Rumus Vieta

Dalam matematika, rumus Vieta atau teorema Vieta adalah sekumpulan rumus yang menghubungkan antara koefisien pada polinomial dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai akar-akarnya. Rumus ini dinamai dari François Viète (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").

François Viète matematikawan asal Prancis berhasil menemukan Rumus Vieta

Rumus dasar

Misalkan $n\in \mathbb {N}$ dan $a_{n}\neq 0$. Menurut teorema dasar aljabar, maka setiap polinomial yang berderajat $n$ dengan koefisien bilangan riil $$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\,\ldots \,+a_{1}x+a_{0}$$ dapat dinyatakan sebagai $$P(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\ldots \left(x-x_{n}\right)$$ dengan $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ merupakan bilangan-bilangan kompleks yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ sebagai berikut: $${\begin{aligned}-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}\\{\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n}\\&{\phantom {=}}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n}+\cdots +x_{n-1}x_{n}\\&{\phantom {=}}\vdots \\\left(-1\right)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}x_{3}\cdot \ldots \cdot x_{n}\end{aligned}}$$ Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai $${\begin{aligned}-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=\sum _{i\,=\,1}^{n}x_{i}\\{\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{2}x_{i_{j}}\right)\\-{\dfrac {a_{n-3}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{3}x_{i_{j}}\right)\\&\vdots \\\left(-1\right)^{k}{\dfrac {a_{n-k}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{k}x_{i_{j}}\right)\\&\vdots \\\left(-1\right)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=\prod _{j\,=\,1}^{n}x_{j}\end{aligned}}$$ Perhatikan bahwa $i_{1}$ sampai dengan $i_{k}$ diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari $k$ akar digunakan tepat satu kali.

Ruas kanan dari rumus Vieta disebut sebagai polinomial simetri elementer dalam $n$ variabel.

Perumuman gelanggang

Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu ranah integral $R$. Maka, hasil bagi ${\dfrac {a_{i}}{a_{n}}}$ akan termuat pada lapangan pecahan dari $R$ (dan mungkin saja pada $R$ itu sendiri, jika $a_{n}$ merupakan elemen unit pada $R$) dan akarnya $x_{i}$ diambil pada perluasan lapangan yang tertutup secara aljabar. Biasanya, $R$ merupakan gelanggang bilangan bulat, lapangan pecahannya merupakan lapangan bilangan rasional, dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan bilangan kompleks.

Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.

Untuk polinomial atas gelanggang komutatif yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika $a_{n}$ bukan merupakan pembagi nol dan $P(x)$ dapat difaktorkan menjadi $a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)$. Sebagai contoh, fungsi kuadrat $$P(x)=x^{2}-1$$ memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat modulo 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih $x_{1}=1$ dan $x_{2}=3$, sebab $P(x)\neq \left(x-1\right)\left(x-3\right)$. Akan tetapi, $P(x)$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x-1\right)\left(x-7\right)$ atau $\left(x-3\right)\left(x-5\right)$, dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih ${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\7\end{bmatrix}}$ atau ${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}$.

Contoh

Rumus Vieta saat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ dari polinomial kuadrat $P(x)=ax^{2}+bx+c$ akan memenuhi persamaan $${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}&={\dfrac {c}{a}}\end{aligned}}$$

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari fungsi $P$; lihat Persamaan kuadrat § Rumus-rumus Vieta.

Akar-akar $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$ dari polinomial kubik $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ akan memenuhi persamaan $${\begin{aligned}r_{1}+r_{2}+r_{3}&=-{\frac {b}{a}}\\r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}&={\frac {c}{a}}\\r_{1}r_{2}r_{3}&=-{\frac {d}{a}}\end{aligned}}$$

Bukti

Bukti langsung

Menurut teorema dasar aljabar, jika $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ merupakan akar-akar dari polinomial $$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$$ maka $P(x)$ dapat dinyatakan sebagai $$P(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)$$ Akibatnya, diperoleh persamaan $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)$$ Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari $x$.

Secara formal, jika ekspresi $\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)$ dijabarkan, maka terdapat tepat $n$ pilihan biner pada setiap suku (ikutkan $x$ atau $-x_{i}$). Jika $k$ pilihan digunakan untuk memilih $x$ sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa $n-k$ faktor lainnya haruslah $-x_{i}$. Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum $\left(-1\right)^{n-k}\left(x_{1}\right)^{b_{1}}\left(x_{2}\right)^{b_{2}}\cdot \ldots \cdot \left(r_{n}\right)^{b_{n}}x^{k}$, dengan $b_{i}$ bernilai 0 atau 1, tergantung apakah $r_{i}$ menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat $x$ nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam $x_{i}$.

Induksi matematika

Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan induksi sebagai berikut.

Hipotesis

Misalkan

1. $P(x)$ adalah polinomial berderajat $n$
2. $P(x)$ memiliki akar-akar kompleks $\left\{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}$
3. $P(x)$ memiliki koefisien kompleks $\left\{a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}$, dengan $a_{n}\neq 0$

maka $$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)$$

Kasus dasar (n = 2)

Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan $$a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$$ Dengan menggunakan sifat distributif, diperoleh $${\begin{aligned}a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}&=a_{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\\&=a_{2}\left(x-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}\right)\\&=a_{2}\left(x-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}\right)\end{aligned}}$$ sehingga kasus dasar terbukti.

Langkah induksi

Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai $n=k$, dengan $k\geq 2$. Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk $n=k+1$. $$P(x)=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$$ Berdasarkan teorema faktor, maka $\left(x-x_{n+1}\right)$ dapat difaktorkan dari $P(x)$, dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan $${\begin{aligned}P(x)&=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=a_{n+1}\left(x^{n+1}+{\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}x^{n}+{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n+1}}}x^{n-1}+\ldots +{\dfrac {a_{1}}{a_{n+1}}}x+{\dfrac {a_{0}}{a_{n+1}}}\right)\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\cdot {\dfrac {x^{n+1}+{\tfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}x^{n}+{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n+1}}}x^{n-1}+\ldots +{\tfrac {a_{1}}{a_{n+1}}}x+{\tfrac {a_{0}}{a_{n+1}}}}{x-x_{n+1}}}\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\left(x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\,\ldots \,+c_{1}x+c_{0}\right)\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\\&=a_{n+1}\left(x\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\right.\\&{\phantom {=a_{n+1}}}\left.-x_{n+1}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\right)\\&=a_{n+1}\left(x^{n+1}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}+x_{n+1}\right)x^{n}+\ldots +\left(-1\right)^{n+1}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}x_{n+1}\right)\end{aligned}}$$

Kesimpulan

Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus $n=k+1$, maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang $n\in \mathbb {N} \setminus \left\{1\right\}$. $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)$$ Dengan membagi kedua ruas dengan $x_{n}$, maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.

Sejarah

Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh matematikawan asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti yang dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 Albert Girard:

...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.

Lihat juga

• Bagian primitif dan konten
• Aturan tanda Descartes
• Identitas Newton
• Teorema Gauss-Lucas
• Sifat geometris dari akar polinomial
• Teorema akar rasional
• Polinomial simetris dan polinomial simetri elementer

Referensi

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Teorema Viète", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations" [Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan], American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 
• Vinberg, E. B. (2003), A course in algebra [Kursus aljabar] (dalam bahasa Inggris), American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN 0-8218-3413-4 
• Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004 [Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004] (dalam bahasa Inggris), Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6 

Pranala luar

• Vieta's Formula [Rumus Vieta] (dalam bahasa Inggris)