Pengguna:Klasüo/bak pasir/Arsip 45

Dalam aljabar, identitas Brahmagupta–Fibonacci menyatakan hasil kali dua jumlah dua kuadrat sebagai jumlah dua kuadrat dengan dua cara yang berbeda. Oleh karena itu, himpunan semua jumlah dua kuadrat adalah ketertutupan dibawah perkalian. Secara khusus, identitasnya menyatakan

${\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}$

Contoh:

$(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.$

Identitas ini dikenal juga sebagai identitas Diophantus, yang pertama kali dibuktikan oleh Diophantus dari Alexandria. Ini adalah kasus khusus dari identitas empat persegi Euler, dan juga identitas Lagrange.

Brahmagupta membuktikan dan menggunakan identitas yang lebih umum (identitas Brahmagupta), setara dengan

${\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}$

Ini menunjukkan bahwa untuk sembarang A, himpunan semua bilangan berbentuk x² + Ay² adalah ketertutupan dibawah perkalian.

Identitas ini berlaku untuk semua bilangan bulat, serta semua bilangan rasional; lebih umum, mereka benar dalam gelanggang komutatif manapun. Keempat bentuk identitas tersebut dapat diverifikasikan dengan perluasan pada setiap sisi persamaan. Juga, (2) dapat diperoleh dari (1), atau (1) dari (2), dengan mengubah b menjadi −b, dan juga dengan (3) dan (4).

Sejarah

Identitas pertama kali muncul di Diophantus' Arithmetica (III, 19), dari abad ketiga M. Dan ditemukan kembali oleh Brahmagupta (598–668), seorang matematikawan asal India dan astronom, yang menggeneralisasikannya ke identitas Brahmagupta, dan menggunakannya dalam studi tentang apa yang sekarang disebut persamaan Pell. Brahmasphutasiddhanta miliknya diterjemahkan dari Sansekerta ke Arab oleh Mohammad al-Fazari, dan kemudian diterjemahkan ke Latin pada tahun 1126. Identitas tersebut diperkenalkan di Eropa barat pada tahun 1225 oleh Fibonacci, dalam buku berjudul The Book of Squares, dan oleh karena itu, identitasnya sering dikaitkan dengannya.

Identitas terkait

Identitas analog adalah empat-pesergi Euler yang terkait dengan kuaternion, dan delapan-pesergi Degen berasal dari oktonion yang memiliki hubungan dengan periodisitas Bott. Ada juga identitas enam belas-persegi Pfister, meskipun bukan lagi bilinear.

Identitas ini sangat terkait dengan klasifikasi Hurwitz dari aljabar komposisi.

Perkalian bilangan kompleks

Jika a, b, c, dan d adalah bilangan real, identitas Brahmagupta–Fibonacci setara dengan sifat perkalian untuk nilai absolut bilangan kompleks:

$|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.$

Hal ini dapat dilihat sebagai berikut: memperluas sisi kanan dan mengkuadratkan kedua sisi, sifat perkalian setara dengan

$|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},$

dan menurut definisi nilai absolut, ini pada gilirannya setara dengan

$(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.$

Perhitungan ekuivalen jika variabel a, b, c, dan d adalah bilangan rasionals menunjukkan identitas yang bisa diartikan sebagai pernyataan bahwa norma dalam medan Q(i) adalah perkalian: norma diberikan oleh

$N(a+bi)=a^{2}+b^{2},$

dan perhitungan perkaliannya sama dengan perhitungan sebelumnya.

Aplikasi pada persamaan Pell

Dalam konteks aslinya, Brahmagupta mengaplikasikan penemuan identitas ini pada solusi persamaan Pell x² − Ay² = 1. Menggunakan identitas dalam bentuk yang lebih umum

$(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},$

dia mampu "mengurai" rangkap tiga (x₁, y₁, k₁) dan (x₂, y₂, k₂) itu adalah solusi dari x² − Ay² = k, untuk menghasilkan rangkap tiga baru

$(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).$

Ini tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk x² − Ay² = 1 dimulai dengan satu solusi, tetapi juga, dengan membagi komposisi tersebut dengan k₁k₂, solusi bilangan bulat atau "dekat bilangan bulat" sering kali dapat diperoleh. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh Bhaskara II pada 1150, yaitu metode chakravala (siklus) yang juga didasarkan pada identitas ini.

Menulis bilangan bulat sebagai jumlah dari dua kuadrat

Ketika digunakan bersama dengan salah satu dari teorema Fermat, identitas Brahmagupta–Fibonacci membuktikan bahwa hasil kali kuadrat dan bilangan prima apa pun dalam bentuk 4n + 1 adalah jumlah dari dua kuadrat.

Lihat pula

• Matriks Brahmagupta
• Matematika India
• Daftar matematikawan India
• Jumlah teorema dua kuadrat

Referensi

• Joseph, George G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (edisi ke-2nd), Princeton University Press, hlm. 306, ISBN 978-0-691-00659-8 
• Stillwell, John (2002), Mathematics and its history (edisi ke-2nd), Springer, hlm. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6 

Pranala luar

• Identitas Brahmagupta di PlanetMath
• Identitas Brahmagupta di MathWorld
• Sebuah Kumpulan Identitas Aljabar