Grup kuaternion

grup hingga dengan 8 elemen, yang elemennya dapat diwakili dengan perkalian satuan kuaternion {± 1, ± i, ± j, ± k}

Dalam teori grup, grup angka empat Q8 (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah grup non-abelian dari urutan delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup

Diagram siklus dari Q8. Setiap warna menentukan rangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas e = 1. Misalnya, siklus berwarna merah mencerminkan fakta bahwa i2 = e, i3 = i dan i4 = e. Siklus merah juga mencerminkan bahwa i2 = e, i3 = i dan i4 = e.

di mana e adalah elemen identitas dan e komutatif dengan elemen lain dalam grup.

Presentasi Q 8 lainnya adalah:

Dibandingkan dengan grup dihedral

sunting

Grup quaternion Q 8 memiliki urutan yang sama dengan grup dihedral D4, tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:

Q8 D4
Grafik Cayley  
Panah merah terhubung ggi, koneksi hijau ggj.
 
Grafik siklus    

Dalam diagram untuk D 4 , elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan R2. Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q 8 , karena tidak memiliki representasi yang tepat di R2 atau R3. D4 dapat direalisasikan sebagai bagian dari pemmbagi angka empat dengan cara yang sama seperti Q 8 dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.

Tabel Cayley

sunting

Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q 8 diberikan oleh:[1]

× e e i i j j k k
e e e i i j j k k
e e e i i j j k k
i i i e e k k j j
i i i e e k k j j
j j j k k e e i i
j j j k k e e i i
k k k j j i i e e
k k k j j i i e e

Perhatikan bahwa i , j , dan k semuanya memiliki urutan empat di Q 8 dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup. Presentasi lainnya dari Q8[2] berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:

 

Seseorang mungkin mengambil, misalnya,  , dan  .

Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai Hamiltonian: Q8 non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah normal.[3] Every Hamiltonian group contains a copy of Q8.[4]

Grup angka empat Q 8 dan grup dihedral D 4 adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian nilpoten.

Pusat dan subgrup komutator dari Q 8 adalah subgrup  . Grup automorfisme dalam dari Q 8 diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q8/{e,e}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q 8 adalah isomorfik sampai S 4 , grup simetris pada empat huruf (lihat Representasi matriks di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q 8 adalah S4/V, yang isomorfik ke S3.

Grup angka empat Q 8 memiliki lima kelas konjugasi, {e }, { e }, { i, i }, { j, j }, { k, k }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:

Representasi trivial

Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel: Q8 memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal N , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi G/N. Representasi mengirimkan elemen N ke 1, dan elemen di luar N ke -1.

Representasi 2 dimensi: Dijelaskan di bawah dalam Representasi matriks .

Tabel karakter dari Q 8 ternyata sama dengan D4:

Representasi (ρ)/kelas konjugasi { e } { e } { i, i } { j, j } { k, k }
Representasi trivial 1 1 1 1 1
Tanda representasi dengan i-kernel 1 1 1 -1 -1
Tanda representasi dengan j-kernel 1 1 -1 1 -1
Tanda representasi dengan k-kernel 1 1 -1 -1 1
Representasi 2 dimensi 2 -2 0 0 0

Karena karakter yang tidak dapat direduksi   pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan dekomposisi dari aljabar grup nyata dari   menjadi minimal dua sisi ideal:  , di mana idempotensi   sesuai dengan irreducibles:  , seperti

 

 

 

 

 .

Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata  . Ideal terakhir   isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat   dengan korespondensi:

 

Selanjutnya, proyeksi homomorfisme   diberikan oleh   memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:

 

sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi  .

Aljabar grup kompleks dengan demikian  , dimana   adalah aljabar dari bikuaternion.

Representasi matriks

sunting
 
Tabel perkalian grup quaternion sebagai subkelompok SL (2, C). Entri diwakili oleh sektor yang sesuai dengan argumennya: 1 (hijau), i (biru), -1 (merah), - i (kuning).

Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi representasi yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q8 sebagai subgrup dari grup linier umum  . Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion  , yang memiliki representasi reguler   perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai ruang vektor kompleks dengan basis  , sehingga   sesuai dengan C-pemetaan linier  . Representasi yang dihasilkan   diberikan oleh:

 

Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q 8 dalam grup linear khusus SL2(C).[5]

Varian memberikan representasi oleh matriks kesatuan (tabel di kanan). Maka   sesuai dengan pemetaan linier  , sehingga   diberikan oleh:

 

 
Tabel perkalian dari grup quaternion sebagai subgrup SL(2,3). Elemen lapangan dilambangkan dengan 0, +, -.

Ada juga tindakan penting Q 8 pada ruang vektor 2 dimensi di atas bidang berhingga F3 = {0,1,−1} (tabel di kanan). Representasi modular   diberikan oleh

 

Representasi ini dapat diperoleh dari bidang ekstensi F9 = F3[k] = F31 + F3k, dimana k2 = −1 dan grup perkalian (F9)× memiliki generator ±(k+1), ±(k-1) urutan 8. Dua dimensi F3-ruang vektor F9 mengakui pemetaan linier   untuk z pada F9, serta Automorfisme Frobenius   satisfying   dan  . Maka matriks representasi di atas adalah  ,  ,  , dan  .

Grup Galois

sunting

Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai grup Galois Gal(T/Q) dimana Q adalah bidang bilangan rasional dan T adalah bidang pemisah di atas Q dari polinomial

 .

Pengembangan menggunakan teorema fundamental teori Galois dalam menentukan empat bidang perantara antara Q dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.[6]

Grup angka empat digeneralisasi

sunting

Grup kuatnion umum Q4n urutan 4n ditentukan oleh presentasi[2]

 

untuk bilangan bulat n ≥ 2, dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh n = 2.[7] Coxeter menggunakan Q4n grup siklik  , kasus khusus dari grup polihedral biner   dan terkait dengan grup polihedral   dan grup dihedral  . Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup   dihasilkan oleh

 

dimana  .[2] Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh[8]   dan  .

Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup abelian bersiklus.[9] Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas.[10] Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup p terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo p adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum.[11] Secara khusus, untuk bidang hingga F dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL2(F) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, (Gorenstein 1980, hlm. 42). Maka pr menjadi ukuran F , di mana p adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL2(F) adalah 2n, dimana n = ord2(p2 − 1) + ord2(r).

Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.

Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2,[12] yang mengakui presentasi

 

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ See also a table Diarsipkan 2018-04-28 di Wayback Machine. dari Wolfram Alpha
  2. ^ a b c Johnson 1980, pp. 44–45
  3. ^ See Hall (1999), p. 190 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.
  4. ^ See Kurosh (1979), p. 67
  5. ^ Artin 1991
  6. ^ Dean, Richard (1981). "A Rational Polynomial whose Group is the Quaternions". The American Mathematical Monthly. 88 (1): 42–45. JSTOR 2320711. 
  7. ^ Beberapa penulis Rotman 1995, hlm. 87, 351) merujuk ke grup ini sebagai grup disiklik, menyimpan nama grup quaternion umum untuk kasus di mana n adalah pangkat 2.
  8. ^ Brown 1982, p. 98
  9. ^ Brown 1982, p. 101, exercise 1
  10. ^ Cartan & Eilenberg 1999, Theorem 11.6, p. 262
  11. ^ Brown 1982, Theorem 4.3, p. 99
  12. ^ Roman, Steven (2011). Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach. Springer. hlm. 347–348. ISBN 9780817683016. 

Referensi

sunting

Pranala luar

sunting