnya didekati dengan persamaan diferensial linier untuk solusi yang lebih mudah. Beberapa PDB non-linier yang dapat diselesaikan secara eksplisit umumnya diselesaikan dengan mengubah persamaan menjadi PDB linier ekuivalen (lihat, contohnya persamaan Riccati).

Definisi

Berikut ini, bila y menjadi variabel dependen dan x sebuah variabel independen, dan y = f(x) adalah fungsi yang tidak diketahui dari x. Notasi untuk diferensiasi bervariasi tergantung pada penulis dan notasi mana yang paling berguna untuk tugas yang sedang dikerjakan. Dalam konteks ini, notasi Leibniz (dy/dx,d²y/dx²,...,dⁿy/dxⁿ) lebih berguna untuk diferensiasi dan integrasi, sedangkan notasi Lagrange (y′,y′′, ..., y⁽ⁿ⁾) lebih berguna untuk merepresentasikan turunan dari urutan apa pun secara kompak, dan notasi Newton $({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})$ sering digunakan dalam fisika untuk mewakili turunan orde rendah sehubungan dengan waktu.

Definisi umum

biasanya F, fungsi dari x, y, dan turunan dari y. Kemudian persamaan bentuknya

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

disebut sebagai eksplisit persamaan diferensial biasa dari nilai order n.

Lebih umum lagi, persamaan diferensial biasa implisit n mengambil bentuknya:

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0$

Sistem PDB

Artikel utama: Sistem persamaan diferensial

Sejumlah persamaan diferensial berpasangan membentuk sistem persamaan. Jika y adalah vektor yang elemennya adalah fungsi; y(x) = [y₁(x), y₂(x),..., y_m(x)], dan F adalah fungsi nilai vektor dari 'y' dan turunannya, maka

$\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)$

adalah sistem eksplisit persamaan diferensial biasa dari orde n dan dimensi m. Dalam bentuk vektor kolom:

${\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

Ini tidak selalu linier. Analog implisit adalah:

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}$

Dimana 0 = (0, 0, ..., 0) adalah vektor nol. Dalam bentuk matriks

${\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

Untuk sistem bentuk $\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$, beberapa sumber juga mengharuskan matriks Jacobian ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$ jadilah non-singular untuk menyebutnya sebagai [sistem] PDB implisit; sistem PDB implisit yang memenuhi kondisi non-singularitas Jacobian ini dapat diubah menjadi sistem PDB eksplisit. Dalam sumber yang sama, sistem PDB implisit dengan Jacobian tunggal disebut persamaan aljabar diferensial (DAE). Perbedaan ini bukan hanya salah satu terminologi; DAE memiliki karakteristik yang berbeda secara fundamental dan umumnya lebih terlibat untuk diselesaikan daripada sistem PDB (nonsingular). Agaknya untuk turunan tambahan, matriks Hessian dan seterusnya juga diasumsikan non-singular menurut skema tersebut, meskipun perhatikan bahwa PDB apa pun dengan urutan yang lebih besar dari satu dapat [dan biasanya] ditulis ulang sebagai sistem PDB urutan pertama, yang membuat kriteria singularitas Jacobian cukup untuk taksonomi ini menjadi komprehensif di semua urutan.

Perilaku sistem PDB dapat divisualisasikan melalui penggunaan potret fase.

Solusi

Solusi dari persamaan diferensial

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0$

sebuah fungsi u: I ⊂ R → R, dimana I adalah interval, disebut solusi atau kurva integral untuk F, if u adalah n-kali dibedakan I, and

$F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

Given two solutions u: J ⊂ R → R and v: I ⊂ R → R, u is called an extension of v if I ⊂ J and

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

Solusi tunggal

Teori solusi tunggal s of biasa dan persamaan diferensial parsial adalah subjek penelitian dari zaman Leibniz, tetapi baru sejak pertengahan abad kesembilan belas hal itu mendapat perhatian khusus. Sebuah karya berharga tapi sedikit diketahui tentang masalah hal ini adalah karya Houtain (1854). Darboux (dari tahun 1873) adalah pemimpin dalam teori, dan dalam interpretasi geometris solusi ini ia membuka bidang yang dikerjakan oleh berbagai penulis, terutama Casorati. Untuk yang terakhir adalah karena (1872) teori solusi tunggal dari persamaan diferensial orde pertama yang diterima sekitar tahun 1900.

Pengurangan menjadi kuadrat

Upaya primitif dalam menangani persamaan diferensial telah melihat pengurangan ke kuadrat. Sebagaimana telah menjadi harapan para ahli aljabar abad kedelapan belas untuk menemukan metode untuk memecahkan persamaan umum dari n derajat, jadi analis berharap untuk menemukan metode umum untuk mengintegralkan persamaan diferensial. Gauss (1799) menunjukkan, bagaimanapun, persamaan diferensial yang kompleks. Oleh karena itu, analis mulai menggantikan studi fungsi, sehingga membuka bidang baru dan subur. Cauchy adalah orang pertama yang menghargai pentingnya pandangan ini. Setelah itu, pertanyaan sebenarnya bukan lagi apakah suatu solusi dimungkinkan melalui fungsi yang diketahui atau integral, tetapi apakah persamaan diferensial yang diberikan cukup untuk definisi fungsi dari variabel bebas atau variabel, dan, jika demikian, apa sifat karakteristiknya.

Teori

Teori Fuchsian

Artikel utama: Metode Frobenius

Dua memoar oleh Fuchs mengilhami pendekatan baru, yang kemudian diuraikan oleh Thomé dan Frobenius. Collet adalah kontributor terkemuka mulai tahun 1869. Metodenya untuk mengintegrasikan sistem non-linier dikomunikasikan ke Bertrand pada tahun 1868. Clebsch (1873) menyerang teori sepanjang garis sejajar dengan teori Abelian integral. Karena yang terakhir dapat diklasifikasikan menurut sifat-sifat kurva fundamental yang tetap tidak berubah di bawah transformasi rasional, Clebsch mengusulkan untuk mengklasifikasikan fungsi transenden yang ditentukan oleh persamaan diferensial sesuai dengan sifat invarian dari permukaan yang sesuai f = 0 di bawah transformasi satu-ke-satu yang rasional.

Teori Lie

Dari tahun 1870, karya Sophus Lie menempatkan teori persamaan diferensial di atas fondasi yang lebih baik. Dia menunjukkan bahwa teori integrasi dari ahli matematika yang lebih tua bisa, menggunakan Lie grup, dirujuk ke sumber yang sama, dan persamaan diferensial biasa yang mengakui hal yang sama infinitesimal transformasi menghadirkan kesulitan integrasi yang sebanding. Dia juga menekankan subjek transformasi kontak.

Teori Sturm-Liouville

Artikel utama: Teori Sturm-Liouville

Teori Sturm-Liouville adalah teori jenis khusus dari persamaan diferensial biasa linier orde dua. Solusi mereka didasarkan pada eigenvalues dan korespondensi eigenfunctions operator linier yang ditentukan melalui orde kedua persamaan linier homogen.

Eksistensi dan keunikan solusinya

Ada beberapa teorema yang menetapkan keberadaan dan keunikan solusi untuk masalah nilai awal yang melibatkan PDB baik secara lokal maupun global. Dua teorema utama tersebut adalah

Dalil	Anggapan	Kesimpulan
Teorema keberadaan Peano	F kontinu	keberadaan lokal saja
Teorema Picard–Lindelöf	F Lipschitz terus menerus	keberadaan dan keunikan lokal

Dalam bentuk dasarnya, kedua teorema ini hanya menjamin hasil lokal, meskipun yang terakhir dapat diperpanjang untuk memberikan hasil global, misalnya, jika kondisi Pertidaksamaan Grönwall terpenuhi.

Selain itu, teorema keunikan seperti Lipschitz di atas tidak berlaku untuk sistem DAE, yang mungkin memiliki beberapa solusi yang berasal dari bagian aljabar (non-linear) saja.

Eksistensi lokal dan teorema keunikan disederhanakan

Teorema dapat dinyatakan secara sederhana sebagai berikut. Untuk persamaan dan masalah nilai awal:

$y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})$

bila F and ∂F/∂y bersambung dalam persegi panjang tertutup

$R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]$

dalam x-y bidang, dimana a dan b adalah real (secara simbolis: a, b ∈ ℝ) dan × menunjukkan produk kartesian, tanda kurung siku menunjukkan interval tertutup, lalu ada interval

$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]$

Pengurangan pesanan

Persamaan diferensial biasanya dapat diselesaikan dengan lebih mudah jika urutan persamaan dapat dikurangi.

Pengurangan ke sistem orde pertama

Persamaan orde diferensial eksplisit apa pun n,

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

dapat ditulis sebagai sistem n persamaan diferensial orde pertama dengan mendefinisikan keluarga baru fungsi yang tidak diketahui

$y_{i}=y^{(i-1)}.\!$

bagi i = 1, 2,..., n. Kemudian sistem dimensi n dari persamaan diferensial berpasangan orde satu

${\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}$

lebih kompak dalam notasi vektor:

$\mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )$

dimana

$\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).$

Metode tebakan

Ketika semua metode lain untuk menyelesaikan PDB gagal, atau dalam kasus di mana kami memiliki beberapa intuisi tentang seperti apa solusi untuk DE, Terkadang mungkin untuk menyelesaikan DE hanya dengan menebak solusi dan memvalidasinya benar. Untuk menggunakan metode ini, kita cukup menebak solusi dari persamaan diferensial, lalu memasukkan solusi tersebut ke dalam persamaan diferensial untuk memvalidasi apakah solusi tersebut memenuhi persamaan tersebut. Jika benar, maka kami memiliki solusi khusus untuk DE, jika tidak, kami mulai lagi dan coba tebakan lain. Misalnya kita bisa menebak bahwa solusi untuk DE memiliki bentuk: $y=Ae^{\alpha t}$ karena ini adalah solusi yang sangat umum yang secara fisik berperilaku sinusoidal.

Dalam kasus PDB orde pertama yang tidak homogen, pertama-tama kita harus mencari solusi DE untuk bagian DE yang homogen, atau yang dikenal sebagai persamaan karakteristik.

${\text{solusi total}}={\text{solusi homogen}}+{\text{solusi tertentu}}$

Lihat pula

• Masalah nilai batas
• Contoh persamaan diferensial
• Transformasi Laplace diterapkan pada persamaan diferensial
• Daftar topik sistem dinamis dan persamaan diferensial
• Persamaan diferensial matriks
• Metode koefisien yang belum ditentukan
• Relasi perulangan

Referensi

• Halliday, David; Resnick, Robert (1977), Physics (edisi ke-3rd), New York: Wiley, ISBN 0-471-71716-9 
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9 
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (edisi ke-3rd), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8 .
• Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716 
• Tipler, Paul A. (1991), Physics for Scientists and Engineers: Extended version (edisi ke-3rd), New York: Worth Publishers, ISBN 0-87901-432-6 
• Boscain, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Introduction à l'automatique (PDF) (dalam bahasa french) Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
• Dresner, Lawrence (1999), Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations, Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, ISBN 978-0750305303 

Bibliografi

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill. 
• Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, doi:10.1137/1.9780898719222, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104 
• W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757 
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
• Ibragimov, Nail H. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3. Providence: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3. .
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. 
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Persamaan diferensial, biasa", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Persamaan Diferensial di Curlie (dari DMOZ) (termasuk daftar perangkat lunak untuk memecahkan persamaan diferensial).
• EqWorld: The World of Mathematical Equations, berisi daftar persamaan diferensial biasa beserta solusinya.
• Online Notes / Differential Equations oleh Paul Dawkins, Lamar University.
• Differential Equations, S.O.S. Matematika.
• A primer on analytical solution of differential equations dari Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
• Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems lecture notes by Gerald Teschl.
• Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers Buku pengantar tentang persamaan diferensial oleh Jiri Lebl dari UIUC.
• Modeling with PDBs using Scilab Sebuah tutorial tentang bagaimana memodelkan sistem fisik yang dijelaskan oleh PDB menggunakan bahasa pemrograman standar Scilab oleh tim Openeering.
• Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha