Grup kuaternion

Dalam teori grup, grup angka empat Q₈ (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah grup non-abelian dari urutan delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen $\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup

Diagram siklus dari Q₈. Setiap warna menentukan rangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas e = 1. Misalnya, siklus berwarna merah mencerminkan fakta bahwa i² = e, i³ = i dan i⁴ = e. Siklus merah juga mencerminkan bahwa i² = e, i³ = i dan i⁴ = e.

$\mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,$

di mana e adalah elemen identitas dan e komutatif dengan elemen lain dalam grup.

Presentasi Q ₈ lainnya adalah:

$\mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=\mathbf {1} ,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .$

Dibandingkan dengan grup dihedral

Grup quaternion Q ₈ memiliki urutan yang sama dengan grup dihedral D₄, tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:

	Q8	D4
Grafik Cayley	Panah merah terhubung g→gi, koneksi hijau g→gj.
Grafik siklus

Dalam diagram untuk D ₄ , elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan R². Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q ₈ , karena tidak memiliki representasi yang tepat di R² atau R³. D₄ dapat direalisasikan sebagai bagian dari pemmbagi angka empat dengan cara yang sama seperti Q ₈ dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.

Tabel Cayley

Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q ₈ diberikan oleh:

×	e	e	i	i	j	j	k	k
e	e	e	i	i	j	j	k	k
e	e	e	i	i	j	j	k	k
i	i	i	e	e	k	k	j	j
i	i	i	e	e	k	k	j	j
j	j	j	k	k	e	e	i	i
j	j	j	k	k	e	e	i	i
k	k	k	j	j	i	i	e	e
k	k	k	j	j	i	i	e	e

Sifat

Perhatikan bahwa i , j , dan k semuanya memiliki urutan empat di Q ₈ dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup. Presentasi lainnya dari Q₈ berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:

$\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .$

Seseorang mungkin mengambil, misalnya, $i=x,j=y$, dan $k=xy$.

Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai Hamiltonian: Q₈ non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah normal. Every Hamiltonian group contains a copy of Q₈.

Grup angka empat Q ₈ dan grup dihedral D ₄ adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian nilpoten.

Pusat dan subgrup komutator dari Q ₈ adalah subgrup $\{e,{\bar {e}}\}$. Grup automorfisme dalam dari Q ₈ diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q₈/{e,e}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q ₈ adalah isomorfik sampai S ₄ , grup simetris pada empat huruf (lihat Representasi matriks di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q ₈ adalah S₄/V, yang isomorfik ke S₃.

Grup angka empat Q ₈ memiliki lima kelas konjugasi, {e }, { e }, { i, i }, { j, j }, { k, k }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:

Representasi trivial

Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel: Q₈ memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal N , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi G/N. Representasi mengirimkan elemen N ke 1, dan elemen di luar N ke -1.

Representasi 2 dimensi: Dijelaskan di bawah dalam Representasi matriks .

Tabel karakter dari Q ₈ ternyata sama dengan D₄:

Representasi (ρ)/kelas konjugasi	{ e }	{ e }	{ i, i }	{ j, j }	{ k, k }
Representasi trivial	1	1	1	1	1
Tanda representasi dengan i-kernel	1	1	1	-1	-1
Tanda representasi dengan j-kernel	1	1	-1	1	-1
Tanda representasi dengan k-kernel	1	1	-1	-1	1
Representasi 2 dimensi	2	-2	0	0	0

Karena karakter yang tidak dapat direduksi $\chi _{\rho }$ pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan dekomposisi dari aljabar grup nyata dari $G=Q_{8}$ menjadi minimal dua sisi ideal: $\textstyle \mathbb {R} [Q_{8}]\ =\ \bigoplus _{\rho }(e_{\rho })$, di mana idempotensi $e_{\rho }\in \mathbb {R} [Q_{8}]$ sesuai dengan irreducibles: $\textstyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g$, seperti

$e_{\text{triv}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})$

$e_{i{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})$

$e_{j{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})$

$e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})$

$e_{2}={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})$.

Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata $\mathbb {R}$. Ideal terakhir $(e_{2})$ isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat $\mathbb {H}$ dengan korespondensi:

$\textstyle {\frac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\longleftrightarrow 1,\ \ {\frac {1}{2}}(i-{\bar {i}})\longleftrightarrow i,\ \ {\frac {1}{2}}(j-{\bar {j}})\longleftrightarrow j,\ \ {\frac {1}{2}}(k-{\bar {k}})\longleftrightarrow k.$

Selanjutnya, proyeksi homomorfisme $\mathbb {R} [Q_{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H}$ diberikan oleh $r\mapsto re_{2}$ memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:

$e_{2}^{\perp }\ =\ \textstyle e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}\ =\ {\frac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),$

sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi $\mathbb {R} [Q_{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H}$.

Aljabar grup kompleks dengan demikian $\mathbb {C} [Q_{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} )$, dimana $M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\!\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$ adalah aljabar dari bikuaternion.

Representasi matriks

Tabel perkalian grup quaternion sebagai subkelompok SL (2, C). Entri diwakili oleh sektor yang sesuai dengan argumennya: 1 (hijau), i (biru), -1 (merah), - i (kuning).

Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi representasi yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q₈ sebagai subgrup dari grup linier umum $\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )$. Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion $\mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j$, yang memiliki representasi reguler $\rho :\mathbb {H} \to \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )$ perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai ruang vektor kompleks dengan basis $\{1,j\}$, sehingga $z\in \mathbb {H}$ sesuai dengan C-pemetaan linier $\rho _{z}:a{+}jb\mapsto z\cdot (a{+}jb)$. Representasi yang dihasilkan $\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} ),\ g\mapsto \rho _{g},$ diberikan oleh:

${\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}$

Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q ₈ dalam grup linear khusus SL₂(C).

Varian memberikan representasi oleh matriks kesatuan (tabel di kanan). Maka $g\in Q_{8}$ sesuai dengan pemetaan linier $\rho _{g}:a{+}bj\mapsto (a{+}bj)\cdot jg^{-1}j^{-1}$, sehingga $\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SU} _{2}$ diberikan oleh:

${\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}$

Tabel perkalian dari grup quaternion sebagai subgrup SL(2,3). Elemen lapangan dilambangkan dengan 0, +, -.

Ada juga tindakan penting Q ₈ pada ruang vektor 2 dimensi di atas bidang berhingga F₃ = {0,1,−1} (tabel di kanan). Representasi modular $\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SL} (2,3)$ diberikan oleh

${\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}$

Representasi ini dapat diperoleh dari bidang ekstensi F₉ = F₃[k] = F₃1 + F₃k, dimana k² = −1 dan grup perkalian (F₉)^× memiliki generator ±(k+1), ±(k-1) urutan 8. Dua dimensi F₃-ruang vektor F₉ mengakui pemetaan linier $\mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)$ untuk z pada F₉, serta Automorfisme Frobenius $\phi (a+bk)=(a+bk)^{3}$ satisfying $\phi ^{2}=\mu _{1}$ dan $\phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi$. Maka matriks representasi di atas adalah $\rho ({\bar {e}})=\mu _{-1}$, $\rho (i)=\mu _{k+1}\phi$, $\rho (j)=\mu _{k-1}\phi$, dan $\rho (k)=\mu _{k}$.

Grup Galois

Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai grup Galois Gal(T/Q) dimana Q adalah bidang bilangan rasional dan T adalah bidang pemisah di atas Q dari polinomial

$x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36$.

Pengembangan menggunakan teorema fundamental teori Galois dalam menentukan empat bidang perantara antara Q dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.

Grup angka empat digeneralisasi

Grup kuatnion umum Q_4n urutan 4n ditentukan oleh presentasi

$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$

untuk bilangan bulat n ≥ 2, dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh n = 2. Coxeter menggunakan Q_4n grup siklik $\langle 2,2,n\rangle$, kasus khusus dari grup polihedral biner $\langle \ell ,m,n\rangle$ dan terkait dengan grup polihedral $(p,q,r)$ dan grup dihedral $(2,2,n)$. Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup $\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )$ dihasilkan oleh

$\left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)$

dimana $\omega _{n}=e^{i\pi /n}$. Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh $x=e^{i\pi /n}$ dan $y=j$.

Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup abelian bersiklus. Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas. Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup p terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo p adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum. Secara khusus, untuk bidang hingga F dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL₂(F) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, (Gorenstein 1980, hlm. 42). Maka p^r menjadi ukuran F , di mana p adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL₂(F) adalah 2ⁿ, dimana n = ord₂(p² − 1) + ord₂(r).

Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.

Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2, yang mengakui presentasi

$\langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .$

Lihat pula

• sel-16
• Grup tetrahedral biner
• Aljabar Clifford
• Grup dikiklik
• Angka empat integral Hurwitz
• Daftar grup kecil

Referensi

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2 
• Brown, Kenneth S. (1982), Cohomology of groups (edisi ke-3rd), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1 
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), Homological Algebra, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5 
• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. 
• Dean, Richard A. (1981) "A rational polynomial whose group is the quaternions", American Mathematical Monthly 88:42–5.
• Gorenstein, D. (1980), Finite Groups, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209 
• Johnson, David L. (1980), Topics in the theory of group presentations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23108-4, MR 0695161 
• Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups (edisi ke-4th), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8 
• P.R. Girard (1984) "The quaternion group and modern physics", European Journal of Physics 5:25–32.
• Hall, Marshall (1999), The theory of groups (edisi ke-2nd), AMS Bookstore, ISBN 0-8218-1967-4 
• Kurosh, Alexander G. (1979), Theory of Groups, AMS Bookstore, ISBN 0-8284-0107-1 

Pranala luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Quaternion group". MathWorld. 
• Quaternion groups on GroupNames
• Quaternion group on GroupProps
• Conrad, Keith. "Generalized Quaternions"