Teorema bilangan prima

menjelaskan asimtotik, distibusi dari bilangan prima di antara bilangan bulat positif

Dalam teori bilangan, teorema bilangan prima (TBP) menjelaskan asimtotik, distibusi dari bilangan prima di antara bilangan bulat positif. Teorema ini dibuktikan secara independen oleh Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée Poussin pada tahun 1896 menggunakan ide-ide yang diperkenalkan oleh Bernhard Riemann (khususnya, fungsi zeta Riemann).

Distribusi pertama yang ditemukan adalah , dimana adalah fungsi penghitungan bilangan prima dan adalah logaritma alami . Ini berarti, untuk yang cukup besar, kemungkinan bahwa sebuah bilangan bulat acak tidak lebih besar dari adalah bilangan prima yang sangat dekat ke . Karena itu, sebuah bilangan bulat acak dengan paling banyak digit (untuk yang cukup besar) kemungkinannya sekitar setengahnya menjadi bilangan prima sebagai bilangan bulat acak dengan paling banyak digit.

Sebagai contoh, antara bilangan bulat positif paling banyak 1000 digit, sekitar satu dari 2300 adalah bilangan prima (), sedangkan di antara bilangan bulat paling banyak 2000 digit, sekitar satu dari 4600 adalah bilangan prima (). Dengan kata lain, jarak rata-rata antara bilangan prima berurutan sekitar bilangan bulat pertama kira-kira .[1]

Pernyataan

sunting
 
Grafik tersebut menunjukkan bahwa rasio dari fungsi penghitungan bilangan prima   hingga dua dari perkiraannya   dan  . Ketika   meningkat (perhatikan sumbu   adalah logaritmik), kedua rasionya menuju 1. Rasio untuk   konvergen dari atas sangat lambat, sedangkan rasio untuk   konvergen lebih cepat dari bawah.
 
Plot log menunjukkan galat absolut   dan  , dua aporksimasi ke fungsi penghitungan prima  . Tidak seperti rasio, selisih antara   dan   meningkat tanpa batas saat   meningkat. Di samping itu,   bertukar tanda berkali-kali.

Misalkan   adalah fungsi penghitung bilangan prima yang memberikan bilangan prima kurang dari sama dengan  , untuk setiap bilangan real  . Misalnya,   karena terdapat empat bilangan prima (2, 3, 5, dan 7) kurang dari sama dengan 10. Teorema bilangan prima kemudian menyatakan bahwa   adalah sebuah aprokismasi yang baik untuk  , dalam arti bahwa limit dari hasil bagi dari dua fungsi   dan   saat   meningkat tanpa batas adalah 1ː

  ,

Ini dikenal sebagai hukum asimtotik distribusi bilangan prima. Dengan menggunakan notasi asimtotik, hasil ini dapat dikemukakan kembali sebagai

 .

Notasi ini (dan teoremanya) tidak mengatakan apapun tentang limit dan selisih dari dua fungsi saat   meningkat tanpa batas. Sebagai gantinya, teoremanya mengatakan bahwa   mendekati   dalam arti bahwa galat relatif dari aprokismasi ini mendekati 0

Teorema bilangan prima setara dengan pernyataan bahwa bilangan prima   ke-  memenuhiː

 ,

pengertian dari notasi asimtotik, lagi, bahwa galat relatif dari aproksimasi ini mendekati 0 saat   meningkat tanpa batas. Sebagai contoh, bilangan prima ke   adalah  ,Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah. dan   membulatkan ke  , sebuah galat relatif sekitar  .

Seperti yang diuraikan di bawah, teorema bilangan prima juga setara dengan

 ,

dimana   dan   adalah fungsi Chebyshev pertama dan kedua.

Sketsa bukti

sunting

ini adalah sebuah sketsa dari bukti yang disebut di salah satu kuliah Terence Tao.[2] Ide tersebut adalah untuk menghitung bilangan prima (atau sebuah himpunan yang terkait seperti himpunan dari pangkat-pangkat bilangan prima) dengan bobot untuk sampai pada sebuah fungsi dengan perilaku asimtotik yang lebih mulus. Yang paling umum seperti fungsi penghitungan rampat adalah fungsi Chebyshev.

 

Kadang-kadang, ini ditulis sebagai

 ,

dimana   adalah fungsi von Mangoldt, yaitu

 

Sekarang relatif mudah untuk memeriksa bahwa TBP setara dengan tujuannya bahwa

 .

Memang, ini mengikuti dari perkiraan yang mudah

 

dan (menggunakan notasi O besar) untuk setiap  ,

 .

Langkah selanjutnya adalah mencari sebuah representasi yang berguna untuk  . Misalkan   menjadi sebuah fungsi zeta Riemann. Ini bisa menunjukkan bahwa   berakitan dengan fungsi von Mangoldt  ,

 .

Sebuah analisis yang rumit dari persamaan ini dan sifat-sifat yang terkati dengan fungsi zeta, menggunakan transformasi Mellin dan rumus Perron, menunjukkkan bahwa untuk bukan bilangan bulat   persamaan

 berlaku, dimana jumlah di atas semuanya nol (trivial dan nontrivial) dari fungsi zeta. Rumus yang mencolok ini adalah salah satu yang disebut rumus eksplisit teori bilangan, dan sudah menunjukkan dari hasil yang kita buktikan, sejak suku   (diklaim menjadi perbaikan urutan asimtotik  ) muncul pada sebelah kanan, diikuti oleh (agaknya) suku asimtotik urutan lebih rendah.

Langkah selanjutnya dalam bukti melibatkan sebuah studi dari nol dari fungsi zeta. Nol trivial   bisa ditangani secara terpisahː

 ,

yang hilang untuk sebuah   besar. Untuk nol nontrivial, yaitu yang ada di garis kritis  , berpotensi menjadi sebuah urutan asimtotik sebanding ke suku utama   jika  , jadi kita perlu menunjukkan bahwa semua nol memiliki bagian real sangat kurang dari  .

Untuk melakukan ini, kita menerima begitu saja bahwa   adalah meromorfik dalam setengah bidang  , dan analitik di sana kecuali untuk sebuah kutub sederhana pada  , dan itu terdapat sebuah rumus produk

 

untuk  . Rumus produk ini mengikuti dari adanya faktorisasi bilangan prima tunggal dari bilangan bulat, dan menunjukkan bahwa   tidak pernah nol di daerah ini, jadi logaritmanya didefinisikan di sana dan

  .

Tulis  , lalu

 .

Sekarang mengamati identitas

  ,

sehingga

 

untuk semua  . Misalkan bahwa  . Tentu saja   bukan nol, karena   memiliki sebuah kutub sederhana pada  . Misalkan bahwa   dan misalkan   cenderung ke   dari atas. Karena   adalah sebuah kutub sederhana pada   dan   tetap analitik, sisi kiri di pertidaksamaan sebelumnya cenderung ke  , sebuah kontradiksi.

Terakhir, kita bisa menyimpulkan bahwa TBP secara heuristik benar. Untuk menyelesaikan bukti dengan teliti, masih ada teknik-teknik yang serius untuk diatasi, karena faktanya bahwa penjumlahan pada nol zeta dalam rumus eksplisit untuk   tidak konvergen sepenuhnya tetapi hanya bersyarat dan dalam sebuah arti "nilai utama". Terdapat beberapa cara di sekitar masalah ini tapi banyak dari mereka membutuhkan perkiraan analisis kompleks yang agak rumit. Buku Edward[3] menyediakan detailnya. Metode lainnya adalah menggunakan teorema Tauberian Ikehara, meskipun teorema ini sendiri cukup sulit untuk membuktikan. D. J. Newman mengamati bahwa kekuatan penuh dari teorema Ikehara tidak dibutuhkan untuk teorema bilangan prima, dan salah satunya bisa lolos dengan sebuah kasus spesial yang jauh lebih mudah untuk membuktikan.

Bukti Newman tentang TBP

sunting

Fungsi Chebyshev pertama dan kedua masing-masing

 

Deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan   dari yang pertama. TBP setara dengan   atau  .

Jumlah untuk adalah   dan   jumlah parsial dari koefisien dari deret Dirichlet

 ,

dimana   adalah fungsi zeta Riemann. Seperti jumlah parisal, deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan   dari yang pertama. Deret Dirichlet dibentuk oleh suku-suku dengan   didominasi oleh deret Dirichlet untuk   untuk setiap positif  , jadi turunan logaritmik   dan   berbeda dengan sebuah holomorfik fungsi dalam  , dan oleh karena itu memiliki singularitas yang sama pada garis  .

Mengintegrasi dengan bagian diberikan untuk  ,

 .

Semua bukti-bukti analitik dari TBP menggunakan fakta bahwa   tidak memiliki nol pada garis  . Satu informasi lebih lanjut dalam pembuktian Newman adalah   dibatasi, Ini bisa dengan mudah membuktikan metode-metode dasar.

Metode Newman membuktikan TBP dengan menunjukkan integral

 

konvergen, dan karena itu integrand tersebut menuju nol karena  . Secara umum, konvergensi dari integral takwajar tidak menyiratkan bahwa integrand menuju nol, karena itu mungkin berosilasi, tetapi karena   meningkat, itu mudah untuk ditampilkan dalam kasus ini.

Untuk  , misalkan

 

maka

 

yang holomorfik pada garis  . Konvergensi dari integral   dibuktikan dengan menunjukkan bahwa  . Ini melibatkan perubahan urutan limit karena itu dapat ditulis sebagai

 

dan karena itu digolongkan sebagai teorema Tauberian.

Selisih   diekspresikan dengan menggunakan rumus integral Cauchy dan kemudian taksirannya diterapkan ke integral. Tetapkan   dan  , seperti   holomorfik dalam daerah dimana   dan   dan misalkan   menjadi batasnya. Karena   ada di bagian dalam, rumus integral Cauchy memberikan

 .

Untuk mendapatkan sebuah taksiran kasar pada integrand, misalkan   menjadi sebuah batas atas untuk  , maka untuk  

 

Batas ini tidak cukup baik untuk membuktikan hasil tersebut, namun Newman memperkenalkan faktor

 

menjadi integrand untuk  . Karena faktor Newman   adalah menyeluruh dan  , ruas kiri tetap tidak berubah. Sekarang taksiran di atas untuk   dan taksiran pada   menggabungkan untuk diberikan

 .

dimana   adalah setengah lingkaran  

Misalkan   menjadi kontur  . Fungsi   adalah menyeluruh, jadi dengan menggunakan teorema integral Cauchy, kontur   dapat dimodifikasi ke sebuah setengah lingkaran dari jari-jari   dalam kiri setengah bidang tanpa mengubah integral  , dan argumen yang sama memberikan nilai mutlak dari integral ini sebagai  . Akhirnya, dengan memisalkan  , integral   pada kontur   menuju nolkarena   menuju nol pada kontur. Menggabungkan tiga taksiran, mendapatkan

 .

Ini berlaku untuk setiap   sehingga  , dan TBP berikut.

Aproksimasi untuk bilangan prima ke-n

sunting

Sebagai akibat dari teorema bilangan prima, salah satunya mendapatkan sebuah ekspresi asimtotik untuk bilangan prima ke- , yang dilambangkan sebagai  . Ekspresiny yaitu:

 .

Sebuah aproksimasi yang lebih baik adalahKesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah.

 .

Teorema Rosser menyatakan bahwa

 .

Ini dapat diperbaiki dengan mengikuti sepasang batas berikut.

Tabel , , dan

sunting

Tabel tersebut membandingkan nilai eksak   dengan aproksimasi   dan  . Di kolom terakhir,  , adalah rata-rata celah bilangan prima di bawah  .

           
10 4 −0.3 0.921 2.2 2.5
102 25 3.3 1.151 5.1 4
103 168 23 1.161 10 5.952
104 1229 143 1.132 17 8.137
105 9592 906 1.104 38 10.425
106 78498 6116 1.084 130 12.740
107 664579 44158 1.071 339 15.047
108 5761455 332774 1.061 754 17.357
109 50847534 2592592 1.054 1701 19.667
1010 455052511 20758029 1.048 3104 21.975
1011 4118054813 169923159 1.043 11588 24.283
1012 37607912018 1416705193 1.039 38263 26.590
1013 346065536839 11992858452 1.034 108971 28.896
1014 3204941750802 102838308636 1.033 314890 31.202
1015 29844570422669 891604962452 1.031 1052619 33.507
1016 279238341033925 7804289844393 1.029 3214632 35.812
1017 2623557157654233 68883734693281 1.027 7956589 38.116
1018 24739954287740860 612483070893536 1.025 21949555 40.420
1019 234057667276344607 5481624169369960 1.024 99877775 42.725
1020 2220819602560918840 49347193044659701 1.023 222744644 45.028
1021 21127269486018731928 446579871578168707 1.022 597394254 47.332
1022 201467286689315906290 4060704006019620994 1.021 1932355208 49.636
1023 1925320391606803968923 37083513766578631309 1.020 7250186216 51.939
1024 18435599767349200867866 339996354713708049069 1.019 17146907278 54.243
1025 176846309399143769411680 3128516637843038351228 1.018 55160980939 56.546
OEIS A006880 A057835 A057752

Nilai untuk   dihitung dengan asumsi hipotesis Riemann;[4] maka hal itu telah diverifikasi tanpa syarat.[5]

Analog dari polinomial yang taktereduksi lagi pada sebuah medan berhingga

sunting

Ada sebuah analog dari teorema bilangan prima yang menggambarkan bahwa polinomial taktereduksi "distribusi" pada sebuah medan berhingga terbatas, bentuknya sangat mirip dengan kasus teorema bilangan prima klasik. yang

Untuk menyatakannya dengan tepat, misalkan   menjadi medan berhingga dengan anggota  , dan misalkan   menjadi bilangan polinomial taktereduksi monik pada   yang derajatnya sama dengan  . Artinya, kita sedang melihat pada polinomial yang koefisiennya terpilih dari  , yang tidak bisa ditulis sebagai produk polinomial derajat lebih kecil. Dalam pengaturan ini, polinomial ini memainkan peran dari bilangan prima, karena semua polinomial monik lainnya dibangun dari produk mereka. Salah satunya kemudian membuktikan bahwa

 .

Jika kita membuat substitusi  , maka di ruas kanan hanya

 ,

yang membuat analognya lebih jelas. Karena tepatnya ada polinomial monik   derajat   (termasuk yang dapat direduksi), ini dapat diungkapkan ulang sebagai berikut: jika sebuah polinomial monik derajat   dipilih secara acak, maka kemungkinan tersebut tidaktereduksi sekitar  .

Salah satunya bisa membuktikan sebuah analog dari hipotesis Riemann, yaitu

 .

Bukti dari pernyataan-pernyataan ini jauh lebih sederhana daripada dalam kasus klasik. Ini melibatkan argumen kombinatorika singkat,Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah. diringkas sebagai berikut: setiap anggota dari derajat   ekstensi   adalah sebuah akar dari beberapa polinomial taktereduksi yang derajat   membagi  , dengan menghitung akar-akar ini dalam dua cara yang berbeda salah satunya menetapkan bahwa

 ,

dimana jumlah pada semua pembagi   pada  . Invers Möbius kemudian menghasilkan

 

dimana   adalah fungsi Möbius. (Rumus ini diketahui Gauss) Suku utama terjadi untuk  , dan ini tidak sulit untuk membatasi suku-suku yang tersisa. Pernyataan "hipotesis Riemann" tergantung pada fakta bahwa pembagi terbesar pada   tidak boleh lebih besar dari  .

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers . New York: Hyperion Books. hlm. 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054. 
  2. ^ Tao, Terence. "254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory". Terence Tao's blog. 
  3. ^ Edwards, Harold M. (2001). Riemann's zeta function. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41740-0. 
  4. ^ "Conditional Calculation of π(1024)". Chris K. Caldwell. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-09-25. Diakses tanggal 2010-08-03. 
  5. ^ Platt, David (2015). "Computing π(x) analytically". Mathematics of Computation. 84 (293): 1521–1535. arXiv:1203.5712 . doi:10.1090/S0025-5718-2014-02884-6. MR 3315519. 

Pranala eksternal

sunting