Dalam kalkulus vektor, matriks Jacobi atau matriks Jacobian adalah matriks berisi semua turunan parsial pertama dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Matriks ini dinamai dengan nama matematikawan Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Beberapa notasi untuk matriks ini adalah Df, Jf, , dan . Jika matriks ini berupa matriks persegi, yakni ketika fungsi memiliki banyak variabel yang sama dengan banyak komponen vektor yang dihasilkannya, determinan matriks ini disebut sebagai determinan Jacobi atau determinan Jacobian. Matriks dan determinan (jika ada) umumnya hanya disebut sebagai Jacobian di dalam literatur.[1]

Matriks Jacobi merepresentasikan diferensial dari fungsi f di setiap titik f terdiferensialkan. Jika fungsi terdiferensialkan di titik x, matriks ini dapat digunakan untuk menghasilkan fungsi linear terbaik yang menghampiri nilai fungsi di sekitar x. Fungsi linear ini disebut sebagai turunan atau turunan total dari f di x. Jika materiks Jacobi berbentuk persegi, determinannya memberikan informasi penting mengenai sifat lokal dari f. Determinan Jacobi juga muncul dalam proses perubahan variabel integral lipat.

Pada fungsi multivariabel bernilai real, yakni ketika , matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor baris . Vektor ini adalah transpos dari gradien f, sehingga . Pada kasus yang lebih khusus, yakni fungsi satu variabel bernilai real, f : RR, matriks Jacobi tereduksi menjadi turunan dari fungsi f.

Matriks Jacobi

sunting

Matriks Jacobi dari fungsi multivariabel bernilai vektor memperumum konsep gradien fungsi multivariabel bernilai real; yang selanjutnya merupakan perumuman dari konsep turunan fungsi satu variabel bernilai real. Misalkan   adalah fungsi yang semua turunan parsial pertamanya terdefinisi di  . Fungsi ini memetakan titik   di   dengan vektor   di  . Matriks Jacobi   dari fungsi   didefinisikan sebagai matriks berukuran   adalah matriks yang elemen ke-(i,j)-nya adalah  , atau secara eksplisit,

 

Simbol   menyatakan vektor baris hasil transpos dari gradien fungsi komponen ke- . Beberapa penulis mendefinisikan matriks Jacobi sebagai transpos dari bentuk yang disajikan di atas. Jika fungsi terdiferensialkan di suatu titik, diferensialnya dapat digunakan untuk menyusun matriks Jacobi. Tetapi fungsi tidak perlu terdiferensialkan supaya matriks Jacobinya terdefinisi, karena hanya turunan-turunan parsial pertama dari fungsi yang perlu terdefinisi.

Untuk setiap titik   dimana fungsi   terdiferensialkan, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai ukuran perubahan yang dilakukan fungsi di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, jika   digunakan untuk mentransformasi sebuah gambar secara mulus, matriks Jacobi   menjelaskan bagaimana gambar di lingkungan titik   berubah bentuk. Transformasi linear yang direpresentasikan oleh   adalah hampiran linear terbaik dari nilai fungsi   di sekitar  , dalam artian

 

dengan   adalah besaran yang menuju nol jauh lebih cepat daripada jarak antara   dan   ketika   bergerak menuju  . Hampiran ini tereduksi menjadi polinomial Taylor untuk fungsi satu variabel bernilai real, yakni

 .

Akibatnya, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai "turunan pertama" dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Pada kasus fungsi multivariabel bernilai skalar, matriks Jacobi dari gradien fungsi tersebut dikenal sebagai matriks Hesse; matriks ini dapat dianggap sebagai "turunan kedua" dari fungsi, sedangkan gradien dianggap sebagai "turunan pertama".

Komposisi dua fungsi yang terdiferensialkan, misalnya   dan  , memenuhi sifat aturan rantai. Dalam hal ini,   untuk titik   di  .

Determinan Jacobi

sunting

Fungsi   memiliki matriks Jacobi berupa matriks persegi, sehingga matriks tersebut juga memiliki determinan. Determinan ini disebut dengan determinan Jacobi, determinan Jacobian, atau Jacobian. Determinan Jacobi di suatu titik memberikan informasi penting mengenai perilaku fungsi   di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi terdiferensialkan secara mulus memiliki invers di sekitar titik  , jika determinan Jacobi di   tidak bernilai 0. Contoh itu adalah teorema invers fungsi. Lebih lanjut, jika determinan Jacobi di   bernilai positif, maka fungsi   akan mempertahankan orientasi di sekitar  . Sebaliknya jika determinan tersebut bernilai negatif, maka fungsi   membalikkan orientasi. Nilai mutlak dari determinan Jacobi di   memberikan besaran perubahan volume di sekitar   akibat pemetaan oleh  ; ini adalah alasan determinan Jacobi muncul dalam rumus subtitusi integral.

Determinan Jacobi digunakan dalam membuat variabel subtitusi ketika menghitung integral lipat fungsi atas suatu daerah di domain fungsi tersebut. Dalam penerapan ini, determinan Jacobi digunakan sebagai faktor pengali pada integral, yang mengoreksi perubahan koordinat akibat subtitusi variabel. Determinan Jacobi juga digunakan untuk menentukan kestabilan titik kesetimbangan pada sistem persamaan diferensial, dengan memberikan hampiran perilaku fungsi di sekitar titik kesetimbangan. Hal ini digunakan contohnya untuk menentukan kestabilan kesetimbangan tanpa-penyakit pada permodelan penyakit (disease modelling).[2]

Contoh

sunting

Contoh 1

sunting

Misalkan sebuah fungsi   yang memetakan   lewat persamaan

 

Fungsi-fungsi komponen dari   adalah   dan  , sehingga matriks Jacobi dari   adalah dan determinan Jacobi dari fungsi adalah 

Contoh 2

sunting

Contoh ini menunjukkan bahwa matriks Jacobi tidak perlu berupa matriks persegi. Matriks Jacobi dari fungsi   dengan komponen-komponen

 

adalah

 

Contoh 3

sunting

Berikut adalah penggunaan determinan Jacobi dalam perubahan koordinat polar-Kartesius pada integral lipat. Transformasi koordinat polar   ke koordinat Kartesius   dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi   dengan komponen Matriks Jacobi dari fungsi transformasi tersebut adalah

 

dan determinannya sama dengan  . Determinan ini digunakan sebagai faktor koreksi ketika mengubah sistem koordinat yang digunakan integral: 

Contoh 4

sunting

Contoh ini meninjau efek perubahan orientasi fungsi dan hubungannya dengan determinan Jacobi. Determinan Jacobi dari fungsi   dengan komponen-komponen

 

adalah

 

Dari determinan ini terlihat bahwa   membalikkan orientasi pada titik-titik dengan tanda   dan   yang sama. Fungsi juga dapat diinvers secara lokal, kecuali pada titik-titik dengan   atau  . Secara intuitif, jika   diterapkan pada suatu objek kecil berdimensi tiga di titik  , orientasi objek tersebut akan terbalik, dan volume objek tersebut akan mengembang kurang lebih   kali volume semula.

Referensi

sunting
  1. ^ W., Weisstein, Eric. "Jacobian". mathworld.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 3 November 2017. Diakses tanggal 2 May 2018. 
  2. ^ Smith? RJ (2015). "The Joys of the Jacobian". Chalkdust. 2: 10–17. 

Bacaan lebih lanjut

sunting

Pranala luar

sunting
  • Mathworld Penjelasan lebih teknis mengenai matriks dan determinan Jacobi