Teorema dasar aljabar

Artikel ini bukan mengenai Teorema dasar aritmetika.

Teorema fundamental aljabar menyatakan bahwa setiap non konstanta pada variabel tunggal polinomial dengan bilangan kompleks koefisien memiliki setidaknya satu. Ini termasuk polinomial dengan koefisien nyata, karena setiap bilangan real adalah bilangan kompleks dengan bagian imajiner sama dengan nol.

Secara ekivalen (menurut definisi), teorema tersebut menyatakan bahwa bidang dari bilangan kompleks adalah tertutup secara aljabar.

Teorema ini dinyatakan sebagai berikut: setiap bukan nol, variabel tunggal, derajat n polinomial dengan koefisien kompleks memiliki, dihitung dengan multiplisitas, tepatnya akar kompleks n . Kesetaraan kedua pernyataan tersebut dapat dibuktikan melalui penggunaan pembagian polinomial yang berurutan.

Terlepas dari namanya, tidak ada bukti teorema yang murni aljabar, karena bukti apa pun harus menggunakan beberapa bentuk analitik kelengkapan bilangan riil, yang merupakan bukan konsep aljabar. Selain itu, ini tidak fundamental untuk aljabar modern; namanya diberikan pada saat aljabar identik dengan teori persamaan.

Sejarah

Peter Roth, dalam bukunya Arithmetica Philosophica (diterbitkan pada 1608, di Nürnberg, oleh Johann Lantzenberger), menulis bahwa persamaan polinomial derajat n (dengan koefisien nyata) mungkin memiliki solusi n . Albert Girard, dalam bukunya L'invention nouvelle en l'Algèbre (diterbitkan tahun 1629), menegaskan bahwa persamaan polinomial derajat n memiliki solusi n , tetapi dia tidak menyatakan bahwa mereka harus bilangan real. Lebih jauh, dia menambahkan bahwa pernyataannya menyatakan "kecuali persamaannya tidak lengkap", yang dia maksudkan bahwa tidak ada koefisien yang sama dengan 0. Namun, ketika dia menjelaskan secara rinci apa yang dia maksud, jelas bahwa dia benar-benar percaya bahwa pernyataannya itu selalu benar; Misalnya, dia menunjukkan persamaan itu $x^{4}=4x-3,$ meskipun tidak lengkap, memiliki empat penyelesaian (menghitung kelipatan): 1 (dua kali), $-1+i{\sqrt {2}},$ and $-1-i{\sqrt {2}}.$

Seperti yang akan disebutkan lagi di bawah ini, Ini mengikuti dari teorema dasar aljabar bahwa setiap polinomial tidak konstan dengan koefisien nyata dapat ditulis sebagai hasil kali polinomial dengan koefisien nyata yang derajatnya adalah 2. Namun, pada 1702 Leibniz secara keliru mengatakan bahwa tidak ada polinomial dari jenis x⁴ + a⁴ (dengan a nyata dan berbeda dari 0) dapat ditulis sedemikian rupa. Belakangan, Nikolaus Bernoulli membuat pernyataan yang sama tentang polinomial x⁴ − 4x³ + 2x² + 4x + 4, tapi dia mendapat surat dari Euler pada tahun 1742 di mana ditunjukkan bahwa polinomial ini sama dengan

$\left(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),$

with $\alpha ={\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}.$ Pula, Euler menunjukkan itu

$x^{4}+a^{4}=\left(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right)\left(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right).$

Upaya pertama untuk membuktikan teorema dilakukan oleh d'Alembert pada tahun 1746, tetapi buktinya tidak lengkap. Di antara masalah lainnya, ia mengasumsikan secara implisit sebuah teorema (sekarang dikenal sebagai Teorema Puiseux), yang tidak akan dibuktikan sampai lebih dari satu abad kemudian dan menggunakan teorema dasar aljabar. Upaya lain dilakukan oleh Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), dan Laplace (1795). Empat percobaan terakhir ini secara implisit mengasumsikan pernyataan Girard; lebih tepatnya, keberadaan solusi diasumsikan dan yang tersisa untuk dibuktikan adalah bahwa bentuknya a + bi untuk beberapa bilangan real a dan b . Dalam istilah modern, Euler, de Foncenex, Lagrange, dan Laplace mengasumsikan adanya bidang pemisah dari polinomial p(z).

Pada akhir abad ke-18, dua bukti baru diterbitkan yang tidak mengasumsikan keberadaan akar, tetapi tidak ada yang lengkap. Salah satunya, karena James Wood dan terutama aljabar, diterbitkan pada tahun 1798 dan itu sama sekali diabaikan. Bukti Wood memiliki celah aljabar. Yang lainnya diterbitkan oleh Gauss pada tahun 1799 dan sebagian besar geometris, tetapi memiliki celah topologi, hanya diisi oleh Alexander Ostrowski pada tahun 1920, seperti yang dibahas di Smale. Bukti ketat pertama diterbitkan oleh Argand pada 1806 (dan ditinjau kembali pada 1813); Di sinilah, untuk pertama kalinya, teorema dasar aljabar dinyatakan untuk polinomial dengan koefisien kompleks, bukan hanya koefisien riil. Gauss menghasilkan dua bukti lain pada tahun 1816 dan versi lain yang tidak lengkap dari bukti aslinya pada tahun 1849.

Buku teks pertama yang berisi bukti teorema adalah milik Cauchy Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). Isinya bukti Argand, meskipun Argand tidak dikreditkan untuk itu.

Tak satu pun dari bukti yang disebutkan sejauh ini adalah konstruktif. Weierstrass yang membesarkan untuk pertama kalinya, di pertengahan abad ke-19, masalah menemukan bukti konstruktif dari teorema dasar aljabar. Dia mempresentasikan solusinya, yang jumlahnya dalam istilah modern menjadi kombinasi metode Durand–Kerner dengan prinsip kelanjutan homotopi, pada tahun 1891. Bukti lain seperti ini diperoleh Hellmuth Kneser pada tahun 1940 dan disederhanakan oleh putranya Martin Kneser pada tahun 1981.

Tanpa menggunakan pilihan terhitung, tidaklah mungkin untuk membuktikan secara konstruktif teorema dasar aljabar untuk bilangan kompleks berdasarkan konstruksi bilangan riil (yang secara konstruktif tidak setara dengan bilangan real Cauchy tanpa pilihan yang dapat dihitung). Namun, Fred Richman membuktikan versi teorema yang dirumuskan ulang yang berhasil.

Bukti

Semua bukti di bawah ini melibatkan beberapa analisis matematika, atau setidaknya konsep topologi dari kontinuitas dari fungsi nyata atau kompleks. Beberapa juga menggunakan fungsi terdiferensiasi atau bahkan analitik. This fact has led to the remark bahwa Teorema Dasar Aljabar bukanlah teorema fundamental, juga bukan teorema aljabar.

Beberapa bukti teorema hanya membuktikan bahwa polinomial tak konstan apapun dengan koefisien riil memiliki akar yang kompleks. Ini cukup untuk membangun teorema dalam kasus umum karena, diberikan polinomial non-konstan p ( z ) dengan koefisien kompleks, polinomial

$q(z)=p(z){\overline {p({\overline {z}})}}$

hanya memiliki koefisien nyata dan, jika z adalah nol dari q ( z ), maka z atau konjugatnya adalah akar dari p(z).

Sejumlah besar bukti teorema non-aljabar menggunakan fakta (kadang-kadang disebut "lemma pertumbuhan") bahwa fungsi polinomial derajat ke- n - p ( z ) yang koefisien dominannya adalah 1 berperilaku li zⁿ dimana |z| adalah nilai besar. Pernyataan yang lebih tepat adalah: ada bilangan real positif R sedemikian rupa sehingga:

${\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|$

jika |z| > R.

Bukti analitik kompleks

Temukan tertutup disk D dengan radius r berpusat di tempat asal sedemikian rupa sehingga |p(z)| > |p(0)| adalah |z| ≥ r. Minimum |p(z)| di D, yang harus ada karena D adalah kompak, oleh karena itu tercapai di beberapa titik z₀ di bagian dalam D , tetapi tidak di titik mana pun dari batasnya. Prinsip modulus maksimum (diterapkan ke 1/p(z)) menyiratkan kemudian itu p(z₀) = 0. In other words, z₀ is a zero of p(z).

Variasi dari bukti ini tidak memerlukan penggunaan prinsip modulus maksimum (pada kenyataannya, argumen yang sama dengan perubahan kecil juga memberikan bukti prinsip modulus maksimum untuk fungsi holomorfik). Jika kita berasumsi dengan kontradiksi itu a := p(z₀) ≠ 0, then, expanding p(z) in powers of z − z₀ we can write

$p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.$

dalam arti bahwa (seperti mudah untuk memeriksa) fungsinya

$\left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|$

dibatasi oleh beberapa konstanta positif M di beberapa lingkungan z₀. Oleh karena itu jika kita mendefinisikan $\theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k$ and let $z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}$, kemudian untuk bilangan positif yang cukup kecil r (sehingga batas M yang disebutkan di atas berlaku), menggunakan pertidaksamaan segitiga kita melihat bahwa

${\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}$

Lain bukti analitik dapat diperoleh sepanjang garis pemikiran ini mengamati itu, maka |p(z)| > |p(0)| outside D, minimum |p(z)| di seluruh bidang kompleks dicapai di z₀. Jika |p(z₀)| > 0, lalu 1/p adalah fungsi holomorfik berbatas di seluruh bidang kompleks karena, untuk setiap bilangan kompleks z, |1/p(z)| ≤ |1/p(z₀)|. Menerapkan Teorema Liouville, yang menyatakan bahwa seluruh fungsi yang dibatasi harus konstan, ini berarti bahwa 1 / p adalah konstan. Ini memberikan kontradiksi, dan karenanya p(z₀) = 0.

Dan lagi pembuktian analitik menggunakan prinsip argumen. Misalkan R adalah bilangan real positif yang cukup besar sehingga setiap akar p(z) memiliki nilai absolut lebih kecil dari R ; angka seperti itu harus ada karena setiap fungsi polinomial tak konstan dari derajat n memiliki paling banyak n nol. Untuk setiap r > R, pertimbangkan bilangan nya

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,$

dimana c(r) adalah lingkaran yang berpusat pada 0 dengan jari-jari r berorientasi berlawanan arah jarum jam; kemudian prinsip argumen mengatakan bahwa bilangan ini adalah bilangan N dari nol p(z) di bola terbuka berpusat di 0 dengan jari-jari r , yang sejak r > R, adalah jumlah total nol dari p ( z ). Sebaliknya, integral dari n / z sepanjang c ( r ) dibagi 2πi sama dengan n . Namun perbedaan antara kedua angka tersebut adalah

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.$

Pembilang ekspresi rasional yang diintegrasikan memiliki derajat paling banyak n - 1 dan derajat penyebutnya adalah n + 1. Oleh karena itu, bilangan di atas cenderung 0 sebagai r → +∞. Tetapi jumlahnya juga sama dengan N - n dan jadi N = n .

Masih lagi bukti analitik kompleks dapat diberikan dengan menggabungkan aljabar linier dengan Teorema Cauchy. Untuk menetapkan bahwa setiap polinomial kompleks berderajat n > 0 memiliki nol, ini cukup untuk menunjukkan bahwa setiap kompleks matriks persegi berukuran n > 0 memiliki (kompleks) nilai eigen. Bukti dari pernyataan terakhir adalah oleh kontradiksi.

Jika A menjadi matriks persegi kompleks dengan ukuran n > 0 dan biarkan I_n menjadi matriks satuan dengan ukuran yang sama. Asumsikan A tidak memiliki nilai eigen. Pertimbangkan fungsi resolvent

$R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},$

Bukti topologi

Misalkan minimal |p(z)| di seluruh bidang kompleks dicapai di z₀; Hal ini terlihat pada bukti yang menggunakan teorema Liouville bahwa bilangan seperti itu pasti ada. Kita bisa menulis p ( z ) sebagai polinomial di z − z₀: ada beberapa bilangan asli k dan ada beberapa bilangan kompleks c_k, c_k + 1, ..., c_n seperti yang c_k ≠ 0 dan:

$p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.$

Jika p(z₀) bukan nol, maka a adalah k^th root of −p(z₀)/c_k dan jika t positif dan cukup kecil, maka |p(z₀ + ta)| < |p(z₀)|, yang tidak mungkin, karena |p(z₀)| adalah minimal |p| on D.

Bukti aljabar

Bukti Teorema Fundamental Aljabar ini harus menggunakan dua fakta berikut tentang bilangan real yang bukan aljabar tetapi hanya memerlukan sedikit analisis (lebih tepatnya, teorema nilai menengah dalam kedua kasus):

• setiap polinomial dengan derajat ganjil dan koefisien nyata memiliki beberapa akar nyata;
• setiap bilangan riil non-negatif memiliki akar kuadrat.

Fakta kedua, bersama dengan rumus kuadrat, menyiratkan teorema untuk polinomial kuadrat nyata. Dengan kata lain, bukti aljabar dari teorema fundamental sebenarnya menunjukkan bahwa jika R adalah bidang tertutup nyata, maka ekstensinya C = R(√−1) ditutup secara aljabar.

Seperti disebutkan di atas, cukup untuk memeriksa pernyataan "setiap polinomial tidak konstan p ( z ) dengan koefisien real memiliki akar kompleks". Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan induksi pada bilangan bulat non-negatif terbesar k sedemikian rupa 2^k membagi derajat n dengan p(z). Maka a menjadi koefisien zⁿ pafa p(z) dan jika F menjadi bidang pemisahan dari p(z) over C; dengan kata lain, field F berisi C dan ada elemen z₁, z₂, ..., z_n di F maka

$p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).$

Lihat pula

• Teorema faktorisasi Weierstrass, sebuah generalisasi dari teorema tersebut ke seluruh fungsi lainnya

Referensi

Sumber bersejarah

• Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique, Paris: Éditions Jacques Gabay (dipublikasikan tanggal 1992), ISBN 978-2-87647-053-8  (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
• Euler, Leonhard (1751), "Recherches sur les racines imaginaires des équations", Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Berlin, 5, hlm. 222–288, diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-12-24, diakses tanggal 2021-03-10 . English translation: Euler, Leonhard (1751), "Investigations on the Imaginary Roots of Equations" (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Berlin, 5, hlm. 222–288 
• Gauss, Carl Friedrich (1799), Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, Helmstedt: C. G. Fleckeisen  (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree).
• Gauss, Carl Friedrich (1866), Carl Friedrich Gauss Werke, Band III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 
  1. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), pp. 1–31., hlm. 1, pada Google Books – first proof.
  2. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp. 32–56., hlm. 32, pada Google Books – second proof.
  3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp. 57–64., hlm. 57, pada Google Books – third proof.
  4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), pp. 71–103., hlm. 71, pada Google Books – fourth proof.
• Kneser, Hellmuth (1940), "Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus", Mathematische Zeitschrift, 46, hlm. 287–302, doi:10.1007/BF01181442, ISSN 0025-5874  (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
• Kneser, Martin (1981), "Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra", Mathematische Zeitschrift, 177 (2), hlm. 285–287, doi:10.1007/BF01214206, ISSN 0025-5874  (tr. An extension of a work of Hellmuth Kneser on the Fundamental Theorem of Algebra).
• Ostrowski, Alexander (1920), "Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra", Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2  (tr. On the first and fourth Gaussian proofs of the Fundamental Theorem of Algebra).
• Weierstraß, Karl (1891). "Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen". Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. hlm. 1085–1101. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-11-02. Diakses tanggal 2021-03-10.  (tr. New proof of the theorem that every integral rational function of one variable can be represented as a product of linear functions of the same variable).

Recent literature

• Almira, J.M.; Romero, A. (2007), "Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere", Bulletin of the Belgian Mathematical Society, 14, hlm. 341–342 
• Almira, J.M.; Romero, A. (2012), "Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra" (PDF), Differential Geometry – Dynamical Systems, 14, hlm. 1–4 
• de Oliveira, O.R.B. (2011), "The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof", Mathematical Intelligencer, 33 (2), hlm. 1–2, doi:10.1007/s00283-011-9199-2 
• de Oliveira, O.R.B. (2012), "The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations", American Mathematical Monthly, 119 (9), hlm. 753–758, arXiv:1110.0165 , doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.753 
• Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94657-3, MR 1454356 
• Gersten, S.M.; Stallings, John R. (1988), "On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra", Proceedings of the AMS, 103 (1), hlm. 331–332, doi:10.2307/2047574, ISSN 0002-9939, JSTOR 2047574 
• Gilain, Christian (1991), "Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral", Archive for History of Exact Sciences, 42 (2), hlm. 91–136, doi:10.1007/BF00496870, ISSN 0003-9519  (tr. On the history of the fundamental theorem of algebra: theory of equations and integral calculus.)
• Netto, Eugen; Le Vavasseur, Raymond (1916), "Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental", dalam Meyer, François; Molk, Jules, Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, Éditions Jacques Gabay (dipublikasikan tanggal 1992), ISBN 978-2-87647-101-6  (tr. The rational functions §80–88: the fundamental theorem).
• Remmert, Reinhold (1991), "The Fundamental Theorem of Algebra", dalam Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich, Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97497-2 
• Shipman, Joseph (2007), "Improving the Fundamental Theorem of Algebra", Mathematical Intelligencer, 29 (4), hlm. 9–14, doi:10.1007/BF02986170, ISSN 0343-6993 
• Smale, Steve (1981), "The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory", Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 4 (1)  [3]
• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 978-0-486-64690-9 
• Smithies, Frank (2000), "A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra", Notes & Records of the Royal Society, 54 (3), hlm. 333–341, doi:10.1098/rsnr.2000.0116, ISSN 0035-9149 
• Taylor, Paul (2 June 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra  – English translation of Gauss's second proof.
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra, I (edisi ke-7th), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40624-4 

Pranala luar

• Algebra, fundamental theorem of at Encyclopaedia of Mathematics
• Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs
• D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach, PDF (unpublished paper) Diarsipkan 2016-06-16 di Wayback Machine., visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs
• From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A "Harmonious" Path
• Gauss's first proof (in Latin) pada Google Books
• Gauss's first proof (in Latin) pada Google Books
• Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74