Pengguna:Klasüo/bak pasir/khusus/1

Bilangan komposit yang disusun menjadi persegi panjang sedangkan bilangan prima tidak

Sebuah bilangan prima (atau prima) adalah bilangan besar dari 1 yang bukan bagian produk dari dua bilangan kecil. Bilangan besar dari 1 bukanlah prima yang disebut bilangan gabungan. Misalnya, 5 adalah prima karena satu-satunya cara untuk menulisnya sebagai produk, $1\times 5$ atau $5\times 1$, melibatkan 5 itu sendiri. Namun, 4 juga termasuk komposit karena merupakan produk ($2\times 2$) yang dimana kedua bilangan tersebut adalah kecil dari 4. Bilangan prima adalah pusat dalam teori bilangan karena termasuk dalam teorema dasar aritmetika: setiap bilangan besar dari 1 adalah bilangan prima itu sendiri atau melakukan faktorisasi sebagai perkalian bilangan prima unik hingga pada urutannya.

Sifat yang menjadikan sebuah prima disebut primalitas. Metode sederhana namun lambat untuk memeriksa primalitas dari bilangan tertentu yaitu $n$, disebut pembagian percobaan, menguji apakah $n$ adalah kelipatan dari sembarang bilangan bulat antara 2 dan ${\sqrt {n}}$. Algoritma yang mencakup uji primalitas Miller–Rabin, yang cepat tetapi memiliki peluang kesalahan yang kecil, dan uji primalitas AKS, yang selalu menghasilkan jawaban yang benar dalam waktu polinomial tetapi sangat lambat untuk praktis. Metode yang cepat tersedia untuk sejumlah bentuk khusus, seperti bilangan Mersenne. Hingga Desember 2018 Bilangan prima terbesar diketahui adalah bilangan prima Mersenne dengan 24.862.048 digit desimal.

Terdapat bilangan prima secara tak hingga, seperti yang ditunjukkan oleh Euklides sekitar 300 SM. Tidak ada rumus sederhana yang diketahui memisahkan bilangan prima dari bilangan komposit. Namun, distribusi bilangan prima dalam bilangan asli dalam jumlah besar dimodelkan secara statistik. Hasil pertama dari arah tersebut adalah teorema bilangan prima yang telah dibuktikan pada akhir abad ke-19, yang menyatakan bahwa probabilitas dari bilangan prima dipilih secara acak adalah proporsional berbanding balik dengan jumlah digitnya, yaitu logaritma.

Beberapa pertanyaan sejarah tentang bilangan prima masih belum terpecahkan. Hal ini termasuk dalam konjektur Goldbach, bahwa setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan prima, dan konjektur prima kembar, bahwa terdapat lebih pasangan bilangan prima yang memiliki satu bilangan genap diantara mereka. Pertanyaan-pertanyaan seperti itu mendorong pengembangan berbagai cabang teori bilangan, dengan fokus pada analitik atau aljabar aspek bilangan. Bilangan prima digunakan dalam beberapa rutinitas dalam teknologi informasi, seperti kriptografi kunci publik, yang bergantung pada kesulitan faktor bilangan besar menjadi faktor primanya. Dalam aljabar abstrak, objek yang berjalan secara umum seperti bilangan prima termasuk elemen prima dan ranah prima.

Definisi dan contoh-contohnya

Artikel utama: Daftar bilangan prima

Bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5, 6, dll.) disebut juga bilangan prima (atau prima) jika bilangan tersebut lebih besar dari 1 dan tidak ditulis sebagai produk dari dua bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan yang lebih besar dari 1 bukanlah prima yang disebut bilangan gabungan. Dengan kata lain, $n$ adalah prima jika $n$ yang tidak dapat dibagi menjadi kelompok-kelompok yang lebih kecil dengan ukuran yang sama dari satu item, atau jika tidak memungkinkan untuk menyusun $n$ pada titik menjadi kotak persegi panjang yang lebarnya lebih dari satu titik dan tingginya lebih dari satu titik. Misalnya, antara bilangan 1 sampai 6, bilangan 2, 3, dan 5 adalah bilangan prima, karena tidak ada bilangan lain yang membagi secara merata (tanpa sisa). 1 bukan prima, karena secara khusus dikecualikan dalam definisi. $4=2\times 2$ dan $6=2\times 3$ keduanya adalah komposit.

Demonstrasi, dengan batang Cuisenaire, bahwa 7 adalah prima, karena tidak ada 2, 3, 4, 5, atau 6 yang membaginya secara merata

Pembagi dari bilangan asli $n$ adalah bilangan asli yang membagi $n$ secara merata. Setiap bilangan asli memiliki 1 dan dirinya sendiri sebagai pembagi. Jika memiliki pembagi lain, maka itu tidak bisa sebagai prima. Ide ini mengarah ke definisi yang berbeda tetapi setara dari bilangan prima: mereka adalah bilangan dengan tepat dua pembagi positif, 1, dan bilangan itu sendiri. Cara lain untuk menyatakan hal yang sama adalah bahwa suatu bilangan $n$ adalah prima jika lebih besar dari satu dan jika tidak satupun dari bilangan $2,3,\dots ,n-1$ membagi $n$ secara merata.

25 bilangan prima pertama (semua bilangan prima kurang dari 100) adalah:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (barisan A000040 pada OEIS).

Tidak, bilangan genap $n$ yang lebih besar dari 2 adalah prima karena bilangan sembarang dapat dinyatakan sebagai hasil kali $2\times n/2$. Oleh karena itu, setiap bilangan prima selain 2 adalah bilangan ganjil, dan disebut sebagai prima ganjil. Demikian pula, ketika ditulis dalam sistem desimal biasa, semua bilangan prima yang lebih besar dari 5 diakhiri dengan 1, 3, 7, atau 9. Angka-angka yang diakhiri dengan digit lain semuanya komposit: bilangan desimal dengan hasil 0, 2, 4, 6, atau 8 adalah genap, dan bilangan desimal dengan hasil 0 atau 5 habis dibagi 5.

Himpunan dari semua bilangan prima terkadang dilambangkan dengan $\mathbf {P}$ (dengan huruf tebal kapital P) atau dengan $\mathbb {P}$ (dengan papan tulis tebal kapital P).

Sejarah

Papirus Matematika Rhind

Papirus Matematika Rhind dari sekitar tahun 1550 SM, memiliki pecahan Mesir ekspansi bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan komposit. Namun, catatan pertama kali yang bertahan studi eksplisit bilangan prima berasal dari matematika Yunani kuno. Elemen dari Euklides (300 SM) membuktikan bilangan prima tak-hingga dan teorema dasar aritmetika, dan menunjukkan cara membuat bilangan sempurna dari prima Mersenne. Penemuan Yunani lainnya yaitu tapis Eratosthenes masih digunakan untuk menyusun daftar bilangan prima.

Sekitar 1000 M, matematikawan Islam Ibn al-Haytham (Alhazen) menemukan teorema Wilson dengan mencirikan bilangan prima sebagai bilangan $n$ yang membagi rata $(n-1)!+1$. Ia juga menduga bahwa semua bilangan sempurna genap berasal dari konstruksi Euklides yang menggunakan bilangan prima Mersenne, tetapi tidak dapat membuktikannya. Matematikawan Islam lainnya, Ibn al-Banna' al-Marrakushi mengamati bahwa pitas Eratosthenes dapat dipercepat dengan menguji hanya pembagi hingga akar kuadrat dari bilangan terbesar yang akan diuji. Fibonacci membawa inovasi dari matematika Islam kembali ke Eropa. Liber Abaci (1202) dalam bukunya yang pertama mendeskripsikan pembagian percobaan untuk menguji primalitas, sekali lagi menggunakan pembagi hanya akar kuadrat hingga.

Pada tahun 1640 Pierre de Fermat menyatakan (tanpa pembuktian) teorema kecil Fermat, kemudian dibuktikan dengan Leibniz dan Euler). Fermat juga menyelidiki primalitas bilangan Fermat $2^{2^{n}}+1$, dan Marin Mersenne mempelajari prima Mersenne, bilangan prima dari bentuk $2^{p}-1$ dengan $p$ sendiri adalah bilangan prima. Christian Goldbach merumuskan konjektur Goldbach, bahwa setiap bilangan genap adalah jumlah dari dua bilangan prima, dalam surat tahun 1742 untuk Euler. Euler membuktikan konjektur Alhazen (yang saat ini teorema Euklides–Euler) bahwa semua bilangan sempurna genap dapat dibangun dari bilangan prima Mersenne. Ia memperkenalkan metode dari analisis matematis ke area ini dalam buktinya tentang ketakhinggaan bilangan prima dan divergensi jumlah kebalikan dari bilangan prima ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots$. Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss menduga bahwa sebagai $x$ cenderung tak-hingga, jumlah bilangan prima hingga $x$ adalah asimptotik hingga $x/\log x$, dimana $\log x$ adalah logaritma alami dari $x$. Konsekuensi lemah dari kerapatan bilangan prima tinggi adalah postulat Bertrand, bahwa untuk setiap $n>1$ terdapat bilangan prima diantara $n$ dan $2n$ yang dibuktikan pada tahun 1852 oleh Pafnuty Chebyshev. Gagasan Bernhard Riemann dalam karyanya 1859 makalah tentang fungsi-zeta membuat sketsa garis besar untuk membuktikan konjektur Legendre dan Gauss. Meskipun hipotesis Riemann yang terkait erat tetap tidak terbukti, garis besar Riemann diselesaikan pada tahun 1896 oleh Hadamard dan de la Vallée Poussin, dan hasilnya sekarang dikenal sebagai teorema bilangan prima. Hasil terpenting abad ke-19 lainnya adalah Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika, bahwa barisan aritmetika tertentu mengandung banyak bilangan prima ketakhinggaan.

Beberapa matematikawan telah melakukan uji primalitas untuk bilangan lebih besar dari bilangan penerapan uji pembagian. Metode batasan untuk bentuk bilangan tertentu termasuk uji Pépin untuk bilangan Fermat (1877), Proth's theorem (c. 1878), uji primalitas Lucas–Lehmer (dari tahun 1856), dan generalisasi uji primalitas Lucas.

Sejak tahun 1951, semua bilangan prima terbesar yang diketahui telah ditemukan menggunakan tes ini pada komputer. Pencarian bilangan prima besar telah membangkitkan minat pada luar lingkaran matematika, melalui Pencarian Utama Mersenne Internet Hebat dan proyek komputasi distribusi lainnya. Gagasan bahwa bilangan prima memiliki beberapa aplikasi diluar matematika murni, sekitar tahun 1970-an ketika kriptografi kunci publik dan RSA sistem kripto ditemukan dengan menggunakan bilangan prima sebagai basisnya.

Meningkatnya kepentingan praktis dari pengujian dan faktorisasi primalitas terkomputerisasi menyebabkan pengembangan metode menjadi lebih baik yang mampu menangani sejumlah besar bentuk ketakhinggaan. Teori matematika bilangan prima juga terus berkembang dengan teorema Green-Tao (2004) bahwa barisan aritmetika panjang yang cenderung dari bilangan prima, dan pembuktian pada tahun 2013 Yitang Zhang bahwa memiliki banyak uji celah prima ketakhinggaan.

Sifat dasar

Faktorisasi unik

Artikel utama: Teorema dasar aritmetika

Menulis bilangan sebagai produk bilangan prima disebut faktorisasi prima dari bilangan tersebut. Misalnya:

${\begin{aligned}34866&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149.\end{aligned}}$

istilah dalam produk tersebut disebut juga sebagai faktor prima. Faktor prima yang sama dapat muncul lebih dari sekali; contoh ini memiliki dua salinan faktor prima $3.$ Ketika bilangan prima muncul beberapa kali, eksponensial digunakan untuk pengelompokkan beberapa salinan dari bilangan prima yang sama: misalnya, dalam cara kedua penulisan produk atas, $3^{2}$ menunjukkan persegi atau pangkat kedua dari $3.$

Pentingnya pusat bilangan prima untuk teori bilangan dan matematika secara umum berasal dari teorema dasar aritmetika. Teorema ini menyatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 ditulis sebagai produk dari satu atau lebih bilangan prima. Secara sederhana, produk ini adalah unik dalam arti bahwa dua faktorisasi prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama, meskipun urutannya mungkin berbeda. Jadi, meskipun terdapat berbagai banyak cara yang berbeda untuk menemukan faktorisasi menggunakan algoritma faktorisasi bilangan bulat, semuanya adalah hasil yang sama. Dengan demikian bilangan prima menganggap sebagai "blok bangunan dasar" dari bilangan asli.

Beberapa bukti keunikan faktorisasi prima didasarkan pada lemma Euklides: Jika $p$ adalah bilangan prima dan $p$ membagi hasil kali $ab$ dari bilangan bulat $a$ dan $b,$ maka $p$ membagi $a$ atau $p$ membagi $b$ (atau keduanya). Sebaliknya, jika suatu bilangan $p$ memiliki sifat bahwa ketika membagi produk selalu membagi setidaknya satu faktor dari produk, maka $p$ adalah prima.

Jumlah tak hingga

Artikel utama: Teorema Euklides

Cara lain untuk mengatakan urutannya adalah

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

bilangan prima tak-akhir. Pernyataan ini disebut sebagai teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani kuno Euklides, sejak bukti pertama yang diketahui untuk pernyataan yang dikaitkan dengan dia. Banyak lagi bukti bilangan prima tak hingga yang diketahui, termasuk bukti analitis oleh Euler, bukti Goldbach berdasarkan bilangan Fermat, bukti menggunakan topologi umum Furstenberg, and Kummer's elegant proof.

Bukti Euclid menunjukkan bahwa setiap daftar hingga dari bilangan prima tak-lengkap. Ide kuncinya adalah mengalikan bilangan prima dalam daftar yang diberikan dan menambahkan $1.$ Jika daftar tersebut terdiri dari bilangan prima $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},$ maka diberikan bilangan

$N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.$

Berdasarkan teorema dasar, $N$ memiliki faktorisasi prima

$N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}$

dengan satu atau lebih dari faktor prima. Maka, $N$ habis dibagi nilai rata-rata oleh faktor ini, tetapi $N$ memiliki sisa satu ketika dibagi dengan salah satu bilangan prima dalam daftar yang diberikan, jadi tidak ada faktor prima $N$ yang ada pada daftar yang diberikan. Karena tidak ada daftar hingga dari semua bilangan prima, pasti ada banyak bilangan prima.

Bilangan yang dibentuk dengan menjumlahkan satu ke hasil kali bilangan prima terkecil disebut bilangan Euklides. Lima bagian pertama adalah bilangan prima, namun untuk bagian keenam

$1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,$

adalah bilangan komposit.

Rumus bilangan prima

Artikel utama: Rumus bilangan prima

Tidak ada rumus efisien yang diketahui untuk bilangan prima. Misalnya, tidak ada polinomial non-konstan, bahkan dalam beberapa variabel mengambil hanya bilangan prima. Namun, ada banyak ekspresi yang mengkodekan semua bilangan prima atau hanya bilangan prima. Satu rumus yang mungkin didasarkan pada teorema Wilson dan menghasilkan angka 2 berkali-kali dan semua bilangan prima lainnya tepat. Ada pula satu himpunan persamaan Diophantine dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter bilangan prima jika dan hanya jika sistem persamaan yang dihasilkan memiliki solusi atas bilangan asli. Hal ini digunakan untuk mendapatkan rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai "positif" adalah prima.

Contoh lain dari rumus pembangkit-prima berasal dari teorema Mills dan teorema Wright. Maka ini menegaskan bahwa terdapat konstanta real $A>1$ dan $\mu$ sedemikian rupa, sehingga

$\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ dan }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor$

adalah prima untuk sembarang bilangan asli $n$ dalam rumus pertama, dan sembarang bilangan eksponen dalam rumus kedua. Sehingga $\lfloor {}\cdot {}\rfloor$ mewakili fungsi lantai, bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan bilangan yang dimaksud. Namun, hal ini justru tidak berguna untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dibangkitkan terlebih dahulu untuk menghitung nilai $A$ atau $\mu .$

Pertanyaan terbuka

Informasi lebih lanjut: Kategori:Konjektur tentang bilangan prima

Banyak konjektur tentang bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki rumus dasar, banyak dari konjektur ini telah bertahan selama beberapa dekade: keempat masalah Landau dari tahun 1912 masih belum terpecahkan. Salah satunya adalah konjektur Goldbach yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap $n$ lebih besar dari 2 ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima. Hingga 2014, Konjektur ini telah diverifikasi untuk semua bilangan hingga $n=4\cdot 10^{18}.$ Pernyataan yang lebih lemah dari ini telah dibuktikan, misalnya teorema Vinogradov yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima. Teorema Chen menyatakan bahwa setiap bilangan genap besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari suatu bilangan prima dan semiprima (perkalian dari dua bilangan prima). Juga, bilangan bulat genap lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima. Cabang teori bilangan yang mempelajari pertanyaan semacam itu disebut teori bilangan aditif.

Jenis masalah lain menyangkut celah prima, perbedaan antara bilangan prima berurutan. Adanya celah prima besar secara sembarang dapat dilihat dengan memperhatikan bahwa barisan $n!+2,n!+3,\dots ,n!+n$ terdiri dari $n-1$ bilangan komposit, untuk sembarang bilangan asli $n.$ However, large prime gaps occur much earlier than this argument shows. Misalnya, celah prima pertama dengan panjang 8 adalah antara bilangan prima 89 dan 97, jauh lebih kecil dari $8!=40320.$ Diduga ada banyak sekali prima kembars, pasangan bilangan prima dengan selisih 2; ini adalah konjektur prima kembar. Konjektur Polignac menyatakan secara lebih umum bahwa untuk setiap bilangan bulat positif $k,$ ada tak hingga banyak pasangan bilangan prima berurutan yang berbeda $2k.$ Konjektur Andrica, Brocard's conjecture, Legendre's conjecture, and Oppermann's conjecture semua menyarankan bahwa jarak terbesar antara bilangan prima dari $1$ hingga $n$ paling banyak kira-kira ${\sqrt {n}},$ hasil yang diketahui mengikuti hipotesis Riemann, sedangkan konjektur Cramér lebih bertahan menetapkan ukuran celah terbesar pada $O((\log n)^{2}).$ Celah prima digeneralisasikan ke rangkap-$k$ prima, pola selisih antara lebih dari dua bilangan prima. Ketakhinggaan dan kepadatan mereka adalah subjek dari konjektur Hardy–Littlewood, yang dapat dimotivasi oleh heuristik bahwa bilangan prima berperilaku serupa dengan barisan bilangan acak dengan kerapatan yang diberikan oleh teorema bilangan prima.

Sifat analitik

Teori bilangan analitik mempelajari teori bilangan melalui lensa fungsi kontinu, limit, deret tak hingga, dan matematika terkait dari tak hingga dan infinitesimal.

Bidang studi ini dimulai dengan Leonhard Euler dan hasil besar pertamanya, solusi untuk masalah Basel. Soal menanyakan nilai jumlah tak hingga $1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,$ yang biasanya dikenali sebagai nilai $\zeta (2)$ dari fungsi Riemann zeta. Fungsi ini terkait erat dengan bilangan prima dan salah satu masalah paling signifikan yang belum terpecahkan dalam matematika, hipotesis Riemann. Euler menunjukkan bahwa $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$. Kebalikan dari bilangan $6/\pi ^{2}$ adalah peluang limit bahwa dua bilangan acak yang dipilih secara seragam dari rentang yang besar adalah relatif prima (tidak memiliki faktor).

Distribusi bilangan prima dalam besar, seperti pertanyaan berapa banyak bilangan prima lebih kecil dari ambang besar yang diberikan, dijelaskan oleh teorema bilangan prima, tetapi tidak ada rumus untuk bilangan prima ke-$n$ yang memiliki efisien yang diketahui. Teorema Dirichlet pada barisan aritmetika dalam bentuk dasarnya menyatakan bahwa polinomial linear

$p(n)=a+bn$

dengan bilangan bulat relatif prima $a$ dan $b$ mengambil banyak nilai prima tak-hingga. Bentuk teorema lebih bertahan menyatakan bahwa jumlah kebalikan dari nilai-nilai prima ini adalah pembagian, dan polinomial linear berbeda dengan $b$ yang sama memiliki proporsi bilangan prima yang kira-kira sama. Meskipun konjektur telah dirumuskan tentang proporsi bilangan prima dalam polinomial tingkat tinggi mereka tetap tidak terbukti, dan tidak diketahui apakah polinomial kuadrat (untuk argumen bilangan bulat) adalah bilangan prima tak-hingga.

Bukti analitik teorema Euklides

Bukti Euler bahwa ada banyak bilangan prima yang mempertimbangkan jumlah kebalikan dari bilangan prima

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.$

Euler menunjukkan bahwa untuk nilai sembarang bilangan real $x$, menunjukkan sebuah bilangan prima $p$ yang jumlahnya lebih besar dari $x$. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima karena ada banyak bilangan prima, jumlah tersebut akan mencapai nilai maksimumnya pada bilangan prima terbesar dari setiap melewati $x$. Tingkat pertumbuhan jumlah dapat dijelaskan lebih tepat oleh teorema kedua Mertens. Sebagai perbandingan, jumlah

${\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}$

tidak tumbuh secara ketakhinggaan apabila $n$ menjadi sebagai ketakhinggaan (lihat masalah Basel). Dalam pengertian ini, bilangan prima sering muncul dibandingkan bilangan kuadrat asli, meskipun kedua himpunan tersebut adalah ketakhinggaan. Teorema Brun menyatakan bahwa jumlah kebalikan dari prima kembar

$\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots$

merupakan berhingga, karena teorema Brun tidak mungkin menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan konjektur prima kembar, bahwa masih ada banyak bilangan prima kembar ketakhinggaan.

Jumlah bilangan prima bawah batas yang diberikan

Artikel utama: Teorema bilangan prima dan Fungsi pencacahan prima

Kesalahan relatif dari ${\tfrac {n}{\log n}}$ dan integral logaritmik $\operatorname {Li} (n)$ sebagai aproksimasi untuk fungsi pencacahan prima. Kedua kesalahan relatif berkurang menjadi nol ketika $n$ tumbuh, tetapi konvergensi ke nol jauh lebih cepat untuk integral logaritmik.

Fungsi pencacahan prima $\pi (n)$ didefinisikan sebagai jumlah bilangan prima tidak lebih besar dari $n$. Misalnya $\pi (11)=5$, karena ada lima bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 11. Metode yang seperti algoritma Meissel–Lehmer menghitung nilai eksak $\pi (n)$ lebih cepat dibandingkan untuk membuat daftar setiap bilangan prima hingga $n$. Teorema bilangan prima menyatakan bahwa $\pi (n)$ adalah asimtotik pada $n/\log n$ yang dinotasikan sebagai

$\pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},$

dan berarti rasio $\pi (n)$ terhadap pecahan kanan pendekatan 1 ketika $n$ bertambah secara ketakhinggaan. Hal ini disebutkan bahwa kemungkinan bahwa bilangan yang dipilih secara acak kurang dari $n$ adalah bilangan prima (kurang-lebih) berbanding kebalikan dengan jumlah digit dalam $n$. Hal tersebut juga menyebutkan bahwa bilangan prima ke-$n$ berbanding dengan $n\log n$ dan oleh karena itu ukuran rata-rata celah prima berbanding dengan $\log n$. Estimasi yang akurat untuk $\pi (n)$ diberikan oleh ofset logaritmik integral

$\pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.$

Barisan aritmetika

Artikel utama: Teorema Dirichlet tentang barisan aritmatika dan Teorema Green–Tao

Sebuah barisan aritmetika adalah barisan bilangan berhingga atau ketakhinggaan sehingga bilangan-bilangan berurutan dalam barisan tersebut semuanya memiliki selisih yang sama. Perbedaan ini disebut modulus dari barisan. Misalnya,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

yang adalah barisan aritmetika ketakhinggaan dengan modulus 9. Dalam barisan aritmetika, semua bilangan memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan modulus; contohnya, sisanya adalah 3. Karena modulus 9 dan sisanya 3 adalah kelipatan 3, demikian pula setiap elemen dalam barisan. Oleh karena itu, barisan ini hanya berisi satu bilangan prima, 3 itu sendiri. Secara umum, barisan ketakhinggaan-nya

$a,a+q,a+2q,a+3q,\dots$

memiliki lebih dari satu bilangan prima hanya bila sisa $a$ dan modulus $q$ relatif prima. Apabila mereka relatif prima, teorema Dirichlet tentang barisan aritmatika menyatakan bahwa barisan tersebut memiliki banyak bilangan prima.

Bilangan prima dalam barisan aritmetika modulo 9. Setiap baris pita horizontal tipis menunjukkan salah satu dari sembilan kemungkinan barisan mod 9 dengan bilangan prima ditandai dengan warna merah. Barisan bilangan 0, 3, atau 6 mod 9 mengandung paling banyak satu bilangan prima (bilangan 3); sisa barisan bilangan 2, 4, 5, 7, dan 8 mod 9 memiliki banyak bilangan prima, dengan bilangan prima yang sama pada setiap barisannya

Teorema Green–Tao menunjukkan bahwa ada barisan aritmetika berhingga yang panjangnya terdiri dari bilangan prima.

Nilai bilangan prima polinomial pada kuadrat

Spiral Ulam. Bilangan prima (merah) mengelompokkan pada beberapa diagonal dan tidak pada yang lain. Nilai bilangan prima dari $4n^{2}-2n+41$ ditampilkan dengan warna biru.

Euler mencatat bahwa fungsi

$n^{2}-n+41$

menghasilkan bilangan prima untuk $1\leq n\leq 40$, meskipun bilangan komposit muncul antara nilai-nilai selanjutnya. Pencarian penjelasan untuk fenomena ini mengarah pada teori bilangan aljabar yang mendalam dari bilangan Heegner dan masalah bilangan kelas. Konjektur F Hardy-Littlewood memprediksi kerapatan bilangan prima antara nilai-nilai polinomial kuadrat dengan bilangan bulat koefisien dalam hal integral logaritmik dan polinomial. Tidak ada polinomial kuadrat yang terbukti memiliki banyak nilai prima secara ketakhinggaan.

Spiral Ulam mengatur bilangan asli dalam kisi dua dimensi, berputar dalam kotak konsentris biasanya mengelilingi asal dengan bilangan prima yang disorot. Secara visual, bilangan prima tampak mengelompokkan pada diagonal tertentu dan bukan pada diagonal lainnya, hal itu menunjukkan bahwa beberapa polinomial kuadrat mengambil nilai prima lebih sering dibanding yang lainnya.

Fungsi Zeta dan hipotesis Riemann

Artikel utama: Hipotesis Riemann

Plot nilai absolut dari fungsi zeta, menunjukkan beberapa fiturnya

Salah satu pertanyaan tak terpecahkan paling terkenal dalam matematika berasal dari tahun 1859, dan salah satunya dari Masalah Hadiah Milenium adalah Hipotesis Riemann yang dimana nol dari fungsi Riemann zeta $\zeta (s)$ berada. Fungsi ini adalah fungsi analitik pada bilangan kompleks. Untuk bilangan kompleks $s$ dengan bagian real lebih besar dari satu sama dengan jumlah ketakhinggaan pada semua bilangan bulat dan darab ketakhinggaan atas bilangan prima

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prima}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.$

Kesetaraan antara jumlah dan darab ditemukan oleh Euler yang disebut juga darab Euler. Darab Euler dapat ditentukan dari teorema dasar aritmetika dan menunjukkan relasi erat antara fungsi zeta dan bilangan prima. Hal ini pula mengarah pada bukti lain bahwa banyak bilangan prima berhingga: jikalau memiliki banyak berhingga, maka persamaan jumlah-darb juga akan berlaku pada $s=1$, tetapi jumlahnya akan berbeda (deret harmonik $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots$) ketika darab berhingga kontradiksi.

Hipotesis Riemann menyebutkan bahwa fungsi-zeta nol dari semua adalah bilangan genap negatif atau bilangan kompleks dengan bagian real sama dengan 1/2. Bukti sebenarnya dari teorema bilangan prima pada dasarnya adalah bentuk lemah dari hipotesis, namun tidak ada nol dengan bagian real sama dengan 1, meskipun bukti lain yang lebih mendasar telah ditemukan. Fungsi hitung bilangan prima disebutkan dengan rumus eksplisit Riemann sebagai jumlah yang dimana setiap suku berasal dari salah satu nol dari fungsi zeta, suku utama dari jumlah ini adalah integral logaritma dan suku-suku tersebut lainnya menghasilkan jumlah berfluktuasi atas dan bawah suku utama. Dalam pengertian ini, nol mengontrol beberapa bilangan prima reguler distribusi. Apabila hipotesis Riemann tersebut benar, maka fluktuasi akan kecil dan distribusi asimtotik bilangan prima yang diberikan oleh teorema bilangan prima juga bertahan pada interval yang jauh lebih pendek (panjangnya sekitar akar kuadrat dari $x$ untuk interval yang dekat dengan bilangan $x$).

Abstract algebra

Aritmetika modular dan Medan berhingga

Artikel utama: Aritmetika modular

Aritmetika modular memodifikasi aritmetika biasa, hanya saja dengan menggunakan bilangan $\{0,1,2,\dots ,n-1\}$ untuk bilangan asli $n$ yang disebut modulus. Bilangan asli lainnya dapat dipetakan ke dalam sistem ini dengan menggantinya dengan sisa setelah pembagian dengan $n$. Jumlah, pembeda, dan darab modular dihitung dengan melakukan penggantian yang sama dengan sisa hasil penjumlahan, selisih, atau perkalian bilangan bulat biasa. Kesamaan bilangan bulat sesuai dengan kongruensi dalam aritmetika modular: $x$ dan $y$ adalah kongruen (ditulis $x\equiv y$ mod $n$) ketika mereka memiliki sisa yang sama setelah dibagi dengan $n$. Namun, dalam sistem bilangan ini, pembagian dengan semua bilangan bukan nol dimungkinkan jika dan hanya jika modulusnya adalah prima. Misalnya, dengan bilangan prima $7$ sebagai modulus, pembagian dengan $3$ adalah dimungkinkan: $2/3\equiv 3{\bmod {7}}$ karena kemungkinan menghapus penyebut dengan mengalikan kedua ruas dengan $3$ diberikan rumus yang valid $2\equiv 9{\bmod {7}}$. Namun, dengan modulus komposit $6$, pembagian dengan $3$ adalah hal mustahil. Tidak ada solusi yang valid untuk $2/3\equiv x{\bmod {6}}$: menghapus penyebut dengan mengalikan dengan $3$ menyebabkan ruas kiri menjadi $2$ sedangkan ruas kanan menjadi $0$ atau $3$. Dalam terminologi aljabar abstrak, kemampuan untuk melakukan pembagian berarti bahwa modulo aritmatika modular bilangan prima membentuk medan atau medan berhingga, sedangkan modulus lainnya hanya memberikan gelanggang tetapi bukan sebuah medan.

Beberapa teorema tentang bilangan prima dirumuskan menggunakan aritmetika modular. Misalnya, teorema kecil Fermat menyatakan bahwa jika $a\not \equiv 0$ (mod $p$), maka $a^{p-1}\equiv 1$ (mod $p$). Menjumlahkan dari semua pilihan $a$ diberikan persamaan

$\sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},$

valid jika $p$ adalah bilangan prima. Konjektur Giuga menyebutkan bahwa persamaan ini juga merupakan syarat yang cukup untuk $p$ menjadi prima. Teorema Wilson menyebutkan bahwa sebuah bilangan bulat $p>1$ adalah bilangan prima jika dan hanya jika faktorial $(p-1)!$ kongruen dengan $-1$ mod $p$. Untuk bilangan $\;n=r\cdot s\;$ ini tidak berlaku, karena salah satu faktornya membagi n dan $(n-1)!$, dan jadi $(n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}$ adalah hal mustahil.

Bilangan p-adik

Artikel utama: bilangan P-adik

Urutan $p$-adik $\nu _{p}(n)$ dari sebuah bilangan bulat $n$ adalah jumlah salinan dari $p$ dalam faktorisasi prima dari $n$. Konsep yang sama diperluas dari bilangan bulat ke bilangan rasional dengan mendefinisikan urutan $p$-adik dari pecahan $m/n$ menjadi $\nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)$. Nilai absolut $p$-adik $|q|_{p}$ dari sembarang bilangan rasional $q$ kemudian didefinisikan sebagai $|q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}$. Mengalikan bilangan bulat dengan nilai absolut $p$-adik-nya akan membatalkan faktor $p$ dalam faktorisasinya, dan hanya menyisakan bilangan prima lainnya. Sama seperti jarak antara dua bilangan real yang dapat diukur dengan nilai absolut jaraknya, jarak antara dua bilangan rasional dapat diukur dengan jarak $p$-adik-nya, nilai absolut $p$-adik dari selisihnya. Untuk definisi jarak ini, dua bilangan dikatakan berdekatan (memiliki jarak yang kecil) ketika selisihnya habis dibagi dengan pangkat $p$ yang tinggi. Dengan cara yang sama bahwa bilangan real dapat dibentuk dari bilangan rasional dan jaraknya, dengan menambahkan nilai pembatas ekstra untuk membentuk medan lengkap, bilangan rasional dengan jarak $p$-adik diperluas ke medan lengkap yang berbeda.

Urutan dari sebuah gambar, nilai absolut, dan medan lengkap yang diturunkan dari bilangan $p$-adik digeneralisasikan ke medan bilangan aljabar dan penilaian-penilaian tersebut (pemetaan tertentu dari Medan grup perkalian ke grup aditif terurut total disebut juga sebagai urutan), nilai absolut (pemetaan perkalian tertentu dari medan ke bilangan real disebut juga sebagai norma), dan tempat (ekstensi ke medan lengkap dimana medan yang diberikan adalah himpunan rapat disebut juga sebagai pelengkapan). Perluasan dari bilangan rasional ke bilangan real, misalnya adalah tempat dimana jarak antara bilangan adalah nilai absolut biasa dari perbedaannya. Pemetaan yang sesuai ke grup aditif akan menjadi logaritma dari nilai absolut, meskipun ini tidak memenuhi semua persyaratan penilaian. Menurut teorema Ostrowski, gagasan ekuivalen alami berhingga, bilangan real dan bilangan $p$-adik dengan urutan dan nilai absolutnya adalah satu-satunya penilaian, nilai absolut, dan tempat pada bilangan rasional. Prinsip lokal-global memungkinkan masalah tertentu atas bilangan rasional untuk diselesaikan dengan menyatukan solusi dari masing-masing tempat, sekali lagi menggarisbawahi pentingnya bilangan prima untuk teori bilangan.

Prime elements in rings

Artikel utama: Prime element dan Irreducible element

The Gaussian primes with norm less than 500

A commutative ring is an algebraic structure where addition, subtraction and multiplication are defined. The integers are a ring, and the prime numbers in the integers have been generalized to rings in two different ways, prime elements and irreducible elements. An element $p$ of a ring $R$ is called prime if it is nonzero, has no multiplicative inverse (that is, it is not a unit), and satisfies the following requirement: whenever $p$ divides the product $xy$ of two elements of $R$, it also divides at least one of $x$ or $y$. An element is irreducible if it is neither a unit nor the product of two other non-unit elements. In the ring of integers, the prime and irreducible elements form the same set,

$\{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.$

In an arbitrary ring, all prime elements are irreducible. The converse does not hold in general, but does hold for unique factorization domains.

The fundamental theorem of arithmetic continues to hold (by definition) in unique factorization domains. An example of such a domain is the Gaussian integers $\mathbb {Z} [i]$, the ring of complex numbers of the form $a+bi$ where $i$ denotes the imaginary unit and $a$ and $b$ are arbitrary integers. Its prime elements are known as Gaussian primes. Not every number that is prime among the integers remains prime in the Gaussian integers; for instance, the number 2 can be written as a product of the two Gaussian primes $1+i$ and $1-i$. Rational primes (the prime elements in the integers) congruent to 3 mod 4 are Gaussian primes, but rational primes congruent to 1 mod 4 are not. This is a consequence of Fermat's theorem on sums of two squares, which states that an odd prime $p$ is expressible as the sum of two squares, $p=x^{2}+y^{2}$, and therefore factorizable as $p=(x+iy)(x-iy)$, exactly when $p$ is 1 mod 4.

Ideal prima

Artikel utama: Ideal prima

Tidak semua gelanggang merupakan ranah faktorisasi unik. Misalnya, dalam bilangan gelanggang $a+b{\sqrt {-5}}$ (untuk bilangan bulat $a$ dan $b$) angka $21$ memiliki dua faktorisasi $21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})$, tidak satu pun dari keempat faktor tersebut bisa direduksi lebih jauh, sehingga tidak memiliki faktorisasi unik. Untuk memperluas faktorisasi unik pada kelas gelanggang terbesar, gagasan tentang bilangan bisa diganti dengan ideal, sebuah himpunan bagian dari elemen gelanggang yang memuat semua jumlah pasangan elemennya, dan semua hasil kali elemennya dengan elemen gelanggang. Ideal prima yang dimana generalisasi elemen prima dalam arti bahwa ideal utama yang dihasilkan oleh elemen prima adalah ideal prima adalah alat dan objek studi penting dalam aljabar komutatif, teori bilangan aljabar dan geometri aljabar. Ideal prima dari gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Teorema dasar aritmetika digeneralisasikan ke teorema Lasker–Noether disebutkan setiap ideal dalam gelanggang komutatif Noetherian sebagai perpotongan ideal prima yang merupakan generalisasi yang tepat dari prima kuasa.

Spektrum gelanggang adalah ruang geometris yang titik-titiknya merupakan ideal prima dari gelanggang tersebut. Geometri aritmetika juga mendapat manfaat dari gagasan ini, dan banyak konsep yang ada, baik dalam geometri maupun teori bilangan. Misalnya, faktorisasi atau percabangan dari ideal prima ketika diangkat sebagai medan perluasan, masalah dasar teori bilangan aljabar memiliki beberapa kemiripan dengan percabangan dalam geometri. Konsep-konsep ini bahkan dapat membantu dalam pertanyaan teori bilangan yang hanya berkaitan dengan bilangan bulat. Misalnya, ideal prima dalam gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan kuadrat dapat digunakan untuk penggunaan ketimbalbalikan kuadrat, pernyataan yang menyangkut keberadaan akar kuadrat modulo bilangan prima bilangan bulat. Upaya awal untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat menyebabkan pengenalan Kummer dari prima regular, bilangan prima bilangan bulat terhubung dengan kegagalan faktorisasi unik pada bilangan bulat siklotomi. Pertanyaan tentang berapa banyak bilangan prima bilangan bulat faktor menjadi darab dari beberapa ideal prima dalam medan bilangan aljabar ditangani oleh teorema kerapatan Chebotarev, yang (bila diterapkan pada bilangan bulat siklotomi) mana memiliki teorema Dirichlet pada bilangan prima dalam deret aritmatika sebagai kasus khusus.

Group theory

In the theory of finite groups the Sylow theorems imply that, if a power of a prime number $p^{n}$ divides the order of a group, then the group has a subgroup of order $p^{n}$. By Lagrange's theorem, any group of prime order is a cyclic group, and by Burnside's theorem any group whose order is divisible by only two primes is solvable.

Computational methods

The small gear in this piece of farm equipment has 13 teeth, a prime number, and the middle gear has 21, relatively prime to 13

For a long time, number theory in general, and the study of prime numbers in particular, was seen as the canonical example of pure mathematics, with no applications outside of mathematics other than the use of prime numbered gear teeth to distribute wear evenly. In particular, number theorists such as British mathematician G. H. Hardy prided themselves on doing work that had absolutely no military significance.

This vision of the purity of number theory was shattered in the 1970s, when it was publicly announced that prime numbers could be used as the basis for the creation of public-key cryptography algorithms. These applications have led to significant study of algorithms for computing with prime numbers, and in particular of primality testing, methods for determining whether a given number is prime. The most basic primality testing routine, trial division, is too slow to be useful for large numbers. One group of modern primality tests is applicable to arbitrary numbers, while more efficient tests are available for numbers of special types. Most primality tests only tell whether their argument is prime or not. Routines that also provide a prime factor of composite arguments (or all of its prime factors) are called factorization algorithms. Prime numbers are also used in computing for checksums, hash tables, and pseudorandom number generators.

Trial division

Artikel utama: Trial division

The most basic method of checking the primality of a given integer $n$ is called trial division. This method divides $n$ by each integer from 2 up to the square root of $n$. Any such integer dividing $n$ evenly establishes $n$ as composite; otherwise it is prime. Integers larger than the square root do not need to be checked because, whenever $n=a\cdot b$, one of the two factors $a$ and $b$ is less than or equal to the square root of $n$. Another optimization is to check only primes as factors in this range. For instance, to check whether 37 is prime, this method divides it by the primes in the range from 2 to ${\sqrt {37}}$, which are 2, 3, and 5. Each division produces a nonzero remainder, so 37 is indeed prime.

Although this method is simple to describe, it is impractical for testing the primality of large integers, because the number of tests that it performs grows exponentially as a function of the number of digits of these integers. However, trial division is still used, with a smaller limit than the square root on the divisor size, to quickly discover composite numbers with small factors, before using more complicated methods on the numbers that pass this filter.

Sieves

The sieve of Eratosthenes starts with all numbers unmarked (gray). It repeatedly finds the first unmarked number, marks it as prime (dark colors) and marks its square and all later multiples as composite (lighter colors). After marking the multiples of 2 (red), 3 (green), 5 (blue), and 7 (yellow), all primes up to the square root of the table size have been processed, and all remaining unmarked numbers (11, 13, etc.) are marked as primes (magenta).

Artikel utama: Sieve of Eratosthenes

Before computers, mathematical tables listing all of the primes or prime factorizations up to a given limit were commonly printed. The oldest method for generating a list of primes is called the sieve of Eratosthenes. The animation shows an optimized variant of this method. Another more asymptotically efficient sieving method for the same problem is the sieve of Atkin. In advanced mathematics, sieve theory applies similar methods to other problems.

Primality testing versus primality proving

Some of the fastest modern tests for whether an arbitrary given number $n$ is prime are probabilistic (or Monte Carlo) algorithms, meaning that they have a small random chance of producing an incorrect answer. For instance the Solovay–Strassen primality test on a given number $p$ chooses a number $a$ randomly from $2$ through $p-2$ and uses modular exponentiation to check whether $a^{(p-1)/2}\pm 1$ is divisible by $p$. If so, it answers yes and otherwise it answers no. If $p$ really is prime, it will always answer yes, but if $p$ is composite then it answers yes with probability at most 1/2 and no with probability at least 1/2. If this test is repeated $n$ times on the same number, the probability that a composite number could pass the test every time is at most $1/2^{n}$. Because this decreases exponentially with the number of tests, it provides high confidence (although not certainty) that a number that passes the repeated test is prime. On the other hand, if the test ever fails, then the number is certainly composite. A composite number that passes such a test is called a pseudoprime.

In contrast, some other algorithms guarantee that their answer will always be correct: primes will always be determined to be prime and composites will always be determined to be composite. For instance, this is true of trial division. The algorithms with guaranteed-correct output include both deterministic (non-random) algorithms, such as the AKS primality test, and randomized Las Vegas algorithms where the random choices made by the algorithm do not affect its final answer, such as some variations of elliptic curve primality proving. When the elliptic curve method concludes that a number is prime, it provides primality certificate that can be verified quickly. The elliptic curve primality test is the fastest in practice of the guaranteed-correct primality tests, but its runtime analysis is based on heuristic arguments rather than rigorous proofs. The AKS primality test has mathematically proven time complexity, but is slower than elliptic curve primality proving in practice. These methods can be used to generate large random prime numbers, by generating and testing random numbers until finding one that is prime; when doing this, a faster probabilistic test can quickly eliminate most composite numbers before a guaranteed-correct algorithm is used to verify that the remaining numbers are prime.

The following table lists some of these tests. Their running time is given in terms of $n$, the number to be tested and, for probabilistic algorithms, the number $k$ of tests performed. Moreover, $\varepsilon$ is an arbitrarily small positive number, and log is the logarithm to an unspecified base. The big O notation means that each time bound should be multiplied by a constant factor to convert it from dimensionless units to units of time; this factor depends on implementation details such as the type of computer used to run the algorithm, but not on the input parameters $n$ and $k$.

Test	Developed in	Type	Running time	Notes	References
AKS primality test	2002	deterministic	$O((\log n)^{6+\varepsilon })$
Elliptic curve primality proving	1986	Las Vegas	$O((\log n)^{4+\varepsilon })$ heuristically
Baillie–PSW primality test	1980	Monte Carlo	$O((\log n)^{2+\varepsilon })$
Miller–Rabin primality test	1980	Monte Carlo	$O(k(\log n)^{2+\varepsilon })$	error probability $4^{-k}$
Solovay–Strassen primality test	1977	Monte Carlo	$O(k(\log n)^{2+\varepsilon })$	error probability $2^{-k}$

Special-purpose algorithms and the largest known prime

Informasi lebih lanjut: List of prime numbers

In addition to the aforementioned tests that apply to any natural number, some numbers of a special form can be tested for primality more quickly. For example, the Lucas–Lehmer primality test can determine whether a Mersenne number (one less than a power of two) is prime, deterministically, in the same time as a single iteration of the Miller–Rabin test. This is why since 1992 (hingga Desember 2018) the largest known prime has always been a Mersenne prime. It is conjectured that there are infinitely many Mersenne primes.

The following table gives the largest known primes of various types. Some of these primes have been found using distributed computing. In 2009, the Great Internet Mersenne Prime Search project was awarded a US$100,000 prize for first discovering a prime with at least 10 million digits. The Electronic Frontier Foundation also offers $150,000 and $250,000 for primes with at least 100 million digits and 1 billion digits, respectively.

Type	Prime	Number of decimal digits	Date	Found by
Mersenne prime	282,589,933 − 1	24,862,048	December 7, 2018	Patrick Laroche, Great Internet Mersenne Prime Search
Proth prime	10,223 × 231,172,165 + 1	9,383,761	October 31, 2016	Péter Szabolcs, PrimeGrid
factorial prime	208,003! − 1	1,015,843	July 2016	Sou Fukui
primorial prime	1,098,133# − 1	476,311	March 2012	James P. Burt, PrimeGrid
twin primes	2,996,863,034,895  × 21,290,000 ± 1	388,342	September 2016	Tom Greer, PrimeGrid

Integer factorization

Artikel utama: Integer factorization

Given a composite integer $n$, the task of providing one (or all) prime factors is referred to as factorization of $n$. It is significantly more difficult than primality testing, and although many factorization algorithms are known, they are slower than the fastest primality testing methods. Trial division and Pollard's rho algorithm can be used to find very small factors of $n$, and elliptic curve factorization can be effective when $n$ has factors of moderate size. Methods suitable for arbitrary large numbers that do not depend on the size of its factors include the quadratic sieve and general number field sieve. As with primality testing, there are also factorization algorithms that require their input to have a special form, including the special number field sieve. Hingga Desember 2019 the largest number known to have been factored by a general-purpose algorithm is RSA-240, which has 240 decimal digits (795 bits) and is the product of two large primes.

Shor's algorithm can factor any integer in a polynomial number of steps on a quantum computer. However, current technology can only run this algorithm for very small numbers. Hingga Oktober 2012 the largest number that has been factored by a quantum computer running Shor's algorithm is 21.

Other computational applications

Several public-key cryptography algorithms, such as RSA and the Diffie–Hellman key exchange, are based on large prime numbers (2048-bit primes are common). RSA relies on the assumption that it is much easier (that is, more efficient) to perform the multiplication of two (large) numbers $x$ and $y$ than to calculate $x$ and $y$ (assumed coprime) if only the product $xy$ is known. The Diffie–Hellman key exchange relies on the fact that there are efficient algorithms for modular exponentiation (computing $a^{b}{\bmod {c}}$), while the reverse operation (the discrete logarithm) is thought to be a hard problem.

Prime numbers are frequently used for hash tables. For instance the original method of Carter and Wegman for universal hashing was based on computing hash functions by choosing random linear functions modulo large prime numbers. Carter and Wegman generalized this method to $k$-independent hashing by using higher-degree polynomials, again modulo large primes. As well as in the hash function, prime numbers are used for the hash table size in quadratic probing based hash tables to ensure that the probe sequence covers the whole table.

Some checksum methods are based on the mathematics of prime numbers. For instance the checksums used in International Standard Book Numbers are defined by taking the rest of the number modulo 11, a prime number. Because 11 is prime this method can detect both single-digit errors and transpositions of adjacent digits. Another checksum method, Adler-32, uses arithmetic modulo 65521, the largest prime number less than $2^{16}$. Prime numbers are also used in pseudorandom number generators including linear congruential generators and the Mersenne Twister.

Other applications

Prime numbers are of central importance to number theory but also have many applications to other areas within mathematics, including abstract algebra and elementary geometry. For example, it is possible to place prime numbers of points in a two-dimensional grid so that no three are in a line, or so that every triangle formed by three of the points has large area. Another example is Eisenstein's criterion, a test for whether a polynomial is irreducible based on divisibility of its coefficients by a prime number and its square.

The connected sum of two prime knots

The concept of a prime number is so important that it has been generalized in different ways in various branches of mathematics. Generally, "prime" indicates minimality or indecomposability, in an appropriate sense. For example, the prime field of a given field is its smallest subfield that contains both 0 and 1. It is either the field of rational numbers or a finite field with a prime number of elements, whence the name. Often a second, additional meaning is intended by using the word prime, namely that any object can be, essentially uniquely, decomposed into its prime components. For example, in knot theory, a prime knot is a knot that is indecomposable in the sense that it cannot be written as the connected sum of two nontrivial knots. Any knot can be uniquely expressed as a connected sum of prime knots. The prime decomposition of 3-manifolds is another example of this type.

Beyond mathematics and computing, prime numbers have potential connections to quantum mechanics, and have been used metaphorically in the arts and literature. They have also been used in evolutionary biology to explain the life cycles of cicadas.

Constructible polygons and polygon partitions

Construction of a regular pentagon using straightedge and compass. This is only possible because 5 is a Fermat prime.

Fermat primes are primes of the form

$F_{k}=2^{2^{k}}+1,$

with $k$ a nonnegative integer. They are named after Pierre de Fermat, who conjectured that all such numbers are prime. The first five of these numbers – 3, 5, 17, 257, and 65,537 – are prime, but $F_{5}$ is composite and so are all other Fermat numbers that have been verified as of 2017. A regular $n$-gon is constructible using straightedge and compass if and only if the odd prime factors of $n$ (if any) are distinct Fermat primes. Likewise, a regular $n$-gon may be constructed using straightedge, compass, and an angle trisector if and only if the prime factors of $n$ are any number of copies of 2 or 3 together with a (possibly empty) set of distinct Pierpont primes, primes of the form $2^{a}3^{b}+1$.

It is possible to partition any convex polygon into $n$ smaller convex polygons of equal area and equal perimeter, when $n$ is a power of a prime number, but this is not known for other values of $n$.

Quantum mechanics

Beginning with the work of Hugh Montgomery and Freeman Dyson in the 1970s, mathematicians and physicists have speculated that the zeros of the Riemann zeta function are connected to the energy levels of quantum systems. Prime numbers are also significant in quantum information science, thanks to mathematical structures such as mutually unbiased bases and symmetric informationally complete positive-operator-valued measures.

Biology

The evolutionary strategy used by cicadas of the genus Magicicada makes use of prime numbers. These insects spend most of their lives as grubs underground. They only pupate and then emerge from their burrows after 7, 13 or 17 years, at which point they fly about, breed, and then die after a few weeks at most. Biologists theorize that these prime-numbered breeding cycle lengths have evolved in order to prevent predators from synchronizing with these cycles. In contrast, the multi-year periods between flowering in bamboo plants are hypothesized to be smooth numbers, having only small prime numbers in their factorizations.

Arts and literature

Prime numbers have influenced many artists and writers. The French composer Olivier Messiaen used prime numbers to create ametrical music through "natural phenomena". In works such as La Nativité du Seigneur (1935) and Quatre études de rythme (1949–50), he simultaneously employs motifs with lengths given by different prime numbers to create unpredictable rhythms: the primes 41, 43, 47 and 53 appear in the third étude, "Neumes rythmiques". According to Messiaen this way of composing was "inspired by the movements of nature, movements of free and unequal durations".

In his science fiction novel Contact, scientist Carl Sagan suggested that prime factorization could be used as a means of establishing two-dimensional image planes in communications with aliens, an idea that he had first developed informally with American astronomer Frank Drake in 1975. In the novel The Curious Incident of the Dog in the Night-Time by Mark Haddon, the narrator arranges the sections of the story by consecutive prime numbers as a way to convey the mental state of its main character, a mathematically gifted teen with Asperger syndrome. Prime numbers are used as a metaphor for loneliness and isolation in the Paolo Giordano novel The Solitude of Prime Numbers, in which they are portrayed as "outsiders" among integers.

External links

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Prime number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Caldwell, Chris, The Prime Pages at primes.utm.edu.
• Prime Numbers di In Our Time di BBC.
• Plus teacher and student package: prime numbers from Plus, the free online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge.

Generators and calculators

• Prime factors calculator can factorize any positive integer up to 20 digits.
• Fast Online primality test with factorization makes use of the Elliptic Curve Method (up to thousand-digits numbers, requires Java).
• Huge database of prime numbers
• Prime Numbers up to 1 trillion