Determinan

Dalam matematika khususnya aljabar linear, determinan (bahasa Inggris: determinant) adalah nilai skalar yang dihasilkan fungsi dari entri-entri suatu matriks persegi. Determinan dari matriks $A$ umumnya dinyatakan dengan notasi $det(A)$ , $det A$ , atau $| A |$ . Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks. Nilai determinan mencirikan beberapa sifat dari matriks tersebut, dan peta linear yang diwakili oleh matriks tersebut. Contohnya, determinan bernilai tidak nol jika dan hanya jika matriks tersebut tidak singular dan peta linear yang diwakilinya merupakan suatu isomorfisme. Determinan dari hasil perkalian matriks-matriks sama dengan hasil perkalian dari determinan matriks-matriks tersebut.

Determinan dari matriks $2 \times 2$ adalah

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc,

dan determinan dari matriks $3 \times 3$ adalah

{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.

Determinan dari matriks ukuran $n \times n$ dapat didefinisikan dalam beberapa cara yang berbeda. Cara paling umum adalah rumus Leibniz, yang menyatakan determinan sebagai jumlah dari $n!$ ( $n$ faktorial) perkalian bertanda dari entri-entri matriks. Cara ini selanjutnya dapat dihitung dengan ekspansi Laplace yang menyatakan determinan sebagai kombinasi linear dari determinan-determinan submatriks; atau dengan eliminasi Gauss yang menyatakan determinan sebagai hasil kali entri-entri diagonal dari matriks diagonal, yang diperoleh dengan serangkaian operasi baris elementer. Determinan juga dapat didefinisikan dari beberapa sifat mereka. Determinan adalah suatu fungsi unik yang didefinisikan pada matriks $n \times n$ dan memiliki empat sifat berikut: determinan dari matriks identitas bernilai $1$ ; pertukaran dua baris matriks akan mengalikan nilai determinan dengan $-1$ ; mengalikan sebuah baris dengan sebuah bilangan, akan mengalikan nilai determinan dengan bilangan tersebut; dan menambahkan kelipatan dari sebuah baris dengan baris lainnya tidak mengubah determinan.

Determinan umum muncul dalam matematika. Sebagai contoh, sebuah matriks sering digunakan untuk merepresentasikan koefisien-koefisien dalam sebuah sistem persamaan linear, dan determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut (aturan Cramer); meskipun ada metode penyelesaian lain yang jauh lebih efisien secara komputasi. Determinan digunakan untuk menentukan polinomial karakteristik dari sebuah matriks, yang akar-akarnya adalah nilai-nilai eigen matriks tersebut. Dalam geometri, volume bertanda dari jajar genjang $n$ -dimensi dapat dinyatakan dengan sebuah determinan, dan determinan dari (matriks) transformasi linear menentukan cara orientasi dan volume objek $n$ -dimensi berubah. Hal ini selanjutnya digunakan determinan Jacobi dalam kalkulus, khususnya untuk subtitusi variabel dalam integral lipat.

Matriks persegi dimensi 2

Determinan dari matriks ukuran $2 \times 2$ dengan entri-entri ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ , umumnya disimbolkan antara dengan " $det$ " atau dengan garis tegak diantara matriks. Nilai dari determinannya selanjutnya didefinisikan sebagai

\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.

Berikut adalah sebuah contoh perhitungan determinan,

\det {\begin{pmatrix}3&7\\1&-4\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}3&7\\1&{-4}\end{vmatrix}}=3\cdot (-4)-7\cdot 1=-19.

Determinan memiliki beberapa sifat penting yang dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi determinan untuk matriks $2\times 2$ . Sifat-sifat ini selanjutnya masih berlaku untuk determinan matriks yang berukuran lebih besar. Sifat-sifat itu adalah:^[1] pertama, determinan dari matriks identitas ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ bernilai $1$ . Kedua, determinan akan bernilai nol jika ada dua baris yang sama pada matriks; secara aljabar: ${\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}=ab-ba=0.$ Sifat ini juga berlaku ketika ada dua kolom yang sama. Lebih lanjut, mengubah semua entri pada sembarang kolom (atau baris) pada matriks akan menghasilkan hubungan: ${\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}=a(d+d')-(b+b')c={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}.$ Terakhir, jika sembarang kolom (atau baris) dikalikan dengan bilangan $r$ (artinya setiap entri pada kolom tersebut dikalikan dengan bilangan tersebut), nilai determinan matriks tersebut juga akan dikalikan dengan bilangan tersebut:

{\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.

Makna geometris

Luas jajar genjang adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor-vektor yang mewakili sisi-sisi jajar genjang tersebut.

Jika entri-entri matriks berupa bilangan real, matriks $A$ dapat digunakan untuk merepresentasikan dua peta linear: satu yang memetakan vektor basis standar ke baris-baris dari $A$ , dan satu lagi yang memetakannya ke kolom-kolom dari $A$ . Pada kedua kasus tersebut, bayangan dari vektor-vektor basis akan membentuk sebuah jajar genjang yang merepresentasikan bayangan persegi satuan akibat pemetaan tersebut. Menggunakan matriks $2 \times 2$ pada bagian sebelumnya, jajar genjang yang didefinisikan oleh baris-baris matriks memiliki titik-titik sudut di $(0, 0)$ , $(a, b)$ , $(a + c, b + d)$ , dan $(c, d)$ , seperti yang ditunjukkan pada diagram disamping.

Nilai absolut dari $ad - bc$ menyatakan luas dari jajar genjang, dan dengan demikian, mewakili faktor skala yang digunakan untuk mentransformasikan persegi satuan. (Jajar genjang yang dibentuk oleh kolom-kolom $A$ pada umumnya merupakan jajar genjang yang berbeda dengan yang dibentuk dari baris-baris $A$ , namun karena determinan bersifat simetris terhadap baris dan kolom, maka luasnya akan sama).

Nilai absolut dari determinan bersama dengan tandanya menjadi luas bertanda (oriented area) dari jajar genjang. Luas bertanda sama dengan luas yang biasa, kecuali luas akan bernilai negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang mendefinisikan jajar genjang, bergerak searah jarum jam (yang berlawanan arah, dengan arah yang didapat untuk matriks identitas).

Untuk menunjukkan bahwa $ad - bc$ adalah luas bertanda, kita dapat memisalkan sebuah matriks yang berisi dua vektor, $u \equiv (a, b)$ dan $v \equiv (c, d)$ , yang merepresentasikan sisi-sisi jajar genjang. Luas jajar genjang yang dibentuk dari kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai $| u | | v | sin θ$ , dengan θ adalah sudut diantara vektor-vektor tersebut. Karena sifat sinus, luas ini sudah merupakan luas bertanda. Kosinus dapat digunakan untuk lebih menunjukkan hubungan dengan perkalian vektor, yakni menggunakan sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya $u ⊥ = (- b, a)$ sehingga luas juga dapat ditulis sebagai $| u ⊥ | | v | cos θ'$ : ${\text{Luas bertanda }}=|{\boldsymbol {u}}|\,|{\boldsymbol {v}}|\,\sin \,\theta =\left|{\boldsymbol {u}}^{\perp }\right|\,\left|{\boldsymbol {v}}\right|\,\cos \,\theta '={\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}=ad-bc.$ Dengan demikian, determinan menyatakan faktor penskalaan dan arah (tanda, orientasi) yang dihasilkan, oleh pemetaan yang diwakili oleh $A$ . Ketika determinan bernilai $1$ , peta linear yang didefinisikan oleh matriks tersebut bersifat equi-areal dan orientation-preserving.

Volume balok jajar genjang ini adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh kolom-kolom yang dibangun dari vektor

r_{1},

r_{2},

dan

r_{3}.

Jika matriks real $A$ ukuran $n \times n$ ditulis dalam komponen vektor-vektor kolomnya, sehingga $A=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{array}}\right]$ , maka $A{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{1},\quad A{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{2},\quad \ldots ,\quad A{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{n}.$ Hal ini mengartikan $A$ memetakan kubus dimensi- $n$ menjadi balok jajar genjang dimensi- $n$ dengan sisi-sisi berupa vektor-vektor $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n},$ dengan domain $P=\left\{c_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {a} _{n}\mid 0\leq c_{i}\leq 1\ \forall i\right\}.$ Nilai determinan menyatakan volume dimensi- $n$ bertanda dari balok jajar genjang ini, dan secara lebih umum faktor penskalaan objek dimensi- $n$ akibat transformasi linear yang dihasilkan oleh $A$ .^[2] (Tanda dari nilai determinan menunjukkan apakah transformasi mengawetkan (preserve) orientasi atau tidak). Secara khusus, jika determinan bernilai nol, maka balok jajar genjang memiliki volume nol dan tidak berada di dimensi- $n$ sepenuhnya, yang selanjutnya mengartikan dimensi dari bayangan $A$ kurang dari $n$ . Hal ini (menggunakan teorema rank-nolitas) menunjukkan transformasi $A$ tidak bersifat surjektif maupun bijektif, sehingga tidak terbalikkan (invertibel).

Definisi

Misalkan $A$ adalah matriks persegi berdimensi- $n$ , yang dapat dituliskan sebagai berikut $A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{bmatrix}}.$ Elemen-elemen dari $A$ umumnya berupa bilangan real atau bilangan kompleks, namun determinan juga dapat didefinisikan untuk matriks dengan elemennya berasal dari gelanggang komutatif. Terdapat banyak cara berbeda namun setara untuk mendefinisikan determinan dari $A$ . Rumus Leibniz mendefinisikan rumus eksplisit yang menggunakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks. Beberapa cara lain menggunakan fungsi dari elemen-elemen matriks yang memenuhi sifat-sifat tertentu; pendekatan ini dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan dengan menyederhanakan matriks yang dikerjakan.

Rumus Leibniz

Rumus Leibniz, yang dinamakan demikian untuk menghormati Gottfried Leibniz, menyatakan determinan dari matriks persegi $A$ sebagai permutasi dari elemen-elemen matriks. Secara lebih formal, definisi ini didasarkan dari fakta (lebih tepatnya teorema) hanya ada satu fungsi multilinear alternating $F(A)$ terhadap kolom-kolom matriks, yang memenuhi $F(I)=1$ dengan $I$ adalah matriks identitas.^[3] Determinan selanjutnya dapat ditulis secara eksplisit sebagai $\det(A)=F(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}{\text{sgn}}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}{\text{sgn}}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)i}$ dengan ${\text{sgn}}$ adalah fungsi tanda (signum) dari permutasi dalam grup permutasi $S_{n}$ , yang menghasilkan nilai $+1$ dan $-1$ masing-masing untuk permutasi genap dan ganjil. Fungsi multilinear alternating dan sifat $F(I)=1$ dipilih agar fungsi determinan memenuhi sifat-sifat yang diharapkan dari determinan (lihat pembahasan pada bagian § Matriks persegi dimensi 2).

Rumus Leibniz untuk determinan dari matriks $3\times 3$ adalah ${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$ Dalam ekspresi tersebut, setiap suku memiliki satu faktor dari setiap baris dan kolom yang unik. Sebagai contoh, $bdi$ memiliki faktor $b$ dari elemen baris pertama kolom kedua, $d$ dari baris kedua kolom pertama, dan $i$ dari baris ketiga kolom ketiga. Tanda dari suku ditentukan dari banyaknya pertukaran faktor-faktor agar terurut menaik berdasarkan urutan kolomnya. Tanda positif untuk pertukaran berjumlah genap dan negatif untuk berjumlah genap. Sebagai contoh, suku $bdi$ memerlukan satu pertukaran agar menjadi $dbi$ , yang masing-masing faktornya sekarang terurut menaik: kolom pertama, kedua, dan ketiga. Karena pertukaran berjumlah ganjil, suku $bdi$ akan dikalikan $-1$ .

Bentuk visual dari aturan Sarrus untuk menghitung determinan matriks dimensi 3.

Aturan Sarrus dapat digunakan sebagai jembatan keledai untuk mengingat rumus eksplisit dari determinan ini: tulis salinan dari dua kolom pertama matriks di sisi kanan kolom ketiga. Determinan adalah jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-atas ke kanan-bawah, lalu dikurang dengan jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-bawah ke kanan-atas. Malangnya, aturan ini tidak dapat diterapkan untuk matriks dengan dimensi yang lebih besar.

Notasi lain yang umum digunakan untuk menuliskan rumus Leibniz adalah dengan menggunakan simbol Levi-Civita dengan penjumlahan Einstein. Simbol Levi-Civita $\varepsilon _{i_{1},\ldots ,i_{n}}$ terdefinisi pada rangkap- $n$ dari bilangan bulat $\{1,\,\ldots ,\,n\}$ .^[4]^[5] Simbol akan bernilai $0$ jika ada dua bilangan bulat yang sama, dan bernilai tanda dari permutasi dari rangkap-n untuk kasus-kasus lainnya. Rumus Leibniz dalam notasi ini adalah $\det(A)=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1,i_{1}}\!\cdots a_{n,i_{n}}.$

Ekspansi Laplace

Ekspansi Laplace, rumus Laplace, atau ekspansi baris/kolom, mendefinisikan determinan dari matriks $A$ ukuran $n\times n$ secara rekursif sebagai penjumlahan determinan matriks-matriks yang lebih kecil, yang disebut minor. Minor $M_{i,j}$ didefinisikan sebagai determinan matriks berukuran $(n-1)\times (n-1)$ yang dihasilkan dari menghapus baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ matriks $A$ . Untuk sembarang $i$ , akan berlaku hubungan $\det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}$

Ekspresi $(-1)^{i+j}M_{i,j}$ dikenal dengan sebutan kofaktor. Definisi determinan tersebut juga disebut sebagai "ekspansi Laplace baris ke- $i$ ". Sebagai contoh, ekspansi Laplace baris pertama ( $i=1$ ) dari matriks ukuran $3\times 3$ menghasilkan rumus ${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}$ Ekspansi Laplace dapat digunakan secara iteratif untuk menghitung determinan, namun cara ini tidak efisien untuk matriks berukuran besar. Walau demikian, ekspansi Laplace ini berguna untuk menghitung determinan dari matriks-matriks tertentu seperti matriks Vandermonde: ${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).$ Ekspansi Laplace juga dapat digunakan untuk membantu menemukan invers dari matriks. Matriks adjugat $\operatorname {adj} (A)$ didefinisikan sebagai transpos dari matriks-matriks kofaktor, secara matematis $(\operatorname {adj} (A))_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{ji}.$ Definisi ini memastikan perkalian matriks $A$ dengan adjugatnya akan menghasilkan menghasilkan matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya bernilai $\det(A)$ .^[6] Hubungan ini ditulis secara matematis sebagai $A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A=(\det A)I,$ dengan $I$ merupakan matriks identitas. Hubungan tersebut menunjukkan sifat penting dalam aljabar matriks, yakni $A$ memiliki invers jika dan hanya jika $\det(A)$ tidak bernilai $0$ . Ketika sifat ini berlaku, hubungan di atas dapat disusun (dengan mengalikan ruas tengah dan ruas kanan dengan $A^{-1}$ dari kanan) sehingga ${\begin{aligned}\operatorname {adj} (A)&=\det(A)A^{-1},\\A^{-1}&=\det(A)^{-1}\operatorname {adj} (A).\end{aligned}}$

Catatan

^ Lang 1985, §VII.1
^ "Determinants and Volumes". textbooks.math.gatech.edu. Diakses tanggal 16 March 2018.
^ Serge Lang, Linear Algebra , 2nd Edition, Addison-Wesley, 1971, pp 173, 191.
^ Harris 2014, §4.7
^ McConnell (1957). Applications of Tensor Analysis . Dover Publications. hlm. 10–17.
^ Horn & Johnson 2018, §0.8.2.

Referensi

Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273 .
Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-10-31
Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 Templat:Mr
Horn, R. A.; Johnson, C. R. (2013), Matrix Analysis (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall

[1] Lang 1985, §VII.1

[2] "Determinants and Volumes". textbooks.math.gatech.edu. Diakses tanggal 16 March 2018.

[3] Serge Lang, Linear Algebra , 2nd Edition, Addison-Wesley, 1971, pp 173, 191.

[4] Harris 2014, §4.7

[5] McConnell (1957). Applications of Tensor Analysis . Dover Publications. hlm. 10–17.

[6] Horn & Johnson 2018, §0.8.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]