Akar fungsi

Dalam bidang matematika, akar suatu fungsi atau nilai nol fungsi adalah nilai input x di dalam suatu fungsi yang menghasilkan angka nol (0).^[1] Dalam kata lain:

Grafik fungsi cos(x) pada domain

\scriptstyle {[-2\pi ,2\pi ]}

. x ditandai dengan warna merah. Akar fungsi di dalam grafik ini adalah x=

\scriptstyle {\frac {-3\pi }{2}}

,

\scriptstyle {\frac {-\pi }{2}}

,

\scriptstyle {\frac {\pi }{2}}

dan

\scriptstyle {\frac {3\pi }{2}}

.

f (x) = 0.

Teorema dasar aljabar mengatakan bahwa setiap polinomial yang bukan nol memiliki paling tidak satu akar. Contohnya polinomial f berderajat dua yang didefinisikan sebagai berikut:

f(x)=x^{2}-5x+6

memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena:

f(2)=2^{2}-5\cdot 2+6=0\quad \textstyle {\rm {and}}\quad f(3)=3^{2}-5\cdot 3+6=0.

Untuk mencari akar suatu fungsi polinomial, diperlukan metode aproksimasi (seperti metode Newton). Namun, beberapa fungsi polinomial dengan derajat yang tidak lebih tinggi dari 4 dapat dicari akarnya dengan menggunakan aljabar.

Akar dari sebuah polinomial adalah nol dari fungsi polinomial yang sesuai.^[2] Teorema dasar aljabar menunjukkan bahwa setiap bukan nol polinomial memiliki jumlah akar paling banyak sama dengan derajat, dan bahwa jumlah akar dan derajatnya sama jika seseorang mempertimbangkan akar kompleks (atau lebih umum, akar dalam ekstensi aljabar tertutup) dihitung dengan perkalian.^[3] Misalnya, polinomial $f$ derajat dua, yang ditentukan oleh

f(x)=x^{2}-5x+6

has the two roots $2$ and $3$ , since

f(2)=2^{2}-5\cdot 2+6=0\quad {\textrm {and}}\quad f(3)=3^{2}-5\cdot 3+6=0

.

Jika fungsi memetakan bilangan real ke bilangan real, maka angka nolnya adalah $x$ -kordinat dari titik di mana grafik memenuhi x - sumbu. Nama alternatif untuk titik $(x,0)$ seperti itu dalam konteks ini adalah intersep $x$ .

Solusi persamaan

Setiap persamaan dalam tidak diketahui $x$ dapat ditulis ulang sebagai

f(x)=0

dengan mengelompokkan kembali semua suku di sisi kiri. Oleh karena itu, solusi dari persamaan tersebut adalah persis nol dari fungsi $f$ . Dengan kata lain, "nol fungsi" tepatnya adalah "solusi persamaan yang diperoleh dengan menyamakan fungsi dengan 0", dan studi tentang fungsi nol persis sama dengan studi solusi.

Akar polinomial

Setiap polinom nyata ganjil derajat memiliki bilangan ganjil dari akar nyata (menghitung multiplisitas); demikian pula, polinomial nyata dengan derajat genap harus memiliki bilangan genap dari akar nyata. Akibatnya, polinomial ganjil nyata harus memiliki setidaknya satu akar nyata (karena bilangan bulat ganjil terkecil adalah 1), sedangkan polinomial genap mungkin tidak memiliki. Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mengacu pada teorema nilai tengah: karena fungsi polinomial adalah kontinu, nilai fungsi harus melewati nol, dalam proses perubahan dari negatif ke positif atau sebaliknya (yang selalu terjadi untuk fungsi ganjil).

Teorema dasar aljabar

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial derajat $n$ memiliki $n$ akar kompleks, dihitung dengan kelipatannya. Akar non-nyata dari polinomial dengan koefisien nyata berasal dari pasangan konjugasi.^[1] Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil kali akarnya.

Himpunan nol

Dalam berbagai bidang matematika, himpunan nol dari sebuah fungsi adalah himpunan dari semua nolnya. Lebih tepatnya, jika $f:X\to \mathbb {R}$ adalah fungsi bernilai nyata (atau, lebih umum, fungsi yang mengambil nilai di beberapa grup aditif), himpunan nolnya adalah $f^{-1}(0)$ , galeri invers dari $\{0\}$ in $X$ .

Istilah himpunan nol umumnya digunakan ketika ada banyak angka nol yang tak terhingga, dan mereka memiliki beberapa sifat topologi yang tidak sepele. Misalnya, level set dari sebuah fungsi $f$ adalah himpunan nol dari $f-c$ . Himpunan Cozero dari $f$ adalah komplemen dari himpunan nol $f$ (mis., bagian dari $X$ di mana $f$ bukan nol).

Aplikasi

Dalam geometri aljabar, definisi pertama dari variasi aljabar adalah melalui himpunan nol. Secara khusus, sebuah set aljabar affine adalah intersection dari himpunan nol beberapa polinomial, dalam gelanggang polinomial $k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ di atas bidang. Dalam konteks ini, himpunan nol terkadang disebut lokus nol .

Dalam analisis dan geometri, setiap himpunan tertutup dari $\mathbb {R} ^{n}$ adalah himpunan nol dari fungsi mulus yang ditentukan di semua $\mathbb {R} ^{n}$ . Ini meluas ke setiap lipatan halus sebagai akibat wajar dari parakompak.

Dalam geometri diferensial, himpunan nol sering digunakan untuk menentukan berjenis. Kasus khusus yang penting adalah kasus di mana $f$ adalah fungsi mulus dari $\mathbb {R} ^{p}$ ke $\mathbb {R} ^{n}$ . Jika nol adalah nilai reguler dari $f$ , maka himpunan nol dari $f$ adalah banyak dimensi $m=p-n$ by the teorema nilai reguler.