Produk karangan bunga

Dalam teori grup, hasilkali karangan bunga atau darab karangan bunga (bahasa Inggris: Wreath product) adalah hasilkali khusus dari dua grup, berdasarkan hasilkali setengah langsung. hasilkali karangan bunga digunakan dalam klasifikasi grup permutasi dan juga menyediakan cara untuk membangun contoh grup yang menarik.

Diberikan dua grup $A$ dan $H$, terdapat dua variasi hasilkali karangan bunga: hasilkali karangan bunga takterbatas $A\operatorname {Wr} H$ (juga ditulis $A\wr H$ dengan simbol LaTeX \wr) dan hasilkali karangan bunga terbatas $A\operatorname {wr} H$. Diberikan himpunan Ω dengan tindakan-$H$, terdapat generalisasi dari hasilkali karangan bunga yang dilambangkan dengan $A\operatorname {Wr} _{\Omega }H$ atau $A\operatorname {wr} _{\Omega }H$.

Gagasan tersebut masuk dalam kelompok semigrup dan merupakan konstruksi sentral dalam teori struktur Krohn–Rhodes dari semigrup hingga.

Definisi

Misalkan $A$ dan $H$ menjadi grup dan $\Omega$ satu himpunan dengan $H$bertindak di atasnya (dari kanan). Misalkan $K$ menjadi hasilkali grup langsung

$K=\prod _{\omega \in \Omega }A_{\omega }$

dari salinan $A_{\omega }:=A$ diindeks oleh himpunan $\Omega$. Elemen $K$ dapat dilihat sebagai sembarang urutan $(a_{\omega })$ dari elemen $A$ diindeks oleh $\Omega$ dengan perkalian sesekomponen. Kemudian tindakan $H$ pada $\Omega$ meluas secara alami menjadi tindakan $H$ pada grup $K$ oleh

$h(a_{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega })$.

Kemudian hasilkali karangan bunga takterbatas $A\operatorname {Wr} _{\Omega }H$ dari $A$ oleh $H$ adalah hasilkali setengah langsung $K\rtimes H$. Subgrup $K$ dari $A\operatorname {Wr} _{\Omega }H$ disebut basis dari hasilkali karangan bunga.

Hasilkali karangan bunga terbatas $A\operatorname {wr} _{\Omega }H$ dibuat dengan cara yang sama seperti hasilkali karangan bunga tidakterbatas, kecuali yang menggunakan jumlah langsung

$K=\bigoplus _{\omega \in \Omega }A_{\omega }$

sebagai dasar hasilkali karangan bunga. Dalam hal ini elemen $K$ adalah urutan $(a_{\omega })$ elemen di$A$ diindeks oleh $\Omega$ yang semuanya kecuali banyak $a_{\omega }$ adalah elemen identitas dari $A$.

Dalam kasus yang paling umum, salah satunya membutuhkan $\Omega :=H$, di mana $H$ bekerja secara alami dengan perkalian sebelah kiri. Dalam hal ini, hasilkali karangan bunga yang tidak dibatasi dan dibatasi dapat dilambangkan dengan $A\operatorname {Wr} H$ dan $A\operatorname {wr} H$. Ini disebut hasilkali karangan bunga beraturan.

Notasi dan konvensi

Struktur hasilkali karangan bunga dari $A$ oleh $H$ bergantung pada himpunan $H$ dari $\Omega$ dan jika $\Omega$ takterbatas, itu juga tergantung pada apakah salah satunya menggunakan hasilkali karangan bunga yang dibatasi atau tidak dibatasi. Namun, dalam literatur, notasi yang digunakan mungkin kurang dan perlu diperhatikan keadaannya.

• Dalam literatur, $A\wr _{\Omega }H$ dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga takterbatas $A\operatorname {Wr} _{\Omega }H$ atau hasilkali karangan bunga terbatas $A\operatorname {wr} _{\Omega }H$.
• Demikian, $A\wr H$ dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga beraturan takterbatas $A\operatorname {Wr} H$ atau hasilkali karangan bunga beraturan terbatas $A\operatorname {wr} H$.
• Dalam literatur, himpunan-$H$dari $\Omega$ dapat dihilangkan dari notasi meskipun $\Omega \neq H$.
• Dalam kasus khusus bahwa $H=S_{n}$ adalah grup simetrik derajat $n$ adalah hal yang umum dalam literatur untuk mengasumsikannya $\Omega =\{1,\dots ,n\}$ (dengan tindakan alami $S_{n}$) dan kemudian hilangkan $\Omega$ dari notasi. Yaitu, $A\wr S_{n}$ biasanya menunjukkan $A\wr _{(1,\dots ,n)}S_{n}$ bukan hasilkali karangan bunga beraturan $A\wr _{S_{n}}S_{n}$. Dalam kasus pertama, grup basisnya adalah hasilkali dari $n$ salinan dari $A$, dalam kasus terakhirnya adalah hasilkali dari $n!$ salinan dari $A$ (dimana $!$ melambangkan faktorial).

Sifat

Perjanjian hasilkali karangan bunga yang tidak terbatas dan terbatas pada terhingga $\Omega$

Karena hasilkali langsung hingga adalah sama dengan jumlah langsung grup hingga, ini mengikuti bahwa hasilkali karangan bunga tak terbatas $A\operatorname {Wr} _{\Omega }H$ dan terbatas $A\operatorname {wr} _{\Omega }H$ setuju jika himpunan-$H$ dari $\Omega$ terbatas. Khususnya, ini benar ketika $\Omega =H$.

Subgrup

$A\operatorname {wr} _{\Omega }H$selalu merupakan subgrup dari $A\operatorname {Wr} _{\Omega }H$.

Kekardinalan

Jika $A$, $H$ dan $\Omega$ adalah terhingga, maka

$\left|A\wr _{\Omega }H\right|=\left|A\right|^{\left|\Omega \right|}\left|H\right|$.

Teorema pembenaman semesta

Artikel utama: Teorema pembenaman semesta

Jika $G$ adalah ekstensi dari $A$ oleh $H$, maka terdapat subgrup hasilkali karangan bunga tak terbatas $A\wr H$ yang isomorfik dengan$G$. Ini juga dikenal sebagai teorema pembenaman Krasner–Kaloujnine. Teorema Krohn–Rhodes melibatkan apa yang pada dasarnya setara dengan semigrup ini.

Tindakan kanonik hasilkali karangan bunga

Jika grup $A$ bertindak pada himpunan $\Lambda$, maka ada dua cara kanonik untuk membangun himpunan dari $\Omega$ dan $\Lambda$ yang mana $A\operatorname {Wr} _{\Omega }H$ (and therefore also A wr_Ω H) can act.

• Tindakan hasilkali karangan bunga takprimitif pada Λ × Ω.

Jika ((a_ω),h) ∈ A Wr_Ω H and (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, then

$((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').$

• Tindakan hasilkali karangan bunga primitif di Λ^Ω.

Elemen pada Λ ^Ω adalah urutan (λ_ω) diindeks dari himpunan H Ω. Diberikan sebuah elemen ((a_ω), h) ∈ A Wr_Ω H operasinya pada (λ_ω) ∈ Λ^Ω is given by

$((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).$

Pranala luar

• Wreath product in Encyclopedia of Mathematics.
• Some Applications of the Wreath Product Construction. Diarsipkan 21 February 2014 di Wayback Machine.