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Halaman ini berisi artikel tentang akar ke-n bilangan real dan kompleks. Untuk kegunaan lain, lihat Akar (disambiguasi) § Matematika.

Representasi grafis dari fungsi akar kuadrat $y={\sqrt {x}}$

Dalam kotak log-log akar ke-$n$ menjadi garis lurus.

Dalam matematika, sebuah akar ke-n dari bilangan x adalah bilangan r yang jika dipangkatkan n, menghasilkan x:

$r^{n}=x,$

dimana n adalah bilangan bulat positif, kadang-kadang disebut derajat dari akar. Akar derajat 2 disebut akar kuadrat dan akar derajat 3, sebuah akar pangkat tiga. Akar tingkat yang lebih tinggi dirujuk dengan menggunakan bilangan urut, seperti pada akar keempat, akar kedua puluh, dll. Perhitungan akar ke-n adalah ekstraksi akar.

Misalnya, 3 adalah akar kuadrat dari 9, karena 3² = 9, dan 3 juga merupakan akar kuadrat dari 9, karena (−3)² = 9.

Setiap bilangan bukan nol yang dianggap sebagai bilangan kompleks memiliki n akar ke-n yang berbeda, termasuk real (paling banyak dua). Akar ke-n dari 0 adalah nol untuk semua bilangan bulat positif n, setelah 0ⁿ = 0. Khususnya, jika n genap dan x adalah bilangan real positif, satunya adalah negatif, dan yang lainnya (ketika n > 2) bilangan kompleks non-real; jika n genap dan x adalah bilangan real negatif, tidak ada satupun akar ke-n yang merupakan real. Jika n ganjil dan x real, satu akar n adalah real dan bertanda sama sebagai x, sedangkan akar lainnya (n – 1) bukanlah real. Akhirnya, jika x bukanlah real, maka tidak ada akar ke-n yang merupakan real.

Akar bilangan real biasanya ditulis menggunakan simbol radikal atau radix ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$, dengan ${\sqrt {x}}$ menunjukkan akar kuadrat positif dari x jika x adalah positif; untuk akar tinggi, ${\sqrt[{n}]{x}}$ menunjukkan akar ke-n yang sebenarnya jika n adalah ganjil, dan akar ke-n positif jika n adalah genap dan x adalah positif. Dalam kasus lain, simbol tidak umum digunakan sebagai ambigu. Dalam ekspresi ${\sqrt[{n}]{x}}$, bilangan bulat n disebut indeks dan x disebut radikan .

Ketika kompleks akar ke-n dipertimbangkan, seringkali berguna untuk memilih salah satu akar, yang disebut akar utama, sebagai nilai utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-n utama dari x sebagai akar ke-n, dengan bagian real terbesar, dan, jika ada dua (untuk x real dan negatif), yang memiliki bagian imajiner positif. Ini membuat akar ke-n sebagai fungsi real dan positif untuk x real dan positif, dan adalah kontinu diseluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai x real dan negatif.

Kesulitan dengan pilihan ini adalah, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar ke-n utama yang bukan asli. Misalnya, $-8$ memiliki tiga akar pangkat tiga, $-2$, $1+i{\sqrt {3}}$ dan $1-i{\sqrt {3}}.$ Akar pangkat tiga sebenarnya adalah $-2$ dan akar pangkat tiga utama adalah $1+i{\sqrt {3}}.$

Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagai surd atau "radikal". Setiap ekspresi yang mengandung radikal, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebut ekspresi radikal, dan jika tidak mengandung fungsi transendental atau bilangan transendental disebut ekspresi aljabar.

Akar juga didefinisikan sebagai kasus khusus dari eksponensial, dimana eksponen adalah pecahan:

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.$

Akar digunakan untuk menentukan radius konvergensi dari deret pangkat dengan uji akar. Akar ke-n dari 1 disebut akar satuan dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, seperti teori bilangan, teori persamaan, dan transformasi Fourier.

Sejarah

Artikel utama: Akar kuadrat § Sejarah, dan Akar kubus § Sejarah

Istilah kuno untuk operasi pengambilan akar n adalah radikasi.

Definisi dan notasi

Empat akar ke-4 dari −1,
bukan dari nilai real

Tiga akar ke-3 dari −1,
salah satunya adalah real negatif

Sebuah akar ke-n dari bilangan x, dimana n adalah bilangan bulat positif, salah satu dari n bilangan real atau kompleks r memiliki kuasa n adalah x:

$r^{n}=x.$

Setiap bilangan riil positif x memiliki akar ke-n positif tunggal, yang disebut akar ke-n utama, yang ditulis sebagai ${\sqrt[{n}]{x}}$. Untuk n sama dengan 2 ini disebut akar kuadrat utama dan n yang dihilangkan. Akar ke-n juga dapat direpresentasikan menggunakan eksponensial sebagai x^1/n.

Untuk nilai genap n, bilangan positif juga memiliki akar ke-n negatif, sedangkan bilangan negatif tidak memiliki akar ke-n real. Untuk nilai ganjil n, setiap bilangan negatif x memiliki akar ke-n negatif real. Misalnya, 2 memiliki akar ke-5 real, ${\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots$ tetapi -2 tidak memiliki akar ke-6 real.

Setiap bilangan bukan nol x, real atau kompleks, memiliki n akar ke-n bilangan kompleks yang berbeda. Dalam kasus x real, hitungan ini mencakup akar ke-n real. Satu-satunya akar kompleks dari 0 adalah 0.

Akar ke-n dari hampir semua bilangan (semua bilangan bulat kecuali pangkat ke-n, dan semua rasional kecuali hasil bagi dua pangkat ke-n) adalah irasional. Misalnya,

${\sqrt {2}}=1.414213562\ldots$

Semua akar bilangan bulat ke-n adalah bilangan aljabar.

Istilah surd ditelusuri kembali ke al-Khwārizmī (c. 825), yang menyebut bilangan rasional dan irasional sebagai terdengar dan tidak terdengar, masing-masing. Hal ini kemudian menyebabkan kata Arab "أصم" (asamm, yang berarti "tuli" atau "bisu") untuk bilangan irasional diterjemahkan ke dalam bahasa Latin sebagai "surdus" (artinya "tuli" atau "bisu"). Gerard dari Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202), dan kemudian Robert Recorde (1551) semuanya menggunakan istilah tersebut untuk merujuk pada akar irasional tak-terselesaikan, yaitu, ekspresi bentuk ${\sqrt[{n}]{i}},$ dimana $n$ dan $i$ adalah bilangan bulat dan seluruh ekspresi menunjukkan bilangan irasional. Bilangan irasional kuadrat yaitu bilangan irasional dalam bentuk ${\sqrt {i}},$ juga dikenal sebagai "surd kuadrat".

Akar kuadrat

Grafik $y=\pm {\sqrt {x}}$.

Artikel utama: Akar kuadrat

Akar kuadrat dari bilangan x adalah bilangan r yang ketika kuadrat sebagai x:

$r^{2}=x.$

Setiap bilangan real positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif dan satu negatif. Misalnya, dua akar kuadrat dari 25 adalah 5 dan -5. Akar kuadrat positif juga dikenal sebagai akar kuadrat utama, dan dilambangkan dengan tanda radikal:

${\sqrt {25}}=5.$

Karena kuadrat dari setiap bilangan real adalah nonnegatif, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real. Namun, untuk setiap bilangan real negatif terdapat dua akar kuadrat imajiner. Misalnya, akar kuadrat dari −25 adalah 5i dan 5i, dimana i menyatakan bilangan yang kuadratnya −1.

Akar pangkat tiga

Grafik $y={\sqrt[{3}]{x}}$.

Artikel utama: Akar pangkat tiga

Sebuah akar pangkat tiga dari bilangan x adalah bilangan r yang kubusnya adalah x:

$r^{3}=x.$

Setiap bilangan real x memiliki tepat satu akar pangkat tiga, ditulis ${\sqrt[{3}]{x}}$. Misalnya,

${\sqrt[{3}]{8}}=2$ dan ${\sqrt[{3}]{-8}}=-2.$

Setiap bilangan real memiliki dua akar pangkat tiga kompleks tambahan.

Dasar-dasar matematika

Deskripsi berikut dari fungsi akar kuadrat sebagai teoretis mengacu pada tubuh yang diatur bilangan real ℝ, sehingga sampai batas tertentu pada matematika didatik. Istilah akar yang umum untuk mencakup penjelasan tersebut, dibahas dalam artikel adjungsi.

Koneksi dengan potensi

Akar kuadrat dengan eksponen akar $n$ dan eksponen dengan eksponen $n$ saling meniadakan. Menurut definisi akar atas, untuk semua bilangan real $a\geq 0$ dan untuk semua bilangan asli $n\geq 1$:

$\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a$

Akar kuadrat dengan eksponen akar $n$ melakukan seperti eksponen dengan eksponen ${\tfrac {1}{n}}$. Menurut kaidah perhitungan untuk kuasa:

$\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a$

Oleh karena itu akar kuadrat dengan eksponen akar n juga diartikan sebagai eksponen dengan eksponen 1/n:

${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$

Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen ${\sqrt[{}]{\color {White}1}}$ grundsätzlich für die positive Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung $x^{2}=4$ die beiden Lösungen $x=+2$ und $x=-2$. Der Term ${\sqrt[{2}]{4}}$ hat jedoch den Wert +2 und nicht den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten

${\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|\,.$

Wurzeln aus negativen Zahlen

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise

$(-2)^{3}=-8\,,$

und $-2$ ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz $-8$ ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.

Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:

• Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell nicht definiert. Beispielsweise ist ${\sqrt[{3}]{-8}}$ also undefiniert. Die Lösung der Gleichung $x^{3}=-8$ wird geschrieben als $x=-{\sqrt[{3}]{8}}$.
• Wurzeln aus negativen Zahlen sind definiert, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen $2n+1$ gilt generell

${\sqrt[{2n+1}]{-a}}=-{\sqrt[{2n+1}]{a}}$.

Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist

$-2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.$

Auch funktioniert diese Festlegung nicht mit der Gleichung ${\sqrt[{k}]{a}}=a^{\frac {1}{k}}=\exp \left({\tfrac {1}{k}}\ln(a)\right)$, da der (natürliche) Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist ($a$ darf also nicht negativ sein).

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Es gibt keine reelle Zahl $x$, sodass $x^{2}=-1$, somit kann man auch keine Wurzel $x={\sqrt[{2}]{-1}}$ finden, die in den reellen Zahlen liegt. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen; allerdings gibt es beim Wurzelbegriff im Bereich der komplexen Zahlen gewisse Schwierigkeiten mit der eindeutigen Auszeichnung einer der Wurzeln, siehe unten.

Irrationale Wurzeln aus ganzen Zahlen

Ist $n$ eine nichtnegative ganze Zahl und $k$ eine positive ganze Zahl, so ist ${\sqrt[{k}]{n}}$ entweder eine ganze oder eine irrationale Zahl. Das beweist man durch Anwendung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Ist $n\leqq 1$, so ist ${\sqrt[{k}]{n}}=n$, also eine ganze Zahl. Sonst gibt es eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{e_{1}}\dotsm p_{r}^{e_{r}}$ mit paarweise verschiedenen Primzahlen $p_{1},\dotsc ,p_{r}$ und positiven ganzen Exponenten $e_{1},\dotsc ,e_{r}$. Sind alle $e_{j}$ für $1\leqq j\leqq r$ durch $k$ teilbar, so ist ${\sqrt[{k}]{n}}=p_{1}^{e_{1}/k}\dotsm p_{r}^{e_{r}/k}$, also eine ganze Zahl.

Zu zeigen ist jetzt noch: Gibt es mindestens ein $j$ mit $1\leqq j\leqq r$, so dass $e_{j}$ nicht durch $k$ teilbar ist, so ist ${\sqrt[{k}]{n}}$ irrational. Der Beweis für die Irrationalität erfolgt indirekt, also durch Widerlegen der gegenteiligen Annahme wie beim Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid, der im Wesentlichen der Spezialfall $n=k=2$ dieses Beweises ist.

Angenommen, ${\sqrt[{k}]{n}}$ wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier natürlicher Zahlen $a$ und $b$ schreiben:

${\sqrt[{k}]{n}}={\frac {a}{b}}$.

Durch Potenzieren der Gleichung erhält man

$n={\frac {a^{k}}{b^{k}}}$

und daraus folgt

$nb^{k}=a^{k}$.

Der Primfaktor $p_{j}$ kommt in $a^{k}$ bzw. $b^{k}$ jeweils $k$-mal so oft vor wie in $a$ bzw. $b$, jedenfalls in einer durch $k$ teilbaren Vielfachheit, wobei natürlich auch das 0-malige Auftreten zugelassen ist. In $n$ kommt er voraussetzungsgemäß in der nicht durch $k$ teilbaren Vielfachheit $e_{j}$ vor. Also kommt er auf der linken Seite dieser Gleichung nicht in einer durch $k$ teilbaren Vielfachheit vor, auf der rechten hingegen schon, und wir erhalten einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Daher ist ${\sqrt[{k}]{n}}$ irrational.

Die Wurzelgesetze

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus jenen für Potenzen.

Für positive Zahlen $a$ und $b$ und $n,m,k\in \mathbb {N}$ gelten die folgenden Rechengesetze:

• Produktregel: ${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}$
• Quotientenregel: ${\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}$
• "Verschachtelungsregel" oder Iterationsregel: ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}$
• Definition für gebrochenen Exponenten: $a^{\frac {k}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{k}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{k}$
• Definition für negativen Exponenten: $a^{-{\frac {k}{n}}}={\frac {1}{a^{\frac {k}{n}}}}$
• Bei gleichem Radikand gilt: ${\sqrt[{m}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}=a^{{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}={\sqrt[{mn}]{a^{m+n}}}$

Bei negativen Zahlen $a$ und $b$ dürfen diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn $m$ und $n$ ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden, bzw. gilt die Gleichheit nur bei geeigneter Wahl der Nebenwerte. Anders gesagt: werden in einem Beispiel auf der linken Seite irgendwelche Wurzeln (bspw. nur Hauptwerte) ausgewählt, so gibt es für die rechte Seite geeignete Nebenwerte, die die Gleichheit erfüllen – linke und rechte Seite unterscheiden sich um eine Einheitswurzel.

Grenzwerte

Es gelten die folgenden Grenzwerte:

• $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1$ für $a>0$
• $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$

Dies folgt aus der Ungleichung $n<\left(1+{\sqrt[{2}]{\tfrac {2}{n}}}\right)^{n}$, die man mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zeigen kann.

• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{k}}}=1$, wobei $k$ eine beliebige, aber feste natürliche Zahl ist.
• $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(n)}{n}}=0$,

wie aus der Exponentialdarstellung von ${\sqrt[{n}]{n}}$ hervorgeht.

Wurzelfunktionen

Funktionen der Form

$f\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ oder allgemeiner $x\mapsto {\sqrt[{n}]{x^{m}}}$

heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Potenzfunktionen, es gilt ${\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{\frac {m}{n}}$.

Identities and properties

Expressing the degree of an nth root in its exponent form, as in $x^{1/n}$, makes it easier to manipulate powers and roots. If $a$ is a non-negative real number,

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.$

Every non-negative number has exactly one non-negative real nth root, and so the rules for operations with surds involving non-negative radicands $a$ and $b$ are straightforward within the real numbers:

${\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}$

Subtleties can occur when taking the nth roots of negative or complex numbers. For instance:

${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad$ but, rather, $\quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.$

Since the rule ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$ strictly holds for non-negative real radicands only, its application leads to the inequality in the first step above.

Simplified form of a radical expression

A non-nested radical expression is said to be in simplified form if

1. There is no factor of the radicand that can be written as a power greater than or equal to the index.
2. There are no fractions under the radical sign.
3. There are no radicals in the denominator.

For example, to write the radical expression ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ in simplified form, we can proceed as follows. First, look for a perfect square under the square root sign and remove it:

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\times 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}$

Next, there is a fraction under the radical sign, which we change as follows:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

Finally, we remove the radical from the denominator as follows:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$

When there is a denominator involving surds it is always possible to find a factor to multiply both numerator and denominator by to simplify the expression. For instance using the factorization of the sum of two cubes:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.$

Simplifying radical expressions involving nested radicals can be quite difficult. It is not obvious for instance that:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}$

The above can be derived through:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}$

Let $r=p/q$, with p and q coprime and positive integers. Then ${\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}$ is rational if and only if both ${\sqrt[{n}]{p}}$ and ${\sqrt[{n}]{q}}$ are integers, which means that both p and q are nth powers of some integer.

Infinite series

The radical or root may be represented by the infinite series:

$(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}$

with $|x|<1$. This expression can be derived from the binomial series.

Computing principal roots

Using Newton's method

The nth root of a number A can be computed with Newton's method. Start with an initial guess x₀ and then iterate using the recurrence relation

$x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}x_{k}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}$

until the desired precision is reached. For example, to find the fifth root of 34, we plug in n = 5, A = 34 and x₀ = 2 (initial guess). The first 5 iterations are, approximately:
x₀ = 2
x₁ = 2.025
x₂ = 2.024397817
x₃ = 2.024397458
x₄ = 2.024397458
The approximation x₄ is accurate to 25 decimal places.

Newton's method can be modified to produce various generalized continued fraction for the nth root. For example,

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.$

Digit-by-digit calculation of principal roots of decimal (base 10) numbers

Pascal's Triangle showing $P(4,1)=4$.

Building on the digit-by-digit calculation of a square root, it can be seen that the formula used there, $x(20p+x)\leq c$, or $x^{2}+20xp\leq c$, follows a pattern involving Pascal's triangle. For the nth root of a number $P(n,i)$ is defined as the value of element $i$ in row $n$ of Pascal's Triangle such that $P(4,1)=4$, we can rewrite the expression as $\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}$. For convenience, call the result of this expression $y$. Using this more general expression, any positive principal root can be computed, digit-by-digit, as follows.

Write the original number in decimal form. The numbers are written similar to the long division algorithm, and, as in long division, the root will be written on the line above. Now separate the digits into groups of digits equating to the root being taken, starting from the decimal point and going both left and right. The decimal point of the root will be above the decimal point of the radicand. One digit of the root will appear above each group of digits of the original number.

Beginning with the left-most group of digits, do the following procedure for each group:

1. Starting on the left, bring down the most significant (leftmost) group of digits not yet used (if all the digits have been used, write "0" the number of times required to make a group) and write them to the right of the remainder from the previous step (on the first step, there will be no remainder). In other words, multiply the remainder by $10^{n}$ and add the digits from the next group. This will be the current value c.
2. Find p and x, as follows:
   • Let $p$ be the part of the root found so far, ignoring any decimal point. (For the first step, $p=0$).
   • Determine the greatest digit $x$ such that $y\leq c$.
   • Place the digit $x$ as the next digit of the root, i.e., above the group of digits you just brought down. Thus the next p will be the old p times 10 plus x.
3. Subtract $y$ from $c$ to form a new remainder.
4. If the remainder is zero and there are no more digits to bring down, then the algorithm has terminated. Otherwise go back to step 1 for another iteration.

Examples

Find the square root of 152.2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56

         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Algorithm terminates: Answer is 12.34

Find the cube root of 4192 to the nearest hundredth.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000

      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               The desired precision is achieved:
                               The cube root of 4192 is about 16.12

Logarithmic calculation

The principal nth root of a positive number can be computed using logarithms. Starting from the equation that defines r as an nth root of x, namely $r^{n}=x,$ with x positive and therefore its principal root r also positive, one takes logarithms of both sides (any base of the logarithm will do) to obtain

$n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.$

The root r is recovered from this by taking the antilog:

$r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.$

(Note: That formula shows b raised to the power of the result of the division, not b multiplied by the result of the division.)

For the case in which x is negative and n is odd, there is one real root r which is also negative. This can be found by first multiplying both sides of the defining equation by −1 to obtain $|r|^{n}=|x|,$ then proceeding as before to find |r|, and using r = −|r|.

Geometric constructibility

The ancient Greek mathematicians knew how to use compass and straightedge to construct a length equal to the square root of a given length, when an auxiliary line of unit length is given. In 1837 Pierre Wantzel proved that an nth root of a given length cannot be constructed if n is not a power of 2.

Complex roots

Die fünf fünften Wurzeln aus 1 + i√3 = 2 · e^π · i/3

Die drei Lösungen der Gleichung $w^{3}=z$ in der komplexen $w$-Ebene (rotes, grünes, blaues Gitter). Das rote Netz bildet außerdem die Funktion ${\sqrt[{3}]{z}}$ ab. Das große farbige $z$-Dreieck und seine drei $w$-Bilder dienen als Orientierungshilfe.

Die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ werden definiert durch die Adjunktion $\mathbb {C} :=\mathbb {R} (\mathrm {i} )$ der Lösung (Wurzel) $\mathrm {i} :={\sqrt {-1}}$ der Gleichung $\mathrm {i} ^{2}=-1$ zu den reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Fasst man die komplexen Zahlen als Ebene $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ auf, in der die reellen Zahlen als eine ausgezeichnete Gerade $\mathbb {R} \times {0}$ die Ebene in zwei Halbebenen teilt und die positiven Zahlen sich rechts befinden, dann wird die Zahl $\mathrm {i}$ in die obere und $-\mathrm {i}$ in die untere Halbebene platziert. Gleichzeitig mit dieser Orientierung wird der Nullpunkt $(0,0)$ durch die Funktion $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$ für wachsendes reelles $\varphi$ im mathematisch positiven Sinn (also entgegen dem Uhrzeigersinn) umlaufen, so dass $\scriptstyle \mathrm {e} ^{\pm {\frac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i}$ ist. Mit dieser Maßgabe lassen sich inhärent mehrdeutige Wurzeln im Komplexen auf eindeutige Real- und Imaginärteile (Hauptwerte) festlegen. Gleichwohl ist bei der Anwendung der Wurzelgesetze die dort erwähnte Sorgfalt zu beachten.

Als die $n$-ten Wurzeln einer komplexen Zahl $a\in \mathbb {C}$ bezeichnet man die Lösungen der Gleichung

$z^{n}=a$.

Ist $a\neq 0$ in der Exponentialform $a=|a|\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$ dargestellt, so sind die $n$-ten Wurzeln aus $a$ genau die $n$ komplexen Zahlen

$z_{k}={\sqrt[{n}]{|a|}}\cdot \exp \left({\frac {\mathrm {i} \varphi }{n}}+k\cdot {\frac {2\pi \mathrm {i} }{n}}\right)\quad (k=0,1,\dots ,n-1)$

Der Sonderfall $a=1$ wird als $n$-te Kreisteilungsgleichung bezeichnet, die Lösungen als $n$-te Einheitswurzeln. Die Bezeichnung „Kreisteilungsgleichung“ erklärt sich, wenn man ihre Lösungen in der Gaußschen Ebene betrachtet: die $n$-ten Einheitswurzeln teilen den Kreis mit dem Radius $1$ und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt in $n$ gleiche Teile, sie bilden die Eckpunkte eines in den Kreis einbeschriebenen regulären $n$-Ecks.

Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe) $n$-te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren:

$z^{1/n}=\exp {\frac {\ln z}{n}}\quad (z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\})$

Die so ausgezeichnete Wurzel bezeichnet man auch als Hauptwert, die anderen als Nebenwerte.

Man kann den Logarithmus auch (unstetig) auf die negative reelle Achse fortsetzen, es gilt dann aber mit der so definierten Wurzelfunktion beispielsweise ${\sqrt[{3}]{-8}}=2\,\exp {{\bigl (}\mathrm {i} \,{\tfrac {\pi }{3}}{\bigr )}}=1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ und nicht $=-2$.

Every complex number other than 0 has n different nth roots.

Square roots

The square roots of i

The two square roots of a complex number are always negatives of each other. For example, the square roots of −4 are 2i and −2i, and the square roots of i are

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).$

If we express a complex number in polar form, then the square root can be obtained by taking the square root of the radius and halving the angle:

${\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.$

A principal root of a complex number may be chosen in various ways, for example

${\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}$

which introduces a branch cut in the complex plane along the positive real axis with the condition 0 ≤ θ < 2π, or along the negative real axis with −π < θ ≤ π.

Using the first(last) branch cut the principal square root $\scriptstyle {\sqrt {z}}$ maps $\scriptstyle z$ to the half plane with non-negative imaginary(real) part. The last branch cut is presupposed in mathematical software like Matlab or Scilab.

Roots of unity

The three 3rd roots of 1

Artikel utama: Root of unity

The number 1 has n different nth roots in the complex plane, namely

$1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},$

where

$\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$

These roots are evenly spaced around the unit circle in the complex plane, at angles which are multiples of $2\pi /n$. For example, the square roots of unity are 1 and −1, and the fourth roots of unity are 1, $i$, −1, and $-i$.

nth roots

Wakilan geometris dari akar ke-2 hingga ke-6 bilangan kompleks z, dalam bentuk polar re^iφ  dimana r = |z | dan φ = arg z. If z adalah real, φ = 0 atau π. Akar utama ditampilkan dalam warna hitam.

Every complex number has n different nth roots in the complex plane. These are

$\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},$

where η is a single nth root, and 1, ω, ω², ... ωⁿ⁻¹ are the nth roots of unity. For example, the four different fourth roots of 2 are

${\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.$

In polar form, a single nth root may be found by the formula

${\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.$

Here r is the magnitude (the modulus, also called the absolute value) of the number whose root is to be taken; if the number can be written as a+bi then $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Also, $\theta$ is the angle formed as one pivots on the origin counterclockwise from the positive horizontal axis to a ray going from the origin to the number; it has the properties that $\cos \theta =a/r,$ $\sin \theta =b/r,$ and $\tan \theta =b/a.$

Thus finding nth roots in the complex plane can be segmented into two steps. First, the magnitude of all the nth roots is the nth root of the magnitude of the original number. Second, the angle between the positive horizontal axis and a ray from the origin to one of the nth roots is $\theta /n$, where $\theta$ is the angle defined in the same way for the number whose root is being taken. Furthermore, all n of the nth roots are at equally spaced angles from each other.

If n is even, a complex number's nth roots, of which there are an even number, come in additive inverse pairs, so that if a number r₁ is one of the nth roots then r₂ = –r₁ is another. This is because raising the latter's coefficient –1 to the nth power for even n yields 1: that is, (–r₁)ⁿ = (–1)ⁿ × r₁ⁿ = r₁ⁿ.

As with square roots, the formula above does not define a continuous function over the entire complex plane, but instead has a branch cut at points where θ / n is discontinuous.

Solving polynomials

Lihat pula: Root-finding algorithm

It was once conjectured that all polynomial equations could be solved algebraically (that is, that all roots of a polynomial could be expressed in terms of a finite number of radicals and elementary operations). However, while this is true for third degree polynomials (cubics) and fourth degree polynomials (quartics), the Abel–Ruffini theorem (1824) shows that this is not true in general when the degree is 5 or greater. For example, the solutions of the equation

$x^{5}=x+1$

cannot be expressed in terms of radicals. (cf. quintic equation)

Proof of irrationality for non-perfect nth power x

Assume that ${\sqrt[{n}]{x}}$ is rational. That is, it can be reduced to a fraction ${\frac {a}{b}}$, where a and b are integers without a common factor.

This means that $x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$.

Since x is an integer, $a^{n}$and $b^{n}$must share a common factor if $b\neq 1$. This means that if $b\neq 1$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ is not in simplest form. Thus b should equal 1.

Since $1^{n}=1$ and ${\frac {n}{1}}=n$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}$.

This means that $x=a^{n}$ and thus, ${\sqrt[{n}]{x}}=a$. This implies that ${\sqrt[{n}]{x}}$ is an integer. Since x is not a perfect nth power, this is impossible. Thus ${\sqrt[{n}]{x}}$ is irrational.

See also

• Nth root algorithm
• Shifting nth root algorithm
• Radical symbol
• Algebraic number
• Nested radical
• Twelfth root of two
• Super-root