Grup selang-seling

Dalam matematika, grup selang-seling adalah grup dari permutasi genap dari himpunan hingga. Grup bergantian pada satu set elemen n disebut grup selang-seling derajat n, atau grup seling pada huruf n dan dilambangkan dengan A_n or Alt(n).

Sifat dasar

Untuk n > 1, grup A_n adalah subgrup komutator dari grup simetris S_n dengan indeks 2 dan karena itu memiliki n!/2 elemen. Ini adalah kernel dari tanda tangan homomorfisme grup sgn : S_n → {1, −1} dijelaskan di bawah grup simetris.

Grup A_n adalah abelian jika dan hanya jika n ≤ 3 dan sederhana jika dan hanya jika n = 3 or n ≥ 5. A₅ adalah non-abelian grup sederhana terkecil, memiliki urutan 60, dan non grup solvabel terkecil.

Grup A ₄ memiliki Klein four-group V sebagai subgrup normal yang tepat, yaitu identitas dan transposisi ganda { (), (12)(34), (13)(24), (14)(23) }, itulah kernel dari perkiraan A ₄ ke A₃ = C₃. Kami memiliki urutan persis V → A₄ → A₃ = C₃. Dalam Teori Galois, peta ini, atau lebih tepatnya peta yang sesuai S₄ → S₃, sesuai dengan mengasosiasikan Penyelesai Lagrange kubik ke kuartik, yang memungkinkan polinomial kuartik untuk diselesaikan dengan radikal, seperti yang ditetapkan oleh Lodovico Ferrari.

Kelas konjugasi

Seperti dalam grup simetris, dua elemen A_n yang dikonjugasikan oleh elemen A_n harus memiliki bentuk siklus yang sama. Kebalikannya belum tentu benar. Jika bentuk siklus hanya terdiri dari siklus dengan panjang ganjil tanpa ada dua siklus yang panjangnya sama, dimana siklus dengan panjang satu dimasukkan ke dalam tipe siklus, maka tepat ada dua kelas konjugasi untuk bentuk siklus ini (Scott 1987, §11.1, p299).

Contoh:

• Kedua permutasi (123) dan (132) tidak terkonjugasi dalam A₃, meskipun mereka memiliki bentuk siklus yang sama, dan oleh karena itu berkonjugasi S₃.
• Permutasi (123) (45678) tidak terkonjugasi dengan kebalikannya (132) (48765) pada A ₈ , meskipun kedua permutasi tersebut memiliki bentuk siklus yang sama, sehingga keduanya berkonjugasi dalam S₈.

Hubungan dengan gruo simetris

Lihat Grup simetris.

Generator dan relasi

A_n dihasilkan oleh 3-siklus, karena 3-siklus dapat diperoleh dengan menggabungkan pasangan transposisi. Genset ini sering digunakan untuk membuktikan bahwa A _n sederhana n ≥ 5.

Grup automorfisme

Informasi lebih lanjut: Automorfisme grup simetris dan bergantian

$n$	$\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})$	$\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})$
$n\geq 4,n\neq 6$	$\mathrm {S} _{n}$	$\mathrm {Z} _{2}$
$n=1,2$	$\mathrm {Z} _{1}$	$\mathrm {Z} _{1}$
$n=3$	$\mathrm {Z} _{2}$	$\mathrm {Z} _{2}$
$n=6$	$\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {Z} _{2}$	$\mathrm {V} =\mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}$

Untuk n > 3, kecuali untuk n = 6, grup automorfisme dari A _n adalah grup simetris S _n , dengan grup automorfisme dalam A _n dan grup automorfisme luar Z ₂ ; automorfisme luar berasal dari konjugasi oleh permutasi ganjil.

Untuk n = 1 dan 2, kelompok automorfisme itu trivial. Untuk n = 3 grup automorfisme adalah Z ₂ , dengan grup automorfisme dalam sepele dan grup automorfisme luar Z ₂ .

Kelompok automorfisme luar A ₆ adalah grup empat Klein V = Z₂ × Z₂, dan terkait dengan automorfisme luar S ₆ . Automorfisme luar ekstra di A ₆ menukar 3-siklus (seperti (123)) dengan elemen bentuk 3² (seperti (123) (456)).

Isomorfisme istimewa

Ada beberapa isomorfisme istimewa antara beberapa grup kecil bergantian dan grup tipe Lie kecil, khususnya grup linear khusus proyektif. Ini adalah:

• A₄ isomorfik untuk PSL₂(3) and grup simetri dari simetri tetrahedrai kiral
• A₅ isomorfik untuk PSL₂(4), PSL₂(5), dan kelompok simetri kiral simetri ikosahedral. (Lihat untuk isomorfisme tidak langsung dari PSL₂(F₅) → A₅ menggunakan klasifikasi grup sederhana berorde 60, dan di sini untuk bukti langsung).
• A₆ isomorfik untuk PSL₂(9) dan PSp₄(2)'.
• A₈ isomorfik untuk PSL₄(2).

Lebih jelasnya, A ₃ isomorfik bagi grup siklik Z ₃ , dan A ₀ , A ₁ , dan A ₂ isomorfik ke grup trivial (yang juga SL₁(q) = PSL₁(q) untuk q).

Contoh S₄ dan A₄

Tabel Cayley dari grup simetris S4 permutasi ganjil diberi warna: Transposisi ​​dalam warna hijau dan 4-siklus dalam warna oranye

Tabel Cayley dari grup bergantian A4 Elemen: Permutasi genap (identitas, delapan 3-siklus dan tiga double- transposisi ​​(transposisi ganda dicetak tebal)) Subgroups:

Grafik siklus

A3 = Z3 (urutan 3)	A4 (order 12)	A4 × Z2 (urutan 24)
S3 = Dih3 (urutan 6)	S4 (urutan 24)	A4 di S4 di kiri

Contoh A₅ sebagai subgrup rotasi 3-ruang

$A_{5}<SO_{3}(\mathbb {R} )$

   bola - jari-jari π -ruang homogen utama dari SO(3)

  icosidodecahedron - jari-jari π - kelas konjugasi 2-2-cycles

  icosahedron - jari jari 4π/5 - setengah dari membagi kelas konjugasi 5-siklus

  dodecahedron - jari-jari 2π/3 - kelas konjugasi 3-siklus

  icosahedron - jari jari 2π/5 - setengah detik dari pembagian 5-siklus

Senyawa lima tetrahedra. $A_{5}$ bekerja pada dodecahedron dengan mengubah 5 tetrahedra yang tertulis. Bahkan permutasi tetrahedra ini adalah persis rotasi simetris dodecahedron dan mencirikan $A_{5}<SO_{3}(\mathbb {R} )$ korespondensi.

$A_{5}$ adalah grup isometri dodecahedron dalam 3 ruang, jadi ada representasi $A_{5}\to SO_{3}(\mathbb {R} )$

Dalam gambar ini simpul polihedra mewakili elemen grup, dengan pusat bola mewakili elemen identitas. Setiap simpul mewakili rotasi pada sumbu yang menunjuk dari pusat ke simpul itu, dengan sudut yang sama dengan jarak dari titik asal, dalam radian. Simpul dalam polihedron yang sama berada dalam kelas konjugasi yang sama. Karena persamaan kelas konjugasi untuk $A_{5}$ adalah 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60, kita mendapatkan empat polihedra (nontrivial) berbeda.

Simpul dari setiap polihedron berada dalam korespondensi bijektiva dengan elemen kelas konjugasinya, dengan pengecualian kelas konjugasi (2,2)-siklik, yang diwakili oleh sebuah icosidodecahedron di permukaan luar, dengan simpul antipodal yang diidentifikasi satu sama lain. Alasan redundansi ini adalah bahwa rotasi terkait oleh $\pi$ radian, sehingga dapat diwakili oleh vektor dengan panjang $\pi$ di salah satu dari dua arah. Jadi kelas dari (2,2)-siklik mengandung 15 elemen, sedangkan icosidodecahedron memiliki 30 simpul.

Dua kelas konjugasi dari dua belas 5-siklus dalam $A_{5}$ diwakili oleh dua icosahedra, dari jari-jari $2\pi /5$ dan $4\pi /5$, masing-masing. Automorfisme luar nontrivial pada ${\text{Out}}(A_{5})\simeq Z_{2}$ mempertukarkan kedua kelas ini dan ikosahedra yang sesuai.

Referensi

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Graduate texts in mathematics, 80 (edisi ke-2), Springer, ISBN 978-0-387-94461-6 
• Schur, Issai (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 139: 155–250, doi:10.1515/crll.1911.139.155 
• Scott, W.R. (1987), Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-65377-8 

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Alternating group". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Alternating group graph". MathWorld.