Grup Abelian

Dalam matematika, grup Abelian, juga disebut grup komutatif, adalah grup dimana hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya. Artinya, operasi grup adalah komutatif. Dengan tambahan sebagai operasi, bilangan bulat dan bilangan riil membentuk grup abelian, dan konsep grup abelian dapat dilihat sebagai generalisasi dari contoh ini. Grup Abelian dinamai matentikawan awal abad ke-19 Niels Henrik Abel.^[1]

Konsep grup abelian mendasari struktur aljabar fundamental, seperti bidang, gelanggang, ruang vektor, dan aljabar. Teori grup abelian umumnya lebih sederhana dari teori rekan non-abelian, dan grup abelian hingga sangat dipahami dan diklasifikasikan.

Definisi

Struktur grup
	Totalitas^α	Asosiatif	Identitas	Invers	Komutativitas
Semigrupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kuasigrup	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma Unital	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Loop	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup invers	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan
Grup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grup Abelian	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Grup abelian adalah himpunan $A$ dengan operasi $\cdot$ yang menggabungkan dua elemen $a$ dan $b$ dari $A$ untuk membentuk elemen lain dari $A$ dilambangkan $a\cdot b$ . Simbol $\cdot$ adalah placeholder umum untuk operasi diberikan secara konkret. Untuk memenuhi syarat sebagai grup abelian, himpunan dan operasi $(A,\cdot )$ harus memenuhi lima persyaratan yang dikenal sebagai aksioma grup abelian:

Penutupan: Untuk $a$ , $b$ dengan $A$ , hasil operasi $a\cdot b$ dengan $A$ .
Asosiatif: Untuk $a$ , $b$ , dan $c$ dalam $A$ , persamaan $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
Elemen identitas: Elemen $e$ dalam $A$ , maka untuk semua elemen $a$ dengan $A$ adalah persamaan $e\cdot a=a\cdot e=a$ .
Elemen invers: Untuk $a$ dengan $A$ , elemen $b$ dalam $A$ maka $a\cdot b=b\cdot a=e$ , dimana $e$ adalah elemen identitas.
Komutatif: Untuk $a$ , $b$ dengan $A$ , $a\cdot b=b\cdot a$ .

Grup operasi merupakan grup tersebut tidak komutatif disebut "grup non-abelian" atau "grup non-komutatif".

Fakta

Notasi

Ada dua ketentuan notasi utama untuk grup abelian pada aditif dan perkalian.

Konvensi	Operasi	Identitas	Pangkat	Invers
Penambahan	$x+y$	0	$nx$	$-x$
Perkalian	$x\cdot y$ atau $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

Umumnya, notasi perkalian adalah notasi umum untuk grup, sedangkan notasi penjumlahan adalah notasi umum untuk modul dan gelanggang. Notasi aditif digunakan untuk menekankan bahwa grup tertentu adalah abelian, setiap kali grup abelian dan non-abelian beberapa pengecualian penting adalah dekat gelanggang dan grup terurut sebagian, dimana operasi ditulis secara aditif bahkan ketika non-abelian.

Tabel perkalian

Untuk memverifikasi bahwa grup hingga adalah abelian dengan tabel (matriks) yang dikenal sebagai tabel Cayley. Dengan cara menggunakan tabel perkalian. Jika grup $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ di bawah operasi $\cdot$ , ke $(i,j)$ entri tabel ini menggunakan produk $g_{i}\cdot g_{j}$ .

Grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika tabel tersebut simetris dengan diagonal utama. Karena grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ untuk $i,j=1,...,n$ , jika di luar $(i,j)$ entri tabel sama dengan $(j,i)$ entri untuk $i,j=1,...,n$ , yaitu tabel simetris dengan diagonal utama.

Contoh

Untuk bilangan bulat dan operasi penambahan $+$ dilambangkan $(\mathbb {Z} ,+)$ , operasi + menggabungkan dua bilangan bulat untuk membentuk bilangan bulat ketiga, penambahan bersifat asosiatif, sedangkan nol adalah identitas aditif, setiap bilangan bulat $n$ dengan menggunakan aditif invers, $-n$ dan operasi penambahan bersifat komutatif karena $n+m=m+n$ untuk dua bilangan bulat $m$ dan $n$ .
Setiap grup siklik $G$ adalah abelian, karena jika , $y$ dengan $G$ , maka $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ . Maka bilangan bulat, $\mathbb {Z}$ , membentuk grup abelian dengan penambahan, sebagai contoh bilangan bulat modulo $n$ dan $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ .
Setiap gelanggang adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan. Dalam gelanggang komutatif elemen invers atau unit membentuk abelian grup perkalian. Secara khusus, bilangan riil adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan riil bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.
Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal, maka setiap subgrup adalah grup hasil bagi. Subgrup, hasil, dan jumlah langsung adalah grup abelian. Grup abelian sederhana hingga merupakan grup siklik dari urutan prima.^[2]
Konsep grup abelian dan modul- $\mathbb {Z}$ . Lebih khusus, setiap modul- $\mathbb {Z}$ adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat $\mathbb {Z}$ dengan cara unik.

Secara umum, matriks bahkan matriks invers, tidak membentuk grup abelian dalam perkalian karena perkalian matriks umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa grup matriks adalah grup abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup $2\times 2$ pada matriks rotasi.

Catatan sejarah

Camille Jordan menamai grup abelian setelah matematikawan asal norsk Niels Henrik Abel, karena Abel menemukan bahwa komutatifitas grup polinomial bahwa akar polinomial dapat dihitung dengan menggunakan akar.^[3]^:144–145

Sifat

Jika $n$ adalah bilangan asli dan $x$ adalah elemen dari grup abelian $G$ yang ditulis secara aditif, maka $nx$ bisa didefinisikan sebagai $x+x+\cdots +x$ ( $n$ ) dan $(-n)x=-(nx)$ . Dengan cara ini, $G$ sebagai modul di atas gelanggang $\mathbb {Z}$ dari bilangan bulat. Maka, modul lebih dari $\mathbb {Z}$ diidentifikasikan dengan grup abelian.

Teorema tentang grup abelian (yaitu modul di atas domain ideal utama $\mathbb {Z}$ ) digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara hingga merupakan spesialisasi dari teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara hingga, teorema tersebut bahwa grup abelian terbagi sebagai jumlah langsung dari grup torsi dan grup abelian bebas. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak grup bentuk tak hingga $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ untuk prima $p$ , dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan $\mathbb {Z}$ .

Jika $f,g:G\to H$ adalah dua homomorfisme grup di antara grup abelian, kemudian jumlah semua $f+g$ , ditentukan oleh $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ adalah homomorfisme (ini tidak tentu benar jika $H$ adalah grup non-abelian). Himpunan ${\text{Hom}}(G,H)$ dari semua homomorfisme grup dari $G$ hingga $H$ merupakan grup abelian dalam itu sendiri.

Agak mirip dengan dimensi dari ruang vektor, setiap grup abelian memiliki peringkat. Ini didefinisikan sebagai kardinalitas maksimal dari satu himpunan elemen bebas linear (di atas bilangan bulat) grup.^[4]^:49–50 Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan bilangan rasional memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol subgrup aditif dari rasio. Di sisi lain, grup perkalian dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak hingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan bilangan prima sebagai basis (dari hasil dari teorema fundamental aritmetika).

Pusat $Z(G)$ dari grup $G$ adalah himpunan elemen dengan setiap elemen $G$ . Grup $G$ adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya $Z(G)$ . Pusat dari grup $G$ merupakan karakteristik subgrup abelian dari $G$ . Jika grup hasil bagi $G/Z(G)$ grup dengan pusat siklik $G$ adalah abelian.^[5]

Grup abelian hingga

Grup siklik dari bilangan bulat modulo $n$ , $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ termasuk di antara contoh pertama grup. Ternyata grup abelian hingga trivial adalah isomorfik dari sejumlah langsung grup siklik hingga dari tatanan pangkat utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian kompleks. Grup automorfisme dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 oleh Georg Frobenius, Ludwig Stickelberger, dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari aljabar linear.

Setiap grup tatanan utama isomorfik ke grup siklik dan adalah abelian. Setiap grup yang urutannya adalah kuadrat dari bilangan prima juga adalah abelian.^[6] Maka, untuk setiap bilangan prima $p$ (isomorfisme hingga) tepat dua grup tatanan $p^{2}$ , yaitu $\mathbb {Z} _{p^{2}}$ dan $\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}$ .

Klasifikasi

Teorema fundamental dari grup abelian hingga menyatakan bahwa setiap grup abelian hingga $G$ dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung subgrup siklik dari prima dengan urutan pangkat; hal tersebut dikenal sebagai teorema dasar untuk grup abelian hingga.^[7] Digeneralisasikan dengan teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga, dengan grup hingga menjadi kasus khusus ketika G memiliki nol peringkat; merujuk banyak generalisasi lebih lanjut.

Klasifikasi ini dibuktikan oleh Leopold Kronecker pada tahun 1870, meskipun tidak disebutkan dalam istilah teori-grup modern sampai sekarang, dan didahului oleh klasifikasi serupa dari bentuk kuadrat oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1801; lihat sejarah untuk detailnya.

Grup siklik $\mathbb {Z} _{mn}$ dengan urutan $mn$ isomorfik dengan jumlah langsung dari $\mathbb {Z} _{m}$ dan $\mathbb {Z} _{n}$ jika dan hanya jika $m$ dan $n$ adalah koprima. Oleh karena itu, setiap grup abelian hingga $G$ adalah isomorfik dengan jumlah langsung dari bentuk

\bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}

dengan salah satu cara kanonik berikut:

bilangan $k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ adalah pangkat bilangan prima (tidak harus berbeda),
bilangan $k_{1}$ membagi $k_{2}$ , dimana $k_{3}$ dibagi $k_{u}$ .

Sebagai contoh, $\mathbb {Z} _{15}$ dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari dua subgrup siklik tatanan 3 dan 5: $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ . Hal yang sama dapat dikatakan untuk setiap grup abelian tatanan 15, yang mengarah pada kesimpulan bahwa semua grup abelian urutan 15 adalah isomorfis.

Untuk contoh lain, setiap grup abelian berorde 8 isomorfik untuk $\mathbb {Z} _{8}$ (bilangan bulat 0 hingga 7 di bawah tambahan modulo 8), $\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ (bilangan bulat ganjil 1 sampai 15 dalam perkalian modulo 16), atau $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ .

Lihat pula daftar grup kecil untuk grup abelian hingga tatanan 30 atau kurang.

Automorfisme

Menerapkan teorema fundamental untuk menghitung (dan terkadang menentukan) automorfisme dari grup abelian terbatas yang diberikan $G$ . Untuk menggunakan fakta bahwa jika $G$ membagi sebagai jumlah langsung $H\oplus K$ dari subgrup koprima urutan, maka ${\text{Aut}}(H\oplus K)\cong {\text{Aut}}(H)\oplus {\text{Aut}}(K)$ .

Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari $G$ itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari Sylow $p$ subgrup secara terpisah (yaitu, semua jumlah langsung subkelompok siklik, masing-masing dengan urutan pangkat $p$ ). Perbaiki bilangan prima $p$ dan anggaplah eksponen $e_{i}$ dari faktor siklik dari subgrup Sylow $p$ disusun dalam urutan yang meningkat:

e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}

untuk beberapa $n>0$ . Seseorang perlu menemukan automorfisme

\mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.

Satu kasus khusus adalah ketika $n=1$ , maka hanya ada satu faktor daya utama siklik pada subgrup Sylow $p$ dengan $P$ . Dalam hal ini teori automorfisme grup siklik hingga digunakan. Kasus khusus lainnya adalah kapan $n$ trivial tetapi $e_{i}=1$ untuk $1\leq i\leq n$ . Mempertimbangkan $P$ menjadi bentuk

\mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},

jadi elemen subgrup ini dapat dilihat sebagai terdiri dari ruang vektor berdimensi $n$ di atas bidang hingga elemen $p$ pada $\mathbb {F} _{p}$ . Oleh karena itu, automorfisme subgrup ini diberikan oleh transformasi linear invers, maka

\operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),

dimana ${\text{GL}}$ adalah grup linear umum yang sesuai, dengan mudah terbukti memiliki tatanan

\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).

Dalam kasus umum, dimana $e_{i}$ dan $n$ berubah-ubah, grup automorfisme lebih sulit ditentukan. Diketahui, bagaimanapun, bahwa jika mendefinisikan

d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}^{\,}\}

dan

c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}

maka seseorang memilikinya secara khusus $k\leq d_{k}$ , $c_{k}\leq k$ , dan

\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.

Hal itu dapat memeriksa bahwa ini menghasilkan tatanan dalam contoh sebelumnya sebagai kasus khusus (lihat Hillar, C., & Rhea, D.).

Grup abelian yang dihasilkan tak hingga

Grup abelian $A$ tanpa batas jika himpunan elemen hingga (disebut generator) $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ sedemikian rupa maka setiap elemen grup adalah kombinasi linear dengan koefisien bilangan bulat elemen $G$ .

Misalkan $L$ menjadi grup abelian bebas dengan basis $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ Homomorfisme grup unik $p\colon L\to A,$ sebagai

p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{untuk }}i=1,\ldots ,n.

Homomorfisme ini adalah surjektif, dan kernel-nya dihasilkan secara halus (karena bilangan bulat membentuk gelanggang Noetherian). Pertimbangkan matriks $M$ dengan entri bilangan bulat, sehingga entri dari kokernel ke $j$ adalah koefisien dari generalisasi kernel $j$ . Maka, grup abelian bersifat isomorfik terhadap kokernel dari peta linear yang ditentukan $M$ . Sebaliknya, setiap matriks bilangan bulat mendefinisikan grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Oleh karena itu, studi tentang grup abelian yang dihasilkan hingga setara dengan studi tentang matriks bilangan bulat. Secara khusus, mengubah himpunan pembangkit $A$ sama dengan mengalikan $M$ sebelah kiri dengan matriks unimodular (yaitu, matriks bilangan bulat inversnya merupakan matriks bilangan bulat). Mengubah himpunan pembangkit kernel $M$ sama dengan mengalikan $M$ sebelah kanan dengan matriks unimodular.

Bentuk normal Smith dari $M$ adalah sebuah matriks

S=UMV,

dimana $U$ dan $V$ unimodular, dan $S$ adalah matriks sehingga semua entri non-diagonal adalah nol, entri diagonal bukan-nol $d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}$ adalah yang pertama, dan $d_{j,j}$ adalah pembagi dari $d_{i,i}$ untuk $i > j$ . Keberadaan dan bentuk normal Smith membuktikan bahwa grup abelian yang dihasilkan tak hingga $A$ adalah jumlah langsung

\mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,

dimana $r$ adalah jumlah baris nol di bagian bawah $r$ (dan peringkat grup). Ini adalah teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Adanya algoritma untuk bentuk normal Smith menunjukkan bahwa dalil dasar grup abelian yang dihasilkan tak hingga bukan hanya dalil eksistensi abstrak, tetapi menyediakan cara untuk menghitung ekspresi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung.

Catatan tentang tipografi

Di antara kata sifat matematika yang diturunkan dari nama diri dari seorang ahli matematika, Kata "abelian" jarang terjadi karena sering dieja dengan huruf kecil a, bukan huruf besar A, yang menunjukkan betapa konsep tersebut ada di mana-mana dalam matematika modern.^[8]

Lihat pula

Commutator subgroup – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
Abelianisasi – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
Kelompok dihedral urutan 6 – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya, grup non-abelian terkecil
Grup abelian dasar – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
Dualitas Pontryagin – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya

Catatan

^ Jacobson 2009, p. 41
^ 2012, p. 32.
^ D. A., Galois Theory (Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), pp. 144–145.
^ Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality (Milton Park, Abingdon-on-Thames & Oxfordshire: Taylor & Francis, 2020), pp. 49–50.
^ Rose 2012, p. 48.
^ Rose 2012, p. 79.
^ Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54.
^ "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 December 2012. Diakses tanggal 3 July 2016.

Referensi

Cox, David (2004). Galois Theory. Wiley-Interscience. ISBN 9781118031339. MR 2119052.
Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36–I. Academic Press. MR 0255673.
Fuchs, László (1973). Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36-II. Academic Press. MR 0349869.
Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (edisi ke-2nd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02371-X.
Hillar, Christopher; Rhea, Darren (2007). "Automorphisms of finite abelian groups". American Mathematical Monthly. 114 (10): 917–923. arXiv:math/0605185  . Bibcode:2006math......5185H. doi:10.1080/00029890.2007.11920485. JSTOR 27642365.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (edisi ke-2nd). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
Rose, John S. (2012). A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8. Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
Szmielew, Wanda (1955). "Elementary properties of abelian groups" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 41 (2): 203–271. doi:10.4064/fm-41-2-203-271. MR 0072131. Zbl 0248.02049.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Abelian group", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] Jacobson 2009, p. 41

[2] 2012, p. 32.

[3] D. A., Galois Theory (Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), pp. 144–145.

[4] Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality (Milton Park, Abingdon-on-Thames & Oxfordshire: Taylor & Francis, 2020), pp. 49–50.

[5] Rose 2012, p. 48.

[6] Rose 2012, p. 79.

[7] Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54.

[8] "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 December 2012. Diakses tanggal 3 July 2016.

[1]

α

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]