Grup Lie

Artikel ini bukan mengenai Grup tipe Lie.

Dalam matematika, grup Lie (/liː/ "Lee") adalah grup yang merupakan manifold berjenis. Lipatan adalah ruang lokal ruang Euclidean, sedangkan grup mendefinisikan abstrak, konsep umum perkalian dan pengambilan invers (pembagian). Menggabungkan dua ide ini, kita akan mendapatkan grup kontinu dimana poin dikalikan secara kebersamaan dan kebalikannya dapat diambil. Jika, sebagai penambahan, perkalian, dan pengambilan invers didefinisikan sebagai halus (terdiferensiasi), maka kita mendapatkan rumus grup Lie.

Grup Lie diberikan sebuah model alami untuk konsep simetri kontinu, contohnya adalah simetri rotasi dalam tiga dimensi (diberikan oleh grup ortogonal khusus ${\text{SO}}(3)$). Grup Lie sering digunakan di banyak bagian matematika dan fisika modern.

Grup Lie pertama kali ditemukan dengan mempelajari subgrup matriks $G$ dalam ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ or ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )$, grup dari $n\times n$ matriks inver di atas $\mathbb {R}$ atau $\mathbb {C}$. Ini disebut sebagai grup klasik, karena konsepnya telah diperluas jauh melampaui asal-usulnya. Grup Lie dinamai menurut matematikawan asal Norwegia yaitu Sophus Lie (1842–1899) yang memberikan dasar teori grup transformasi kontinu. Motivasi asli Lie untuk memperkenalkan grup Lie adalah untuk model kesimetrian kontinu dengan persamaan diferensial yang sama bahwa grup hingga digunakan dalam teori Galois untuk model simetri diskrit persamaan aljabar.

Ikhtisar

Himpunan semua bilangan kompleks dengan nilai absolut 1 (terkait dengan titik-titik pada lingkaran dari pusat 0 dan jari-jari 1 di medan kompleks) adalah grup Lie dalam perkalian kompleks: grup lingkaran.

Grup Lie adalah lipatan berjenis halus dan dengan demikian dapat dipelajari menggunakan kalkulus diferensial berbeda dengan grup topologi umum. Salah satu ide kunci dalam teori grup Lie adalah mengganti objek global grup dengan versi lokal atau linierisasi. Grup Lie sendiri disebut sebagai "grup infinitesimal" dan dikenal sebagai aljabar Lie.

Grup Lie memainkan peran yang sangat besar dalam geometri modern unruk beberapa tingkatan yang berbeda. Felix Klein berpendapat dalam program Erlangen dapat mempertimbangkan berbagai "geometri "dengan menentukan grup transformasi yang sesuai yang menghilangkan sifat geometris invarian. Jadi geometri Euklides dengan pilihan grup E(3) dari transformasi jarak ruang Euklides R³ konformal geometri dengan memperbesar grup ke grup konformal, sedangkan dalam geometri proyektif tertarik pada sifat invarian di bawah grup proyektif. Ide ini kemudian mengarah pada gagasan tentang sebuah struktur-G, dimana G adalah grup Lie dari simetris "lokal" dari lipatan.

Grup Lie dan aljabar Lie memainkan peran utama dalam fisika modern, dengan grup Lie biasanya memainkan peran sebagai simetri sistem fisik. Di sini, wakilan dari grup Lie atau aljabar Lie sangat penting untuk penggunaannya. Teori representasi digunakan secara luas dalam fisika partikel. Grup wakilannya sangat penting untuk digunakan grup rotasi S(3) atau penutup ganda SU(2), grup satuan khusus SU(3) dan grup Poincaré.

Pada tingkat "global", setiap grup Lie aksi pada objek geometris, yaitu Riemannian atau lipatan simplektis, aksi ini memberikan ukuran dan menghasilkan struktur aljabar yang banyak. Adanya simetri kontinu yang diekspresikan melalui grup Lie aksi pada lipatan menempatkan batasan yang kuat pada geometrinya dan memfasilitasi analisis pada lipatan. Grup Lie aksi sangat penting dalam penggunaannya, dan dipelajari dalam teori wakilan.

Pada 1940-an-1950-an, Ellis Kolchin, Armand Borel, dan Claude Chevalley menyadari bahwa banyak hasil dasar mengenai grup Lie yang dikembangkan sepenuhnya secara aljabar sebagai teori grup aljabar yang ditentukan melalui sembarang medan. Wawasan ini membuka kemungkinan baru dalam aljabar murni, dengan memberikan konstruksi seragam untuk sebagian besar grup sederhana hingga serta dalam geometri aljabar. Teori bentuk automorfik, cabang penting dari teori bilangan modern, berurusan secara ekstensif dengan analogi grup Lie selama gelanggang Adele; bilangan p-adik grup Lie memainkan peran penting dengan melalui koneksi dengan representasi Galois dalam teori bilangan.

Definisi

Grup Lie riil adalah grup merupakan berdimensi riil hingga lipatan halus, dimana operasi grup perkalian dan inversi adalah peta halus. Maka perkalian grup, adalah

$\mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy$

jadi μ adalah pemetaan halus dari produk berjenis G × G sebagai G. Kedua persyaratan ini dapat digabungkan menjadi satu persyaratan yaitu pemetaan

$(x,y)\mapsto x^{-1}y$

sebagai pemetaan mulus dari produk berjenis yaitu G.

Grup Matriks Lie

Maka $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ sebagai grup $n\times n$ matriks invers dengan entri dalam $\mathbb {C}$. Subgrup tertutup dari $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ adalah grup Lie yang disebut matriks grup Lie Karena sebagian besar contoh dari grup Lie direalisasikan sebagai matriks grup Lie, beberapa buku teks membatasi perhatian pada kelas ini, termasuk yang ada dalam Hall dan Rossmann. Membatasi sebuah matriks grup Lie dengan cara menyederhanakan definisi aljabar Lie dan peta eksponensial. Berikut ini adalah contoh standar grup matriks Lie.

• Grup linear khusus di atas $\mathbb {R}$ dan $\mathbb {C}$ yaitu $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ dan $\operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )$ terdiri dari $n\times n$ matriks dengan determinan satu dan entri dalam $\mathbb {R}$ atau $\mathbb {C}$
• Grup unital dan grup uniter khusus yaitu ${\text{U}}(n)$ dan ${\text{SU}}(n)$, terdiri dari $n\times n$ matriks kompleks $U^{*}=U^{-1}$ (dan $\det(U)=1$ dalam kasus ${\text{SU}}(n)$)
• Grup ortogonal dan grup ortogonal khusus yaitu ${\text{O}}(n)$ dan ${\text{SO}}(n)$, terdiri dari $n\times n$ matriks $R^{\mathrm {T} }=R^{-1}$ (dan $\det(R)=1$ dalam kasus ${\text{SO}}(n)$)

Semua contoh sebelumnya termasuk dalam tajuk grup klasik.

Konsep terkait

Grup Lie kompleks didefinisikan dengan cara yang sama menggunakan lipatan kompleks yang sebenarnya (contoh: $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$), dan menggunakan alternatif penyelesaian metriks dari $\mathbb {Q}$, grup topologi dimana setiap titik memiliki lingkungan p-adik.

Masalah kelima Hilbert menanyakan apakah untuk mengganti lipatan yang dibedakan dengan topologi atau analitik dapat menghasilkan contoh baru. Jawaban atas pertanyaan ini ternyata negatif: pada tahun 1952 matematikawan Gleason, Montgomery dan Zippin menunjukkan bahwa jika G adalah lipatan topologi, maka tepat satu struktur analitik pada G yang mengubah menjadi grup Lie (lihat pula Konjektur Hilbert–Smith). Jika lipatan dasar yang berdimensi tak hingga (misalnya, lipatan Hilbert), maka sampai pada gagasan tentang grup Lie berdimensi tak hingga. Dimungkinkan untuk mendefinisikan analogi dari banyak grup Lie di atas bidang hingga, dan memberikan sebagian besar contoh grup sederhana hingga.

Contoh

Contoh pertama

• 2 × 2 riil matriks yang dapat dibalik membentuk sebuah kelompok dalam perkalian, dilambangkan dengan GL(2, R) atau dengan GL₂(R):

$\operatorname {GL} (2,\mathbf {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.$

Ini adalah grup Lie nyata empat dimensi nonkompak; itu adalah subset terbuka dari $\mathbb {R} ^{4}$. Grup ini terputus; itu memiliki dua komponen terhubung yang sesuai dengan nilai positif dan negatif dari determinan.

• Matriks rotasi membentuk subgrup dari GL(2, R), dilambangkan dengan SO(2, R). Ini adalah grup Lie dalam dirinya sendiri: khususnya, grup Lie terhubung kompak satu dimensi yang diffeomorphic ke lingkaran. Menggunakan sudut rotasi $\varphi$ sebagai parameter, grup ini dapat berupa parametrized sebagai berikut:

$\operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.$

Penjumlahan sudut sesuai dengan perkalian elemen SO(2, R), dan mengambil sudut berlawanan sesuai dengan inversi. Jadi perkalian dan inversi adalah peta yang dapat dibedakan.

• grup affine satu dimensi adalah grup Lie matriks dua dimensi, yang terdiri dari $2\times 2$, matriks segitiga atas, dengan entri diagonal pertama positif dan entri diagonal kedua adalah 1. Jadi, grup tersebut terdiri dari matriks-matriks formulir

$A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .$

Non-contoh

Kami sekarang menyajikan contoh grup dengan tak terhitung elemen yang bukan grup Lie di bawah topologi tertentu. Grup diberikan oleh

$H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},$

dengan $a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ a tetap bilangan irasional, adalah subgrup dari torus $\mathbb {T} ^{2}$ yang bukan grup Lie ketika diberi topologi subruang. Jika kita mengambil lingkungan $U$ dari sebuah titik $h$ pada $H$, for example, bagian dari $H$ di $U$ terputus. Kelompok $H$ berputar berulang kali di sekitar torus tanpa pernah mencapai titik spiral sebelumnya dan dengan demikian membentuk $\mathbb {T} ^{2}$.

Sebagian dari grup $H$ dalam $\mathbb {T} ^{2}$. Lingkungan kecil dari elemen $h\in H$ terputus dalam subset topologi pada $H$

Grup $H$ bisa, bagaimanapun, diberi topologi yang berbeda, di mana jarak antara dua titik $h_{1},h_{2}\in H$ didefinisikan sebagai panjang dari jalur terpendek dalam grup $H$ bergabung $h_{1}$ pada $h_{2}$. Dalam topologi ini, $H$ diidentifikasi secara homeomorfis dengan garis nyata dengan mengidentifikasi setiap elemen dengan bilangan $\theta$ dalam definisi $H$. Dengan topologi ini, $H$ hanyalah grup bilangan real yang ditambahkan dan oleh karena itu merupakan grup Lie.

Grup $H$ adalah contoh dari " Lie subgroup" dari grup Lie yang tidak tertutup. Lihat pembahasan subkelompok Lie di bawah ini pada bagian tentang konsep dasar.

Konsep dasar

Peta eksponensial

Artikel utama: Peta eksponensial (Teori Lie)

Lihat pula: turunan dari peta eksponensial dan koordinat normal

peta eksponensial dari aljabar Lie $M(n;\mathbb {C} )$ dari grup linear umum $GL(n;\mathbb {C} )$ ke $GL(n;\mathbb {C} )$ ditentukan oleh matriks eksponensial, yang diberikan oleh deret pangkat biasa:

$\exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots$

untuk matriks $X$. Jika $G$ adalah subgrup tertutup dari $GL(n;\mathbb {C} )$, kemudian peta eksponensial mengambil aljabar Lie dari $G$ menjadi $G$; dengan demikian, kami memiliki peta eksponensial untuk semua grup matriks. Setiap elemen $G$ yang cukup dekat dengan identitas adalah eksponensial matriks dalam aljabar Lie.

Definisi di atas mudah digunakan, tetapi tidak ditentukan untuk grup Lie yang bukan grup matriks, dan tidak jelas bahwa peta eksponensial grup Lie tidak bergantung pada representasinya. Kita dapat menyelesaikan kedua masalah tersebut menggunakan definisi yang lebih abstrak dari peta eksponensial yang berfungsi untuk semua grup Lie, sebagai berikut.

Untuk setiap vektor $X$ dalam aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$ dari $G$ (yaitu, spasi bersinggungan ke $G$ pada identitas), yang membuktikan bahwa ada subgrup satu parameter yang unik $c:\mathbb {R} \rightarrow G$ dirumuskan $c'(0)=X$. Mengatakan bahwa $c$ adalah subkelompok satu parameter berarti bahwa $c$ adalah peta mulus ke $G$ dan

$c(s+t)=c(s)c(t)\$

untuk semua $s$ dan $t$. Operasi di sisi kanan adalah perkalian grup di $G$. Kesamaan formal rumus ini dengan yang valid untuk fungsi eksponensial membenarkan definisi tersebut

$\exp(X)=c(1).\$

Ini disebut peta eksponensial, dan memetakan aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$ ke dalam grup Lie $G$. Ini memberikan diffeomorphism antara lingkungan dari 0 pada ${\mathfrak {g}}$ dan lingkungan $e$ di $G$. Peta eksponensial ini merupakan generalisasi dari fungsi eksponensial untuk bilangan real (karena $\mathbb {R}$ adalah aljabar Lie dari kelompok Lie bilangan riil positif dengan perkalian), untuk bilangan kompleks (karena $\mathbb {C}$ adalah aljabar Lie dari kelompok Lie dari bilangan kompleks bukan nol dengan perkalian) dan untuk matriks (karena $M(n,\mathbb {R} )$ dengan komutator biasa adalah aljabar Lie dari grup Lie $GL(n,\mathbb {R} )$ dari semua matriks yang dapat dibalik).

Karena peta eksponensial bersifat dugaan di beberapa lingkungan $N$ dari $e$, adalah hal umum untuk elemen aljabar Lie infinitesimal generator dari grup $G$. Subgrup $G$ yang dibuat oleh $N$ adalah komponen identitas $G$.

Peta eksponensial dan aljabar Lie menentukan struktur grup lokal dari setiap grup Lie yang terhubung, karena rumus Baker–Campbell–Hausdorff: ada lingkungan $U$ dari elemen nol ${\mathfrak {g}}$, dirumuskan $X,Y\in U$ kita punya

$\exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),$

di mana istilah yang dihilangkan diketahui dan melibatkan kurung Lie dari empat elemen atau lebih. Jika $X$ dan $Y$ komute, rumus ini direduksi menjadi hukum eksponensial yang sudah dikenal $\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)$

Peta eksponensial menghubungkan homomorfisme grup Lie. Artinya, jika $\phi :G\to H$ adalah homomorfisme grup Lie dan $\phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ peta yang diinduksi pada Lie aljabar yang sesuai, lalu untuk semua $x\in {\mathfrak {g}}$ kita punya

$\phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,$

Dengan kata lain, diagram berikut perjalanan,

(Singkatnya, exp adalah transformasi alami dari functor Lie ke identitas functor pada kategori grup Lie.)

Peta eksponensial dari aljabar Lie ke grup Lie tidak selalu ke, bahkan jika grup tersebut terhubung (meskipun itu memetakan ke grup Lie untuk grup terhubung yang kompak atau nilpoten).

Sejarah awal

Menurut sumber paling otoritatif pada sejarah awal kelompok Lie (Hawkins, p. 1), Sophus Lie sendiri menganggap musim dingin tahun 1873–1874 sebagai tanggal lahir teorinya tentang grup berkelanjutan. Namun, Hawkins menyatakan bahwa "aktivitas penelitian Lie yang luar biasa selama periode empat tahun dari musim gugur 1869 hingga musim gugur 1873" yang mengarah pada penciptaan teori ( ibid ). Beberapa ide awal Lie dikembangkan dalam kolaborasi erat dengan Felix Klein. Lie bertemu dengan Klein setiap hari dari Oktober 1869 hingga 1872: di Berlin dari akhir Oktober 1869 hingga akhir Februari 1870, dan di Paris, Göttingen dan Erlangen dalam dua tahun berikutnya ( ibid , hal. 2). Lie menyatakan bahwa semua hasil utama diperoleh pada tahun 1884. Tetapi selama tahun 1870-an semua makalahnya (kecuali catatan pertama) diterbitkan di jurnal Norwegia, yang menghambat pengakuan atas karya tersebut di seluruh Eropa ( ibid , hal 76). Pada tahun 1884, seorang matematikawan muda Jerman, Friedrich Engel, datang untuk bekerja dengan Lie pada risalah sistematis untuk mengekspos teorinya tentang kelompok berkelanjutan. Dari upaya ini dihasilkan tiga jilid Theorie der Transformationsgruppen, diterbitkan pada tahun 1888, 1890, dan 1893. Istilah groupes de Lie pertama kali muncul dalam bahasa Prancis pada tahun 1893 dalam tesis murid Lie, Arthur Tresse.

Ide Lie tidak terpisah dari matematika lainnya. Faktanya, ketertarikannya pada geometri persamaan diferensial pertama kali dimotivasi oleh karya Carl Gustav Jacobi, pada teori persamaan diferensial parsial orde pertama dan pada persamaan mekanika klasik. Banyak dari karya Jacobi diterbitkan secara anumerta pada tahun 1860-an, membangkitkan minat yang sangat besar di Prancis dan Jerman (Hawkins, p.43). Idée fixe Lie adalah untuk mengembangkan teori kesimetrian persamaan diferensial yang akan menyelesaikannya apa yang telah dilakukan Évariste Galois untuk persamaan aljabar: yaitu, untuk mengklasifikasikannya dalam teori kelompok. Lie dan ahli matematika lainnya menunjukkan persamaan yang paling penting untuk fungsi khusus dan polinomial ortogonal cenderung muncul dari kesimetrian teoretis grup. Dalam karya awal Lie, idenya adalah untuk membangun teori grup berkelanjutan , untuk melengkapi teori kelompok diskrit yang telah dikembangkan dalam teori bentuk modular, di tangan Felix Klein dan Henri Poincaré. Aplikasi awal yang ada dalam pikiran Lie adalah teori persamaan diferensial. Pada model teori Galois dan persamaan polinomial, konsep penggeraknya adalah teori yang mampu menyatukan, dengan mempelajari simetri, seluruh luas persamaan diferensial biasa. Namun, harapan bahwa Teori Kebohongan akan menyatukan seluruh bidang persamaan diferensial biasa tidak terpenuhi. Metode simetri untuk ODE terus dipelajari, namun tidak mendominasi materi. Ada teori Galois diferensial, tetapi dikembangkan oleh orang lain, seperti Picard dan Vessiot, dan ini memberikan teori kuadratur, integral tak hingga.

Dorongan tambahan untuk mempertimbangkan kelompok berkelanjutan berasal dari gagasan Bernhard Riemann, pada dasar-dasar geometri, dan pengembangan lebih lanjut mereka di tangan Klein. Jadi tiga tema utama dalam matematika abad ke-19 digabungkan oleh Lie dalam menciptakan teori barunya: ide simetri, seperti yang dicontohkan oleh Galois melalui pengertian aljabar dari grup; teori geometri dan solusi eksplisit dari persamaan diferensial mekanika, dikerjakan oleh Poisson dan Jacobi; dan pemahaman baru tentang geometri yang muncul dalam karya Plücker, Möbius, Grassmann dan lainnya, dan berpuncak pada visi revolusioner Riemann tentang subjek tersebut.

Meskipun saat ini Sophus Lie diakui sebagai pencipta teori kelompok berkelanjutan, langkah besar dalam pengembangan teori struktur mereka, yang memiliki pengaruh besar pada perkembangan matematika selanjutnya, dibuat oleh Wilhelm Killing, yang pada tahun 1888 menerbitkan makalah pertama dalam seri berjudul Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (Komposisi grup transformasi hingga kontinu) (Hawkins, hlm. 100). Pekerjaan Pembunuhan, kemudian disempurnakan dan digeneralisasikan oleh Élie Cartan, mengarah ke klasifikasi aljabar Lie setengah sederhana, Teori Cartan tentang ruang simetris, dan deskripsi Hermann Weyl tentang representasi dari grup Lie yang kompak dan setengah sederhana.

Pada tahun 1900 David Hilbert menantang ahli teori Lie dengan Masalah Kelima yang dipresentasikan pada Kongres Internasional Ahli Matematika di Paris.

Weyl membawa periode awal perkembangan teori kelompok Lie membuahkan hasil, karena tidak hanya dia mengklasifikasikan representasi tak tersederhanakan dari kelompok Lie semisimple dan menghubungkan teori grup dengan mekanika kuantum, tetapi dia juga menempatkan teori Lie itu sendiri pada pijakan yang lebih kokoh dengan secara jelas menyatakan perbedaan antara grup sangat kecil Lie (yaitu, Lie algebras) dan grup Lie yang sesuai, dan mulai menyelidiki topologi grup Lie. Teori kelompok Lie secara sistematis dikerjakan ulang dalam bahasa matematika modern dalam sebuah monograf oleh Claude Chevalley.

Lihat pula

• Representasi Adjoint dari grup Lie
• Grup kompak
• Ukuran haar
• Ruang homogen
• Lie aljabar
• Daftar topik grup Lie
• Representasi grup Lie
• Simetri dalam mekanika kuantum

Catatan

Referensi

• Adams, John Frank (1969), Lectures on Lie Groups, Chicago Lectures in Mathematics, Chicago: Univ. of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00527-0, MR 0252560 .
• Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A.; ten Kroode, A. P. E. (1997). A. van Groesen; E.M. de Jager, ed. Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics. Studies in mathematical physics. 7. North-Holland. ISBN 978-0-444-82836-1 – via ScienceDirect. 
• Borel, Armand (2001), Essays in the history of Lie groups and algebraic groups, History of Mathematics, 21, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5, MR 1847105 
• Bourbaki, Nicolas, Elements of mathematics: Lie groups and Lie algebras . Chapters 1–3 ISBN 3-540-64242-0, Chapters 4–6 ISBN 3-540-42650-7, Chapters 7–9 ISBN 3-540-43405-4
• Chevalley, Claude (1946), Theory of Lie groups, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04990-8 .
• P. M. Cohn (1957) Lie Groups, Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
• J. L. Coolidge (1940) A History of Geometrical Methods, pp 304–17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
• Templat:Fulton-Harris
• Robert Gilmore (2008) Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists, Cambridge University Press ISBN 9780521884006 DOI:10.1017/CBO9780511791390.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (edisi ke-2nd), Springer, doi:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666 .
• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1.
• Hawkins, Thomas (2000), Emergence of the theory of Lie groups, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1202-7 , ISBN 978-0-387-98963-1, MR 1771134  Borel's review
• Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/034, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454 
• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, 140 (edisi ke-2nd), Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4 .
• T. Kobayashi and T. Oshima, Lie groups and Lie algebras I, Iwanami, 1999 (in Japanese)
• Nijenhuis, Albert (1959). "Review: Lie groups, by P. M. Cohn". Bulletin of the American Mathematical Society. 65 (6): 338–341. doi:10.1090/s0002-9904-1959-10358-x . 
• Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7 . The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.
• Sattinger, David H.; Weaver, O. L. (1986). Lie groups and algebras with applications to physics, geometry, and mechanics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-1910-9. ISBN 978-3-540-96240-3. MR 0835009. 
• Serre, Jean-Pierre (1965), Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University, Lecture notes in mathematics, 1500, Springer, ISBN 978-3-540-55008-2 .
• Stillwell, John (2008). Naive Lie Theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-0-387-78214-0. ISBN 978-0387782140. 
• Heldermann Verlag Journal of Lie Theory
• Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, 94, New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-1799-0, ISBN 978-0-387-90894-6, MR 0722297 
• Steeb, Willi-Hans (2007), Continuous Symmetries, Lie algebras, Differential Equations and Computer Algebra: second edition, World Scientific Publishing, doi:10.1142/6515, ISBN 978-981-270-809-0, MR 2382250 .
• Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010