Kelas grup

teoritis himpunan grup yang menggunakan sifat jika G dalam koleksi maka grup isomorfik ke G juga dalam koleksi

Kelas grup adalah teoritis himpunan grup yang menggunakan sifat jika G dalam koleksi maka grup isomorfik ke G juga dalam koleksi. Konsep dari grup yang menggunakan sifat khusus tertentu (misalnya keterbatasan atau komutatifitas). Karena teori himpunan tidak menggunakan "grup himpunan", maka dengan konsep yang lebih umum dari kelas.

Definisi

sunting

Kelas grup   adalah kumpulan grup sehingga jika   dan   maka  . Grup di kelas   disebut sebagai grup- .

Untuk himpunan grup  , dilambangkan dengan   kelas terkecil dari grup  . Khususnya untuk grup  ,   menunjukkan kelas isomorfismenya.

Contoh

sunting

Contoh paling umum dari kelas grup adalah:

  •  : kelas grup kosong
  •  : kelas grup siklik.
  •  : kelas grup Abelian.
  •  : kelas terbatas grup solvabel
  •  : kelas dari grup nilpoten
  •  : kelas dari hingga grup divisibel
  •  : kelas terbatas grup sederhana
  •  : kelas grup hingga
  •  : kelas berkas dari grup

Produk kelas grup

sunting

Dua kelas grup   dan   didefinisikan sebagai produk kelas

 

Konstruksi ini memungkinkan untuk secara rekursif mendefinisikan pangkat kelas dengan

  dan  

Harus dicatat bahwa operasi biner pada kelas kelas grup bukan asosiatif atau komutatif. Misalnya, pertimbangkan grup alternatif dari derajat 4 (dan urutan 12); grup ini milik kelas   karena memiliki sebagai subgrup   dengan   dan selanjutnya   adalah  . Namun   tidak memiliki subgrup siklik normal non-trivial, jadi  . Maka  .

Namun dari definisi untuk tiga kelas grup  ,  , dan  ,

 

Peta kelas dan operasi penutupan

sunting

Peta kelas c adalah peta kelas grup   ke kelas grup  . Peta kelas dikatakan sebagai operasi penutupan jika sifat berikutnya:

  1. c adalah ekspansif:  
  2. c adalah idempoten:  
  3. c adalah monotonik: jika   maka  

Beberapa contoh operasi penutupan yang paling umum adalah:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting