Integral

Halaman ini berisi artikel tentang konsep integral tentu dalam kalkulus. Untuk integral taktentu, lihat antiturunan. Untuk himpunan bilangan, lihat bilangan bulat. Untuk Penggunaan lain, lihat Integral (disambiguasi).

Dalam matematika, integral adalah versi kontinu dari konsep penjumlahan, yang digunakan untuk menghitung luas, volume, dan banyak perumumannya. Integrasi atau mengintegralkan, yakni proses menghitung suatu integral, adalah salah satu dari dua operasi penting dalam kalkulus; operasi yang lain adalah turunan. Integrasi awalnya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika dan fisika, seperti menghitung luas daerah dibawah suatu kurva atau menentukan besar perpindahan objek dari kecepatannya. Penggunaan integrasi selanjutnya meluas ke banyak bidang keilmuan.

Integral tentu dari suatu fungsi dapat diartikan sebagai luas bertanda dari daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut dan sumbu horizontal. Pada grafik di atas sebagai contoh, integral dari $f(x)$ adalah luas berwarna biru (+) dikurangi oleh luas berwarna kuning (-).

Integral tentu dari suatu fungsi $f$ menghitung luas bertanda dari daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut di antara dua titik di garis horizontal. Berdasarkan konvensi, luas daerah yang terletak di atas garis horizontal memiliki luas yang bernilai positif, sedangkan yang terletak di bawah memiliki luas negatif. Integral juga mencakup konsep antiturunan, yakni suatu fungsi yang turunannya adalah fungsi $f$; dalam hal ini, suatu fungsi tersebut disebut integral taktentu. Teorema dasar kalkulus memberikan hubungan antara integral tentu dengan turunan, dan cara menghitung integral tentu dari suatu fungsi yang antiturunannya diketahui; turunan dan integral adalah operasi yang saling berkebalikan.

Walaupun cara menghitung luas dan volume sudah diketahui sejak jaman Yunani kuno, prinsip dari integrasi baru dirumuskan secara terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada akhir abad ke-17. Keduanya menganggap luas daerah dibawah kurva sebagai penjumlahan takhingga dari persegi-persegi panjang dengan lebar infinitesimal (takhingga kecilnya). Bernhard Riemann kemudian memberikan definisi cermat (rigorous) dari integral, yang didasarkan pada suatu prosedur yang memprakirakan luas dari suatu daerah kurvilinear dengan memecah daerah tersebut menjadi plat-plat vertikal yang takhingga tipisnya. Pada awal abad ke-20, Henri Lebesgue memperumum metode Riemann dengan memperkenalkan hal yang sekarang disebut sebagai integral Lebesgue; integral ini lebih umum ketimbang Riemann dalam artian ada lebih banyak fungsi yang terintegralkan-Lebesgue.

Integral dapat diperumum tergantung jenis dari fungsi maupun domain atas integrasi dilakukan. Sebagai contoh, integral garis didefinisikan untuk fungsi dua-variabel atau lebih, dan selang dari integrasi digantikan oleh suatu kurva yang menghubungkan dua titik di suatu ruang. Sedangkan pada integral permukaan, kurva digantikan oleh sepotong permukaan di ruang dimensi tiga.

Terminologi dan notasi

Secara umum, integral dari sebuah fungsi bernilai riil $f(x)$ terhadap variabel riil $x$ pada suatu selang $[a,\,b]$ dituliskan sebagai$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$Simbol integral ${\textstyle \int }$ menandakan integrasi. Fungsi $f(x)$ disebut integran. Simbol $dx$, terkadang ditulis sebagai ${\text{d}}x$, disebut diferensial dari variabel $x$, dan menandakan variabel dari integrasi adalah $x.$ Titik $a$ dan $b$ disebut batas (atau limit) dari integrasi, dan integrasi disebut dilakukan pada selang $[a,\,b]$. Sebuah fungsi disebut terintegralkan jika integral fungsi tersebut pada domainnya bernilai hingga. Jika batas integrasi disertakan, integral disebut integral tentu.

Ketika batas integrasi tidak ada, misalnya seperti$$\int f(x)\,dx,$$maka integral disebut sebagai integral taktentu. Integral ini menyatakan suatu kelompok fungsi (antiturunan) yang turunannya adalah integran. Teorema dasar kalkulus menyatakan hubungan antara integral tentu dengan integral taktentu. Terdapat beberapa perumuman notasi dari integral, masing-masing untuk mencakup integrasi yang dilakukan pada domain yang takterbatas dan/atau dimensi tinggi (lihat bagian Perumuman di artikel ini).

Dalam pembahasan tingkat lanjut, cukup umum untuk tidak menuliskan $dx$ ketika hanya menggunakan integral Riemann yang sederhana, atau ketika integral dapat berlaku secara umum. Sebagai contoh, sifat linearitas dari integral dapat dituliskan ${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$, simbol $dx$ tidak dituliskan karena sifat tersebut berlaku bagi integral Riemann dan semua perumumannya.

Interpretasi

Hampiran integral ${\sqrt {x}}$ pada nilai $x=0$ hingga $x=1$, menggunakan 5 partisi titik akhir kanan (warna kuning) dan 12 partisi titik akhir kiri (warna hijau).

Integrasi muncul dalam banyak masalah umum. Bila suatu kolam renang berbentuk kotak dengan dasar yang datar, maka dari panjang, lebar, dan kedalamannya kita dengan mudah dapat menentukan volume air yang dapat ditampungnya (untuk mengisinya), luas permukaannya (untuk menutupinya), dan panjang tepinya (untuk membuat pembatas). Namun jika kolam renang berbentuk oval dengan dasar yang melengkung, semua masalah tadi membutuhkan integral. Tentu perkiraan praktis mungkin cukup untuk contoh sederhana seperti itu, tetapi integral diperlukan dalam ilmu teknik yang membutuhkan ketelitian dan nilai yang presisi. Dalam masing-masing cara tadi, besaran yang ingin ditentukan (misal panjang pembatas) dapat dihitung dengan membaginya menjadi banyak bagian-bagian kecil (atau sampai infinitesimal), lalu menjumlahkan bagian-bagian tadi untuk mendapatkan perkiraan yang akurat.

Sebagai contoh lain, misal seseorang ingin menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ pada selang $x=0$ sampai $x=1$. Ia dapat memperkirakan luasnya dengan membagi selang menjadi lima bagian $(0,\,{\tfrac {1}{5}},\,{\tfrac {2}{5}},\,\cdots ,\,1)$, lalu membuat persegi-persegi panjang dengan tinggi nilai fungsi di batas kanan setiap subselang -- sehingga tinggi masing-masingnya adalah ${\sqrt {\tfrac {1}{5}}},\,{\sqrt {\tfrac {2}{5}}},\,\cdots ,\,{\sqrt {\tfrac {5}{5}}}$, kemudian menjumlahkan semua persegi panjang tadi untuk mendapatkan hampiran$$\textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0,7497,$$yang lebih besar daripada nilai sebenarnya. Hampiran lain dapat dilakukan menggunakan batas kiri setiap subselang, namun nilai yang didapatkan lebih kecil daripada sebenarnya: dengan 12 subselang akan menghasilkan luas $0,6203$. Tetapi ketika banyak subselang diperbanyak sampai tak hingga, luas yang dihitung akan mencapai suatu limit yang sama dengan sama dengan luas daerah yang ingin dicari (dalam kasus ini bernilai ${\textstyle {\tfrac {2}{3}}}$). Menggunakan notasi integral, ini ditulis sebagai$$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},$$yang mengartikan ${\textstyle {\tfrac {2}{3}}}$ adalah jumlah berbobot dari nilai-nilai fungsi, ${\sqrt {x}}$, dikalikan dengan lebar yang infinitesimal, yang disimbolkan dengan $dx$, pada selang $[0,\,1]$.

Penjumlahan Darboux

Penjumlahan Darboux atas untuk fungsi y = x²

Contoh penjumlahan Darboux bawah untuk fungsi y = x²

Definisi formal

Jumlah Riemann berkumpul

Ada banyak cara untuk mendefinisikan integral secara formal, tidak semuanya setara. Perbedaan tersebut sebagian besar ada untuk menangani kasus khusus yang berbeda yang mungkin tidak dapat diintegrasikan dalam definisi lain, tetapi juga jarang terjadi karena alasan pedagogis. Definisi integral yang paling umum digunakan adalah integral Riemann dan integral Lebesgue.

Integral Riemann

Artikel utama: Integral Riemann

Integral Riemann didefinisikan dalam istilah jumlah Riemann fungsi sehubungan dengan partisi yang ditandai dari sebuah interval. Maka [a, b] salah satu bagian interval tertutup dari garis nyata; lalu "partisi yang diberi tag" dari [a, b] adalah urutan yang terbatas

$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$

Cara membagi interval pada [a, b] menjadi n mengganti dengan interval [x_i−1, x_i] diindeks oleh i, yang masing-masing "diberi tag" dengan titik yang berbeda t_i ∈ [x_i−1, x_i]. A Jumlah Riemann dari suatu fungsi f sehubungan dengan partisi yang ditandai seperti definisi sebagai

$\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};$

dengan demikian setiap suku dari jumlah tersebut adalah luas persegi panjang dengan tinggi sama dengan nilai fungsi pada titik yang dibedakan dari sub-interval yang diberikan, dan lebarnya sama dengan lebar sub-interval. Maka Δ_i = x_i−x_i−1 menjadi lebar sub-interval i; maka menghubungkan partisi yang diberi tag adalah lebar mengganti interval terbesar yang dibentuk oleh partisi, max_i=1...n Δ_i. Integral Riemann dari sebuah fungsi f selama interval [a, b] sama dengan S jika:

Untuk semua nilai ε > 0 disana terdapat jumlah δ > 0 sedemikian rupa, untuk partisi yang diberi tag [a, b] dengan mesh kurang dari δ, kami punya

$\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .$

Ketika tag yang dipilih memberikan nilai maksimum (masing-masing, minimum) dari setiap interval, jumlah Riemann menjadi atas (masing-masing, lebih rendah) Jumlah Darboux, menunjukkan hubungan erat antara integral Riemann dan integral Darboux.

Integral Lebesgue

Artikel utama: Integral Lebesgue

Integrasi Riemann – Darboux (atas) dan integrasi Lebesgue (bawah)

Seringkali menarik, baik dalam teori maupun aplikasi, untuk dapat melewati batas di bawah integral. Contohnya, urutan fungsi sering kali dapat dibangun yang mendekati, dalam arti yang sesuai, solusi untuk suatu masalah. Jadi integral dari fungsi solusi harus menjadi batas integral dari aproksimasi. Akan tetapi, banyak fungsi yang dapat diperoleh sebagai batas bukan merupakan integral Riemann, sehingga teorema batas tersebut tidak berlaku dengan integral Riemann.. Oleh karena itu, sangat penting untuk memiliki definisi integral yang memungkinkan kelas fungsi yang lebih luas untuk diintegralkan (Rudin 1987).

Integral seperti itu adalah integral Lebesgue, yang mengeksploitasi fakta berikut untuk memperbesar kelas fungsi yang dapat diintegrasikan: Bila nilai suatu fungsi disusun ulang di atas domain, integral dari suatu fungsi harus tetap sama. Jadi Henri Lebesgue memperkenalkan integral yang menyandang namanya, menjelaskan integral ini dalam sebuah surat kepada Paul Montel:

Saya harus membayar sejumlah uang, yang telah saya kumpulkan di saku saya. Saya mengambil uang kertas dan koin dari saku saya dan memberikannya kepada kreditor sesuai urutan saya menemukannya sampai saya mencapai jumlah totalnya. Ini adalah integral Riemann. Tetapi saya dapat melanjutkan secara berbeda. Setelah saya mengeluarkan semua uang dari saku saya Saya memesan uang kertas dan koin sesuai dengan nilai yang sama dan kemudian saya membayar beberapa tumpukan satu demi satu kepada kreditor. Ini adalah bagian integral saya.

— (Siegmund-Schultze 2008)

Sebagai (Folland 1984, p. 56) meletakkannya, "Untuk menghitung integral Riemann dari f, satu partisi domain [a, b] menjadi sub-interval ", sementara dalam integral Lebesgue," salah satunya adalah mempartisi kisaran f ". Definisi integral Lebesgue dengan demikian dimulai dengan ukuran, μ. Dalam kasus yang paling sederhana, ukuran Lebesgue μ(A) dari sebuah interval A = [a, b] adalah lebar, b − a, sehingga integral Lebesgue setuju dengan integral Riemann (yang tepat) ketika keduanya ada. Dalam kasus yang lebih rumit, set yang diukur bisa sangat terfragmentasi, tanpa kontinuitas dan tidak ada kemiripan dengan interval.

Menggunakan "partisi rentang f " filsafat, integral dari fungsi non-negatif f : R → R harus berjumlah lebih dari t dari area di antara strip horizontal tipis di antaranya y = t and y = t + dt. Maka hasil dari daerah μ{ x : f(x) > t} dt. Maka f^∗(t) = μ{ x : f(x) > t}. Integral Lebesgue dari f kemudian didefinisikan oleh (Lieb & Loss 2001)

$\int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt$

dimana integral di sebelah kanan adalah integral Riemann biasa yang tidak layak (f^∗ is a menurunkan fungsi positif secara ketat, dan karena itu memiliki terdefinisi dengan baik integral Riemann yang tidak tepat). Untuk kelas fungsi yang sesuai (fungsi terukur s) ini mendefinisikan integral Lebesgue.

Fungsi umum yang dapat diukur f adalah Integrasi Lebesgue jika jumlah nilai absolut dari luas daerah antara grafik f dan sumbu x terbatas:

$\int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .$

Dalam kasus tersebut, integralnya adalah, seperti dalam kasus Riemannian, perbedaan antara luas di atas sumbu x dan luas di bawah sumbu x:

$\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu$

dimana

${\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{bila }}f(x)>0,\\0,&{\text{sebaliknya,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{bila }}f(x)<0,\\0,&{\text{sebaliknya.}}\end{cases}}\end{alignedat}}$

Integral Darboux

Artikel utama: Integral Darboux

Integral Darboux, yang ditentukan oleh jumlah Darboux (jumlah Riemann terbatas) namun ekuivalen dengan integral Riemann suatu fungsi dapat diintegrasikan dengan Darboux jika dan hanya jika ia dapat diintegrasikan dengan Riemann. Integral Darboux memiliki keuntungan karena lebih mudah didefinisikan daripada integral Riemann.

Partisi interval [a,b] adalah urutan nilai yang terbatas x_i seperti yang

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.\,\!$

Setiap interval [x_i−1,x_i] disebut subinterval dari partisi. Membiarkan ƒ:[a,b]→ℝ menjadi fungsi yang dibatasi, dan jika

$P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!$

menjadi partisi dari [a, b]. Maka

${\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}$

Darboux bawah (hijau) dan atas (hijau plus lavender) berjumlah empat sub-interval

Jumlah Darboux atas dari ƒ sehubungan dengan P adalah

$U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!$

Jumlah Darboux bawah dari ƒ sehubungan dengan P adalah

$L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!$

Jumlah Darboux bawah dan atas sering disebut jumlah bawah dan atas.

Integral Riemann–Stieltjes

Artikel utama: Integral Riemann–Stieltjes

Integral Riemann-Stieltjes, perpanjangan dari integral Riemann yang terintegrasi sehubungan dengan fungsi sebagai lawan dari variabel.

Riemann-Stieltjes integral dari fungsi bernilai nyata $f$ variabel nyata pada interval $[a,b]$ sehubungan dengan fungsi real-to-real lainnya $g$ dilambangkan dengan

$\int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).$

menggunakan urutan partisi $P$ dari interval $[a,b]$

$P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.$

Integral, kemudian, didefinisikan sebagai limit, karena norma (panjang dari subinterval terpanjang) dari partisi mendekati $0$, dari jumlah perkiraan

$S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\left[g(x_{i+1})-g(x_{i})\right]$

Integral Lebesgue–Stieltjes

Artikel utama: Integral Lebesgue–Stieltjes

Integral Lebesgue–Stieltjes, dikembangkan lebih lanjut oleh Johann Radon, yang menggeneralisasi integral Riemann–Stieltjes dan Lebesgue.

Integral lainnya

Integral lainnya yang terdapat di bawah ini:

• Integral Daniell, yang mengasumsikan integral Lebesgue dan integral Lebesgue–Stieltjes tanpa bergantung pada pengukuran.
• Integral Haar, digunakan untuk integrasi pada kelompok topologi kompak secara lokal, diperkenalkan oleh Alfréd Haar pada tahun 1933.
• Integral Henstock–Kurzweil, dengan berbagai variasi didefinisikan oleh Arnaud Denjoy, Oskar Perron, dan (paling elegan, sebagai integral pengukur) Jaroslav Kurzweil, dan dikembangkan oleh Ralph Henstock.
• Integral Itô dan Integral Stratonovich, yang mendefinisikan integral sehubungan dengan semi persegi panjang seperti gerak Brown.
• Integral Young, yang merupakan sejenis integral Riemann-Stieltjes sehubungan dengan fungsi tertentu dari variasi tak terbatas.
• Integral jalur kasar, yang ditentukan untuk fungsi yang dilengkapi dengan beberapa "jalur kasar" tambahan menyusun dan menggeneralisasi integrasi stokastik terhadap semi persegi panjang dan proses seperti gerakan pecahan Brownian.
• Integral Choquet, integral subaditif atau superaditif yang dibuat oleh ahli matematika Prancis Gustave Choquet pada tahun 1953.

Sifat

Linearitas

Kumpulan fungsi yang dapat diintegrasikan Riemann pada interval tertutup [a, b] membentuk ruang vektor di bawah operasi penambahan pointwise dan perkalian dengan skalar, dan operasi integral

$f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx$

adalah fungsional linear pada ruang vektor ini. Jadi, pertama, kumpulan dari fungsi terintegral ditutup pada pengambilan kombinasi linier; dan kedua, integral dari kombinasi linier adalah kombinasi linier dari integral,

$\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,$

Demikian pula, himpunan nyata - nilai fungsi terintegralkan Lebesgue pada ruang ukur yang diberikan E dengan ukuran μ ditutup dengan mengambil kombinasi linier, dan karenanya membentuk ruang vektor, dan integral Lebesgue

$f\mapsto \int _{E}f\,d\mu$

adalah fungsi linear pada ruang vektor ini, sehingga

$\int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .$

Secara lebih umum, pertimbangkan ruang vektor dari semua fungsi terukur pada ruang ukur (E,μ), mengambil nilai dalam kompak lokal lengkap spasi vektor topologi V di atas bidang topologi K, f : E → V. Kemudian seseorang dapat mendefinisikan peta integrasi abstrak yang ditugaskan ke setiap fungsi f sebuah elemen dari V atau simbol ∞,

$f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,$

kompatibel dengan kombinasi linear. Dalam situasi ini, linieritas berlaku untuk subruang fungsi yang integralnya merupakan elemen dari V (yaitu "finite"). Kasus khusus yang paling penting muncul adalah K pada R, C, atau perluasan lapangan yang terbatas Q_p dari bilangan p-adic s, dan V adalah ruang vektor berdimensi-hingga di atas K, dan jika K = C dan V adalah kompleks ruang Hilbert.

Linearitas, bersama dengan beberapa sifat kontinuitas alami dan normalisasi untuk kelas fungsi "sederhana" tertentu, dapat digunakan untuk memberikan definisi alternatif dari integral. Ini adalah pendekatan dari Daniell untuk kasus fungsi bernilai riil pada suatu himpunan X, digeneralisasikan oleh Nicolas Bourbaki ke fungsi dengan nilai dalam ruang vektor topologi yang kompak secara lokal. Lihat (Hildebrandt 1953) untuk karakterisasi aksiomatik dari integral.

Teorema dasar kalkulus

Lihat pula: Teorema dasar kalkulus

contoh

Sejarah

Lihat pula: Sejarah kalkulus

Integrasi pra-kalkulus

Teknik sistematis terdokumentasi pertama yang mampu menentukan integral adalah metode penghabis dari Yunani kuno astronom Eudoksos (ca. 370 SM), yang berusaha untuk menemukan luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa divisi yang luas atau volumenya diketahui. Metode tersebut dikembangkan lebih lanjut dan digunakan oleh Archimedes pada abad ke-3 SM dan digunakan untuk menghitung luas lingkaran, luas permukaan dan volume bola, luas elips, luas di bawah parabola, volume segmen revolusi paraboloid, volume segmen hiperboloid revolusi, dan luas spiral.

Metode serupa dikembangkan secara independen di Tiongkok sekitar abad ke-3 M oleh Liu Hui, yang menggunakan untuk mencari luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan pada abad ke-5 oleh ahli matematika ayah dan anak Tionghoa Zu Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari volume bola (Shea 2007; Katz 2004, hlm. 125–126).

Di Timur Tengah, Hasan Ibn al-Haytham, dalam bahasa Latin sebagai Alhazen (ca 965 AD) menurunkan rumus untuk jumlah pangkat empat s. Dia menggunakan hasil untuk melakukan apa yang sekarang disebut integrasi fungsi ini, di mana rumus untuk jumlah kuadrat integral dan paraboloid.

Kemajuan signifikan berikutnya dalam kalkulus integral baru mulai muncul pada abad ke-17. Pada saat ini, karya Cavalieri dengan metode Indivisibles miliknya, dan karya Fermat, mulai meletakkan dasar-dasar kalkulus modern, dengan Cavalieri menghitung integral dari xⁿ dengan derajat nilai n = 9 dalam rumus kuadrat Cavalieri. Langkah selanjutnya dibuat pada awal abad ke-17 oleh Barrow dan Torricelli, yang memberikan petunjuk pertama tentang hubungan antara integrasi. Barrow memberikan bukti pertama dari teorema fundamental kalkulus. John Wallis menggeneralisasi metode Cavalieri, menghitung integral dari nilai x menjadi kekuatan umum, termasuk kekuatan negatif dan kekuatan pecahan.

Leibniz dan Newton

Kemajuan besar dalam integrasi terjadi pada abad ke-17 dengan penemuan independen dari teorema dasar kalkulus oleh Leibniz dan Newton. Leibniz menerbitkan karyanya tentang kalkulus sebelum Newton. Teorema menunjukkan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Hubungan tersebut, dikombinasikan dengan kemudahan pembedaan, dapat dimanfaatkan untuk menghitung integral. Secara khusus, teorema dasar kalkulus memungkinkan seseorang untuk memecahkan masalah kelas yang jauh lebih luas. Sama pentingnya adalah kerangka matematika komprehensif yang dikembangkan oleh Leibniz dan Newton. Diberikan nama kalkulus sangat kecil, tersebut memungkinkan untuk analisis fungsi yang tepat dalam domain kontinu. Kerangka ini akhirnya menjadi modern kalkulus, yang notasinya untuk integral diambil langsung dari karya Leibniz.

Formalisasi

Sementara Newton dan Leibniz memberikan pendekatan sistematis untuk integrasi, pekerjaan mereka tidak memiliki derajat rigor. Bishop Berkeley secara mengesankan menyerang langkah langkah yang digunakan Newton, memanggil mereka "hantu dari jumlah yang telah pergi". Kalkulus memperoleh pijakan yang lebih kokoh dengan pengembangan limit. Integrasi pertama kali diformalkan secara ketat, menggunakan batasan, oleh Riemann. Meskipun semua fungsi kontinu bagian yang dibatasi adalah Riemann-integrable pada interval yang dibatasi, selanjutnya fungsi yang lebih umum dipertimbangkan terutama dalam konteks analisis Fourier yang mendefinisikan Riemann tidak berlaku, dan Lebesgue merumuskan definisi integral yang berbeda, didirikan di teori ukuran (subbidang dari analisis nyata). Definisi integral lainnya, memperluas pendekatan Riemann dan Lebesgue, telah diusulkan. Pendekatan ini berdasarkan sistem bilangan real adalah yang paling umum saat ini, tetapi ada pendekatan alternatif, seperti definisi integral sebagai bagian standar dari jumlah Riemann tak terbatas, berdasarkan sistem bilangan hiperreal.

Notasi sejarah

Notasi untuk integral tak tentu diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675 (Burton 1988, p. 359; Leibniz 1899, p. 154). Dia mengadaptasi simbol integral, ∫, dari lambang berbentuk ſ, singkatan dari summa (ditulis sebagai ſumma; dari Bahasa Latin "sum" atau "total"). Notasi modern untuk integral pasti, dengan batas di atas dan di bawah integral, pertama kali digunakan oleh Joseph Fourier Mémoires dari Akademi Prancis sekitar tahun 1819–2020, dicetak ulang dalam bukunya tahun 1822 (Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231).

Isaac Newton menggunakan batang vertikal kecil di atas variabel untuk menunjukkan integrasi, atau menempatkan variabel di dalam kotak. Bilah vertikal mudah dikacaukan pada nilai .x atau x′, yang digunakan untuk menunjukkan diferensiasi, dan notasi kotak sulit untuk direproduksi oleh printer, jadi notasi tersebut tidak digunakan secara luas.

Penggunaan pertama dari istilah tersebut

Istilah ini pertama kali dicetak dalam bahasa Latin pada tahun 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur" (Bernoulli, Opera 1744, Vol. 1, hal. 423).

Istilah ini digunakan dalam paragraf yang mudah dipahami dari Guillaume de l'Hôpital pada tahun 1696:

Dans tout cela il n'y a encore que la premiere partie du calcul de M. Leibniz, laquelle consiste à descendre des grandeurs entiéres à leur différences infiniment petites, et à comparer entr'eux ces infiniment petits de quelque genre qu'ils soient: c'est ce qu'on appel calcul différentiel. Pour l'autre partie, qu'on appelle Calcul intégral, et qui consiste à remonter de ces infiniment petits aux grandeurs ou aux touts dont ils sont les différences, c'est-à-dire à en trouver les sommes, j'avois aussi dessein de le donner. Mais M. Leibniz m'ayant écrit qu'il y travailloit dans un Traité qu'il intitule De Scientia infiniti, je n'ay eu garde de prive le public d'un si bel Ouvrage qui doit renfermer tout ce qu'il y a de plus curieux pour la Méthode inverse des Tangentes...

"Dalam semua itu, hanya ada bagian pertama dari kalkulus M. Leibniz, yang terdiri dari turun dari besaran integral ke perbedaan kecil tak terhingga, dan dalam membandingkan antara satu sama lain yang sangat kecil tak terhingga dari jenis yang mungkin: inilah yang disebut kalkulus diferensial. Adapun bagian lain, yang disebut kalkulus integral, dan itu terdiri dari kembali ke atas dari yang sangat kecil ke kuantitas, atau bagian penuh dari perbedaan mereka, yaitu untuk menemukan jumlah mereka, saya juga berniat untuk mengungkapkannya. Tetapi mengingat M. Leibniz menulis kepada saya bahwa dia sedang mengerjakannya di sebuah buku yang dia sebut De Scientia infiniti, Saya berhati-hati untuk tidak menghilangkan publik dari karya yang begitu indah yang karena mengandung semua yang paling aneh dalam metode kebalikan dari garis singgung..."

Lihat pula

• Permukaan integral
• Tabel integral
• Turunan
• Integral geometri

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-504-1.  (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-567-X.  (Indonesia)

Pranala luar

• (Indonesia) Operator Integrasi Berulang