Integral

Dalam matematika, integral adalah versi kontinu dari konsep penjumlahan, yang digunakan untuk menghitung luas, volume, dan banyak perumumannya. Integrasi atau mengintegralkan, yakni proses menghitung suatu integral, adalah salah satu dari dua operasi penting dalam kalkulus;^[a] operasi yang lain adalah turunan. Integrasi awalnya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika dan fisika, seperti menghitung luas daerah dibawah suatu kurva atau menentukan besar perpindahan objek dari kecepatannya. Penggunaan integrasi selanjutnya meluas ke banyak bidang keilmuan.

Integral tentu dari suatu fungsi $f$ menghitung luas bertanda dari daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut di antara dua titik di garis horizontal. Berdasarkan konvensi, luas daerah yang terletak di atas garis horizontal memiliki luas yang bernilai positif, sedangkan yang terletak di bawah memiliki luas negatif. Integral juga mencakup konsep antiturunan, yakni suatu fungsi yang turunannya adalah fungsi $f$ ; dalam hal ini, suatu fungsi tersebut disebut integral taktentu. Teorema dasar kalkulus memberikan hubungan antara integral tentu dengan turunan, dan cara menghitung integral tentu dari suatu fungsi yang antiturunannya diketahui; turunan dan integral adalah operasi yang saling berkebalikan.

Walaupun cara menghitung luas dan volume sudah diketahui sejak jaman Yunani kuno, prinsip dari integrasi baru dirumuskan secara terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada akhir abad ke-17. Keduanya menganggap luas daerah dibawah kurva sebagai penjumlahan takhingga dari persegi-persegi panjang dengan lebar infinitesimal (takhingga kecilnya). Bernhard Riemann kemudian memberikan definisi cermat (rigorous) dari integral, yang didasarkan pada suatu prosedur yang memprakirakan luas dari suatu daerah kurvilinear dengan memecah daerah tersebut menjadi plat-plat vertikal yang takhingga tipisnya. Pada awal abad ke-20, Henri Lebesgue memperumum metode Riemann dengan memperkenalkan hal yang sekarang disebut sebagai integral Lebesgue; integral ini lebih umum ketimbang Riemann dalam artian ada lebih banyak fungsi yang terintegralkan-Lebesgue.

Integral dapat diperumum tergantung jenis dari fungsi maupun domain atas integrasi dilakukan. Sebagai contoh, integral garis didefinisikan untuk fungsi dua-variabel atau lebih, dan selang dari integrasi digantikan oleh suatu kurva yang menghubungkan dua titik di suatu ruang. Sedangkan pada integral permukaan, kurva digantikan oleh sepotong permukaan di ruang dimensi tiga.

Terminologi dan notasi

Secara umum, integral dari sebuah fungsi bernilai riil $f(x)$ terhadap variabel riil $x$ pada suatu selang $[a,\,b]$ dituliskan sebagai $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$ Simbol integral ${\textstyle \int }$ menandakan integrasi. Fungsi $f(x)$ disebut integran. Simbol $dx$ , terkadang ditulis sebagai ${\text{d}}x$ , disebut diferensial dari variabel $x$ , dan menandakan variabel dari integrasi adalah $x.$ Titik $a$ dan $b$ disebut batas (atau limit) dari integrasi, dan integrasi disebut dilakukan pada selang $[a,\,b]$ .^[1] Sebuah fungsi disebut terintegralkan jika integral fungsi tersebut pada domainnya bernilai hingga. Jika batas integrasi disertakan, integral disebut integral tentu.

Ketika batas integrasi tidak ada, misalnya seperti $\int f(x)\,dx,$ maka integral disebut sebagai integral taktentu. Integral ini menyatakan suatu kelompok fungsi (antiturunan) yang turunannya adalah integran.^[2] Teorema dasar kalkulus menyatakan hubungan antara integral tentu dengan integral taktentu. Terdapat beberapa perumuman notasi dari integral, masing-masing untuk mencakup integrasi yang dilakukan pada domain yang takterbatas dan/atau dimensi tinggi (lihat bagian Perumuman di artikel ini).

Dalam pembahasan tingkat lanjut, cukup umum untuk tidak menuliskan $dx$ ketika hanya menggunakan integral Riemann yang sederhana, atau ketika integral dapat berlaku secara umum. Sebagai contoh, sifat linearitas dari integral dapat dituliskan ${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$ , simbol $dx$ tidak dituliskan karena sifat tersebut berlaku bagi integral Riemann dan semua perumumannya.^[3]

Interpretasi

Hampiran integral

{\sqrt {x}}

pada nilai

x=0

hingga

x=1

, menggunakan 5 partisi titik akhir kanan (warna kuning) dan 12 partisi titik akhir kiri (warna hijau).

Integrasi muncul dalam banyak masalah umum. Bila suatu kolam renang berbentuk kotak dengan dasar yang datar, maka dari panjang, lebar, dan kedalamannya kita dengan mudah dapat menentukan volume air yang dapat ditampungnya (untuk mengisinya), luas permukaannya (untuk menutupinya), dan panjang tepinya (untuk membuat pembatas). Namun jika kolam renang berbentuk oval dengan dasar yang melengkung, semua masalah tadi membutuhkan integral. Tentu perkiraan praktis mungkin cukup untuk contoh sederhana seperti itu, tetapi integral diperlukan dalam ilmu teknik yang membutuhkan ketelitian dan nilai yang presisi. Dalam masing-masing cara tadi, besaran yang ingin ditentukan (misal panjang pembatas) dapat dihitung dengan membaginya menjadi banyak bagian-bagian kecil (atau sampai infinitesimal), lalu menjumlahkan bagian-bagian tadi untuk mendapatkan perkiraan yang akurat.

Sebagai contoh lain, misal seseorang ingin menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ pada selang $x=0$ sampai $x=1$ . Ia dapat memperkirakan luasnya dengan membagi selang menjadi lima bagian $(0,\,{\tfrac {1}{5}},\,{\tfrac {2}{5}},\,\cdots ,\,1)$ , lalu membuat persegi-persegi panjang dengan tinggi nilai fungsi di batas kanan setiap subselang -- sehingga tinggi masing-masingnya adalah ${\sqrt {\tfrac {1}{5}}},\,{\sqrt {\tfrac {2}{5}}},\,\cdots ,\,{\sqrt {\tfrac {5}{5}}}$ , kemudian menjumlahkan semua persegi panjang tadi untuk mendapatkan hampiran $\textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0,7497,$ yang lebih besar daripada nilai sebenarnya. Hampiran lain dapat dilakukan menggunakan batas kiri setiap subselang, namun nilai yang didapatkan lebih kecil daripada sebenarnya: dengan 12 subselang akan menghasilkan luas $0,6203$ . Tetapi ketika banyak subselang diperbanyak sampai tak hingga, luas yang dihitung akan mencapai suatu limit yang sama dengan sama dengan luas daerah yang ingin dicari (dalam kasus ini bernilai ${\textstyle {\tfrac {2}{3}}}$ ). Menggunakan notasi integral, ini ditulis sebagai $\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},$ yang mengartikan ${\textstyle {\tfrac {2}{3}}}$ adalah jumlah berbobot dari nilai-nilai fungsi, ${\sqrt {x}}$ , dikalikan dengan lebar yang infinitesimal, yang disimbolkan dengan $dx$ , pada selang $[0,\,1]$ .

Jumlah Darboux

Jumlah Darboux atas untuk fungsi

y = x 2

Contoh jumlah Darboux bawah untuk fungsi

y = x 2

Definisi formal

jumlah Riemann yang konvergen ke luas bertanda dari fungsi

Ada banyak cara untuk mendefinisikan integral secara formal, tapi tidak semuanya setara. Perbedaan tersebut sebagian besar terjadi untuk menangani kasus-kasus khusus yang mungkin tidak dapat diintegrasikan dalam definisi lain, tetapi terkadang juga terjadi karena alasan pedagogis. Definisi integral yang paling umum digunakan adalah integral Riemann dan integral Lebesgue.

Integral Riemann

Integral Riemann didefinisikan menggunakan jumlah Riemann dari fungsi terhadap partisi bertanda dari sebuah interval.^[4]^[5] Partisi bertanda dari sebuah selang tertutup $[a,\,b]$ pada garis riil adalah barisan terbatas $a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$ Partisi ini memecah selang $[a,\,b]$ menjadi $n$ subselang $[x_{i-1},\,x_{i}]$ yang diindeks oleh $i$ , dan masing-masing "menandai" suatu titik $t_{i}\in [x_{i-1},\,x_{i}]$ . Mesh dari partisi tersebut adalah subselang di partisi dengan lebar terbesar, ${\textstyle \max _{i=1,\cdots ,n}\Delta _{i}}$ . Selanjutnya, jumlah Riemann dari sebuah fungsi $f$ terhadap partisi bertanda tersebut didefinisikan sebagai $\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};$ sehingga setiap suku dalam penjumlahan menyatakan luas sebuah persegi panjang dengan tinggi sama dengan nilai fungsi pada suatu nilai di subselang tersebut, dan dengan lebar sama dengan lebar subselang, $\Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}$ .

Akhirnya, integral Riemann dari sebuah fungsi $f$ pada selang $[a,\,b]$ didefinisikan sama dengan $S$ jika:^[6]

Untuk setiap

\varepsilon >0

terdapat

\delta >0

sedemikian sehingga, untuk sebarang partisi bertanda

[a,b]

dengan mesh lebih kecil dari

\delta

, berlaku hubungan

\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .

Jika tanda setiap subselang yang dipilih adalah maksimum (atau serupa dengan itu, minimum) dari nilai fungsi pada subselang tersebut, maka jumlah Riemann akan sama dengan jumlah Darboux atas (atau serupa dengan itu, bawah); memperlihatkan kaitan erat antara integral Riemann dan integral Darboux.

Integral Lebesgue

Integral Riemann (atas) dan integral Lebesgue (bawah)

Baik dalam teori maupun penerapan, seringkali perhitungan perlu memindahkan limit ke "sisi" dalam integral. Sebagai contoh, suatu barisan fungsi sering dibuat untuk menghampiri, dalam konteks yang masuk akal, solusi (dalam rupa fungsi) dari sebuah masalah. Dalam hal ini, integral dari fungsi solusi sewajarnya sama dengan limit dari integral fungsi hampiran. Akan tetapi, banyak fungsi yang dapat dihasilkan dari limit tidak terintegralkan-Riemann, sehingga teorema limit seperti itu tidak berlaku ketika menggunakan integral Riemann. Akibatnya, diperlukan suatu definisi integral yang memungkinkan lebih banyak jenis fungsi yang dapat terintegralkan.^[7]

Integral yang memenuhi syarat tersebut adalah integral Lebesgue, yang menggunakan fakta berikut untuk memungkinkan lebih banyak jenis fungsi dapat terintegralkan: jika nilai dari fungsi disusun ulang atas domainnya, integral dari fungsi tersebut harus tidak berubah. Alhasil Henri Lebesgue memperkenalkan integral yang menyandang namanya, dan menjelaskan integral ini dalam surat ke Paul Montel:^[8]

Saya harus membayar sejumlah uang, yang telah saya kumpulkan di saku saya. Saya mengambil uang kertas dan koin dari saku saya, dan memberikannya kepada kreditor sesuai urutan saya menemukannya sampai saya mencapai total uang tersebut. Ini adalah integral Riemann. Tetapi saya dapat melanjutkan secara berbeda. Setelah saya mengeluarkan semua uang dari saku, saya dapat mengurutkan uang kertas dan koin berdasarkan nilai mereka dan baru kemudian saya membayar beberapa tumpukan [nilai uang] satu-demi-satu kepada kreditor. Ini adalah integral saya.
— (Siegmund-Schultze 2008)

Folland menyampaikan konsep integral ini seperti berikut: "Untuk menghitung integral Riemann dari $f$ , seseorang perlu mempartisi domain $[a,\,b]$ sebagai sub-subselang, sedangkan dalam integral Lebesgue, dia mempartisi [rentang] nilai dari $f$ ."^[9] Definisi dari integral Lebesgue didasarkan dengan sebuah ukuran, $\mu$ . Dalam kasus paling sederhana, ukuran Lebesgue $\mu (A)$ dari selang $A=[a,\,b]$ adalah lebarnya, $b-a$ , sehingga hasil integral Lebesgue sama dengan integral Riemann ketika keduanya ada.^[10] Pada kasus yang lebih rumit, ukuran dari himpunan dapat sangat terpecah-pecah, tanpa kekontinuan dan tidak memiliki kemiripan apapun dengan selang.

Menggunakan sudut pandang "mempartisi rentang nilai dari $f$ ", integral dari sebuah fungsi non-negatif $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ akan menyatakan penjumlahan terhadap $t$ , dari luas-luas (mungkin beberapa) strip horizontal tipis yang terletak di antara $y=t$ dan $y=t+dt$ . Luas dari strip ini adalah $\mu (\{x:f(x)>t\})dt$ . Misalkan $f^{*}(t)=\mu (\{x:f(x)>t\})$ . Integral Lebesgue dari $f$ selanjutnya didefinisikan sebagai $\int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt$ dengan bentuk integral di ruas kanan adalah bentuk integral taktentu Riemann biasa (fungsi $f^{*}$ adalah fungsi positif yang menurun tegas (strictly decreasing), sehingga memiliki integral taktentu Riemann).^[11] Definisi ini berlaku untuk suatu kelompok fungsi yang sesuai (yakni fungsi terukur).

Sebarang fungsi terukur $f$ terintegralkan-Lebesgue jika jumlah dari nilai-nilai mutlak dari luas daerah diantara grafik fungsi $f$ dan sumbu- $x$ bernilai hingga; secara matematis:^[12] $\int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .$ Dalam kasus tersebut, integralnya adalah selisih luas daerah diatas sumbu- $x$ dengan luas dibawah sumbu- $x$ ; sama seperti integral Riemann. Dituliskan dalam bentuk matematis:^[13] $\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu$ dengan ${\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{jika }}f(x)>0,\\0,&{\text{lainnya,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{jika }}f(x)<0,\\0,&{\text{lainnya.}}\end{cases}}\end{alignedat}}$

Integral lainnya

Walau integral Riemann dan Lebesgue adalah definisi integral yang paling umum digunakan, ada beberapa definisi integral lainnya, termasuk diantaranya:

Integral Darboux, yang didefinisikan menggunakan jumlah Darboux (kasus khusus dari jumlah Riemann), tapi setara dengan integral integral Riemann. Suatu fungsi terintegralkan-Darboux jika dan hanya jika fungsi tersebut terintegralkan-Riemann. Integral Darboux memiliki keuntungan karena lebih mudah didefinisikan ketimbang integral Riemann.
Integral Riemann–Stieltjes, perumuman dari integral Riemann yang mengintegrasi terhadap sebuah fungsi ketimbang sebuah variabel.
Integral Lebesgue–Stieltjes, dikembangkan lebih lanjut oleh Johann Radon, memperumum integral Riemann–Stieltjes dan integral Lebesgue.
Integral Daniell, yang mengubah integral Lebesgue dan Lebesgue-Stieltjes sehingga tidak bergantung pada konsep ukuran.
Integral Haar, digunakan untuk integrasi pada grup topologis yang kompak secara lokal, diperkenalkan oleh Alfréd Haar pada tahun 1933.
Integral Henstock–Kurzweil, didefinisikan oleh Arnaud Denjoy, Oskar Perron, dan (secara lebih elegan sebagai gauge integral) Jaroslav Kurzweil, dan dikembangkan oleh Ralph Henstock.
Integral Itô dan integral Stratonovich, yang mendefinisikan integrasi terhadap semimartingales seperti gerak Brown.
Integral Young, salah satu jenis integral Riemann–Stieltjes terhadap suatu jenis fungsi dengan unbounded variation.
Integral rough path, didefinisikan untuk fungsi yang dilengkapi oleh suatu struktur "rough path" tambahan dan memperumum integrasi stokastik baik terhadap semimartingales dan proses seperti gerak Brown fraksional.
Integral Choquet, sebuah integral subaditif atau superaditif yang dibuat oleh matematikawan Prancis Gustave Choquet pada tahun 1953.
Integral Bochner, sebuah perumuman dari integral Lebesgue ke suatu kelompok fungsi yang lebih luas, yakni fungsi yang domain merupakan ruang Banach.

Sifat

Linearitas

Kumpulan fungsi yang dapat diintegrasikan Riemann pada interval tertutup $[a, b]$ membentuk ruang vektor di bawah operasi penambahan pointwise dan perkalian dengan skalar, dan operasi integral

f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx

adalah fungsional linear pada ruang vektor ini. Jadi, pertama, kumpulan dari fungsi terintegral ditutup pada pengambilan kombinasi linier; dan kedua, integral dari kombinasi linier adalah kombinasi linier dari integral,^[14]

\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,

Demikian pula, himpunan nyata - nilai fungsi terintegralkan Lebesgue pada ruang ukur yang diberikan $E$ dengan ukuran $μ$ ditutup dengan mengambil kombinasi linier, dan karenanya membentuk ruang vektor, dan integral Lebesgue

f\mapsto \int _{E}f\,d\mu

adalah fungsi linear pada ruang vektor ini, sehingga

\int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .

Secara lebih umum, pertimbangkan ruang vektor dari semua fungsi terukur pada ruang ukur $(E, μ)$ , mengambil nilai dalam kompak lokal lengkap spasi vektor topologi $V$ di atas bidang topologi $K, f : E \to V$ . Kemudian seseorang dapat mendefinisikan peta integrasi abstrak yang ditugaskan ke setiap fungsi $f$ sebuah elemen dari $V$ atau simbol $\infty$ ,

f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,

kompatibel dengan kombinasi linear. Dalam situasi ini, linieritas berlaku untuk subruang fungsi yang integralnya merupakan elemen dari $V$ (yaitu "finite"). Kasus khusus yang paling penting muncul adalah $K$ pada $R$ , $C$ , atau perluasan lapangan yang terbatas $Q p$ dari bilangan p-adic s, dan $V$ adalah ruang vektor berdimensi-hingga di atas $K$ , dan jika $K = C$ dan $V$ adalah kompleks ruang Hilbert.

Linearitas, bersama dengan beberapa sifat kontinuitas alami dan normalisasi untuk kelas fungsi "sederhana" tertentu, dapat digunakan untuk memberikan definisi alternatif dari integral. Ini adalah pendekatan dari Daniell untuk kasus fungsi bernilai riil pada suatu himpunan $X$ , digeneralisasikan oleh Nicolas Bourbaki ke fungsi dengan nilai dalam ruang vektor topologi yang kompak secara lokal. Lihat (Hildebrandt 1953) untuk karakterisasi aksiomatik dari integral.

Teorema dasar kalkulus

contoh

Perhitungan

Penerapan

Perumuman

Sejarah

Integrasi pra-kalkulus

Teknik sistematis terdokumentasi pertama yang mampu menentukan integral adalah metode penghabis dari Yunani kuno astronom Eudoksos (ca. 370 SM), yang berusaha untuk menemukan luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa divisi yang luas atau volumenya diketahui. Metode tersebut dikembangkan lebih lanjut dan digunakan oleh Archimedes pada abad ke-3 SM dan digunakan untuk menghitung luas lingkaran, luas permukaan dan volume bola, luas elips, luas di bawah parabola, volume segmen revolusi paraboloid, volume segmen hiperboloid revolusi, dan luas spiral.^[15]

Metode serupa dikembangkan secara independen di Tiongkok sekitar abad ke-3 M oleh Liu Hui, yang menggunakan untuk mencari luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan pada abad ke-5 oleh ahli matematika ayah dan anak Tionghoa Zu Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari volume bola (Shea 2007; Katz 2004, hlm. 125–126).

Di Timur Tengah, Hasan Ibn al-Haytham, dalam bahasa Latin sebagai Alhazen (ca 965 AD) menurunkan rumus untuk jumlah pangkat empat s. Dia menggunakan hasil untuk melakukan apa yang sekarang disebut integrasi fungsi ini, di mana rumus untuk jumlah kuadrat integral dan paraboloid.^[16]

Kemajuan signifikan berikutnya dalam kalkulus integral baru mulai muncul pada abad ke-17. Pada saat ini, karya Cavalieri dengan metode Indivisibles miliknya, dan karya Fermat, mulai meletakkan dasar-dasar kalkulus modern, dengan Cavalieri menghitung integral dari $x n$ dengan derajat nilai $n = 9$ dalam rumus kuadrat Cavalieri. Langkah selanjutnya dibuat pada awal abad ke-17 oleh Barrow dan Torricelli, yang memberikan petunjuk pertama tentang hubungan antara integrasi. Barrow memberikan bukti pertama dari teorema fundamental kalkulus. John Wallis menggeneralisasi metode Cavalieri, menghitung integral dari nilai $x$ menjadi kekuatan umum, termasuk kekuatan negatif dan kekuatan pecahan.

Leibniz dan Newton

Kemajuan besar dalam integrasi terjadi pada abad ke-17 dengan penemuan independen dari teorema dasar kalkulus oleh Leibniz dan Newton. Leibniz menerbitkan karyanya tentang kalkulus sebelum Newton. Teorema menunjukkan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Hubungan tersebut, dikombinasikan dengan kemudahan pembedaan, dapat dimanfaatkan untuk menghitung integral. Secara khusus, teorema dasar kalkulus memungkinkan seseorang untuk memecahkan masalah kelas yang jauh lebih luas. Sama pentingnya adalah kerangka matematika komprehensif yang dikembangkan oleh Leibniz dan Newton. Diberikan nama kalkulus sangat kecil, tersebut memungkinkan untuk analisis fungsi yang tepat dalam domain kontinu. Kerangka ini akhirnya menjadi modern kalkulus, yang notasinya untuk integral diambil langsung dari karya Leibniz.

Formalisasi

Sementara Newton dan Leibniz memberikan pendekatan sistematis untuk integrasi, pekerjaan mereka tidak memiliki derajat rigor. Bishop Berkeley secara mengesankan menyerang langkah langkah yang digunakan Newton, memanggil mereka "hantu dari jumlah yang telah pergi". Kalkulus memperoleh pijakan yang lebih kokoh dengan pengembangan limit. Integrasi pertama kali diformalkan secara ketat, menggunakan batasan, oleh Riemann. Meskipun semua fungsi kontinu bagian yang dibatasi adalah Riemann-integrable pada interval yang dibatasi, selanjutnya fungsi yang lebih umum dipertimbangkan terutama dalam konteks analisis Fourier yang mendefinisikan Riemann tidak berlaku, dan Lebesgue merumuskan definisi integral yang berbeda, didirikan di teori ukuran (subbidang dari analisis nyata). Definisi integral lainnya, memperluas pendekatan Riemann dan Lebesgue, telah diusulkan. Pendekatan ini berdasarkan sistem bilangan real adalah yang paling umum saat ini, tetapi ada pendekatan alternatif, seperti definisi integral sebagai bagian standar dari jumlah Riemann tak terbatas, berdasarkan sistem bilangan hiperreal.

Notasi sejarah

Notasi untuk integral tak tentu diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675 (Burton 1988, p. 359; Leibniz 1899, p. 154). Dia mengadaptasi simbol integral, ∫, dari lambang berbentuk ſ, singkatan dari summa (ditulis sebagai ſumma; dari Bahasa Latin "sum" atau "total"). Notasi modern untuk integral pasti, dengan batas di atas dan di bawah integral, pertama kali digunakan oleh Joseph Fourier Mémoires dari Akademi Prancis sekitar tahun 1819–2020, dicetak ulang dalam bukunya tahun 1822 (Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231).

Isaac Newton menggunakan batang vertikal kecil di atas variabel untuk menunjukkan integrasi, atau menempatkan variabel di dalam kotak. Bilah vertikal mudah dikacaukan pada nilai $. x$ atau $x'$ , yang digunakan untuk menunjukkan diferensiasi, dan notasi kotak sulit untuk direproduksi oleh printer, jadi notasi tersebut tidak digunakan secara luas.

Penggunaan pertama dari istilah tersebut

Istilah ini pertama kali dicetak dalam bahasa Latin pada tahun 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur" (Bernoulli, Opera 1744, Vol. 1, hal. 423).^[17]

Istilah ini digunakan dalam paragraf yang mudah dipahami dari Guillaume de l'Hôpital pada tahun 1696:^[18]

Dans tout cela il n'y a encore que la premiere partie du calcul de M. Leibniz, laquelle consiste à descendre des grandeurs entiéres à leur différences infiniment petites, et à comparer entr'eux ces infiniment petits de quelque genre qu'ils soient: c'est ce qu'on appel calcul différentiel. Pour l'autre partie, qu'on appelle Calcul intégral, et qui consiste à remonter de ces infiniment petits aux grandeurs ou aux touts dont ils sont les différences, c'est-à-dire à en trouver les sommes, j'avois aussi dessein de le donner. Mais M. Leibniz m'ayant écrit qu'il y travailloit dans un Traité qu'il intitule De Scientia infiniti, je n'ay eu garde de prive le public d'un si bel Ouvrage qui doit renfermer tout ce qu'il y a de plus curieux pour la Méthode inverse des Tangentes...

"Dalam semua itu, hanya ada bagian pertama dari kalkulus M. Leibniz, yang terdiri dari turun dari besaran integral ke perbedaan kecil tak terhingga, dan dalam membandingkan antara satu sama lain yang sangat kecil tak terhingga dari jenis yang mungkin: inilah yang disebut kalkulus diferensial. Adapun bagian lain, yang disebut kalkulus integral, dan itu terdiri dari kembali ke atas dari yang sangat kecil ke kuantitas, atau bagian penuh dari perbedaan mereka, yaitu untuk menemukan jumlah mereka, saya juga berniat untuk mengungkapkannya. Tetapi mengingat M. Leibniz menulis kepada saya bahwa dia sedang mengerjakannya di sebuah buku yang dia sebut De Scientia infiniti, Saya berhati-hati untuk tidak menghilangkan publik dari karya yang begitu indah yang karena mengandung semua yang paling aneh dalam metode kebalikan dari garis singgung..."

Lihat pula

Referensi

^ Apostol 1967, hlm. 74.
^ Anton, Bivens & Davis 2016, hlm. 259.
^ Apostol 1967, hlm. 69.
^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Riemann Sum". MathWorld.
^ Anton, Bivens & Davis 2016, hlm. 286−287.
^ Krantz 1991, hlm. 173.
^ Rudin 1987, hlm. 5.
^ Siegmund-Schultze 2008, hlm. 796.
^ Folland 1999, hlm. 57–58.
^ Bourbaki 2004, hlm. IV.43.
^ Lieb & Loss 2001, hlm. 14.
^ Folland 1999, hlm. 53.
^ Rudin 1987, hlm. 25.
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama :2
^ Heath, Thomas Little (1897). Karya Archimedes. Inggris: Cambridge University Publications.
^ Katz, V.J. 1995. "Ide Kalkulus dalam Islam dan India." Majalah Matematika (Asosiasi Matematika Amerika), 68(3):163–174.
^ Roero, C.S. (2005), "Gottfried Wilhelm Leibniz, tiga makalah pertama tentang kalkulus (1684, 1686, 1693)", Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 (dalam bahasa Inggris), Elsevier, hlm. 46–58, doi:10.1016/b978-044450871-3/50085-1, ISBN 978-0-444-50871-3
^ L'Hospital, Guillaume-François-Antoine de (1661-1704) Auteur du texte (1696). Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes (dalam bahasa Bahasa Inggris).

Bacaan lebih lanjut

Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-504-1. (Indonesia)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-567-X. (Indonesia)

Pranala luar

(Indonesia) Operator Integrasi Berulang^{[pranala nonaktif permanen]}

Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "lower-alpha", tapi tidak ditemukan tag <references group="lower-alpha"/> yang berkaitan

[:12-2] Apostol 1967, hlm. 74.

[3] Anton, Bivens & Davis 2016, hlm. 259.

[4] Apostol 1967, hlm. 69.

[5] (Inggris) Weisstein, Eric W. "Riemann Sum". MathWorld.

[6] Anton, Bivens & Davis 2016, hlm. 286−287.

[7] Krantz 1991, hlm. 173.

[8] Rudin 1987, hlm. 5.

[9] Siegmund-Schultze 2008, hlm. 796.

[10] Folland 1999, hlm. 57–58.

[11] Bourbaki 2004, hlm. IV.43.

[12] Lieb & Loss 2001, hlm. 14.

[13] Folland 1999, hlm. 53.

[:3-14] Rudin 1987, hlm. 25.

[:2-15] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama :2

[16] Heath, Thomas Little (1897). Karya Archimedes. Inggris: Cambridge University Publications.

[katz-17] Katz, V.J. 1995. "Ide Kalkulus dalam Islam dan India." Majalah Matematika (Asosiasi Matematika Amerika), 68(3):163–174.

[18] Roero, C.S. (2005), "Gottfried Wilhelm Leibniz, tiga makalah pertama tentang kalkulus (1684, 1686, 1693)", Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 (dalam bahasa Inggris), Elsevier, hlm. 46–58, doi:10.1016/b978-044450871-3/50085-1, ISBN 978-0-444-50871-3

[19] L'Hospital, Guillaume-François-Antoine de (1661-1704) Auteur du texte (1696). Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes (dalam bahasa Bahasa Inggris).

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]