Turunan

Dalam matematika, turunan atau derivatif dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai variabelnya. Sebagai contoh, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut: turunan dalam hal ini mengukur seberapa cepat benda bergerak ketika waktu berjalan. Turunan adalah alat penting dalam kalkulus.

Turunan sebuah fungsi satu variabel pada suatu titik, jika itu ada, adalah kemiringan dari garis singgung dari grafik fungsi pada titik tersebut. Garis singgung adalah hampiran (aproksimasi) linear terbaik dari fungsi disekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai transformasi linear, dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran linear dari grafik fungsi multivariabel tersebut. Matriks Jacob adalah matriks yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu basis yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan turunan parsial dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks ini tereduksi menjadi vektor gradien.

Proses menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan proses ini disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus menyatakan hubungan diferensiasi dengan integrasi. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.

Konsep turunan fungsi yang universal banyak digunakan dalam berbagai cabang matematika maupun bidang ilmu yang lain. Dalam bidang ekonomi, turunun digunakan untuk menghitung biaya marginal, total penerimaan, dan biaya produksi. Bidang biologi menggunakan turunan untuk menghitung laju pertumbuhan mikroorganisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk, dan masih banyak lagi.

Definisi

Sebuah fungsi dengan variabel real, $y=f(x)$ , dikatakan terdiferensialkan pada suatu titik $a$ di domainnya, jika domain fungsi tersebut mengandung suatu interval buka $I$ yang beranggotakan $a$ , dan nilai limit

$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ ada. Hal ini mengartikan bahwa, untuk setiap bilangan real positif $\varepsilon$ (bahkan jika nilainya sangat kecil), akan ada suatu bilangan real positif $\delta$ sedemikian sehingga, untuk semua $h$ yang memenuhi $|h|<\delta$ dan $h\neq 0$ , menyebabkan nilai $f(a+h)$ terdefinisi dan $\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,$ dengan bar vertikal menyatakan nilai mutlak (lihat definisi epsilon-delta dari limit).

Jika fungsi $f$ terdiferensialkan di $a$ , dengan kata lain jika nilai limit $L$ ada, maka nilai limit ini disebut turunan dari $f$ di $a$ , dan dinyatakan dengan $f'(a)$ atau ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ (dibaca "turunan dari $f$ terhadap $x$ di $a$ " atau " $dy$ per $dx$ di $a$ ").

Penjelasan

Secara informal, turunan dari sebuah fungsi $y = f (x)$ dengan variabel $x$ adalah ukuran dari rasio perubahan nilai $y$ terhadap perubahan nilai variabel $x$ . Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan real, dan jika grafik fungsi $f$ diplot terhadap $x$ , turunan dari fungsi ini pada sembarang titik adalah kemiringan dari grafik pada titik tersebut.

Kemiringan dari fungsi linear

y = f (x) = mx + b

adalah

m={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}

Kasus sederhana dari fungsi $f (x)$ adalah fungsi linear yang memiliki persamaan $y = f (x) = mx + b$ , dengan bilangan real $m$ dan $b$ . Kemiringan dari fungsi ini, $m$ , dinyatakan dengan

m={\frac {{\text{perubahan nilai }}y}{{\text{perubahan nilai  }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},

dengan simbol $Δ$ (Delta) adalah singkatan untuk "perubahan nilai", dan simbol $\Delta x$ dan $\Delta y$ masing-masing menyatakan besar perubahan yang terjadi. Sebagai contoh, $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).$ Persamaan di atas berlaku, karena ${\begin{aligned}y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\Delta x+b\\&=y+m\Delta x.\end{aligned}}$ dan menghasilkan persamaan $\Delta y=m\Delta x$ yang memberikan persamaan kemiringan dari suatu garis.

Nilai perubahan sebagai nilai limit

Gambar 1. Garis singgung pada (x, f(x))

Gambar 2. Garis sekan pada grafik fungsi y= f(x) yang melalui titik (x, f(x)) dan (x + h, f(x + h))

Gambar 3. Garis singgung sebagai limit dari garis sekan

Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai limit dari garis-garis sekan

Jika fungsi $f$ tidak linear (maksudnya grafik fungsi bukan berupa garis lurus), maka perubahan nilai $y$ dibagi perubahan nilai $x$ dapat berubah-ubah tergantung nilai perubahan nilai $x$ yang dipilih. Turunan adalah metode untuk menentukan nilai unik dari perbandingan perubahan nilai tersebut, yang tidak tergantung besar perubahan $(\Delta x),$ melainkan titik $x$ yang dipilih. Metode menentukan turunan dapat diilustrasikan lewat Gambar 1 sampai Gambar 3, yang menggambarkan nilai limit dari perbandingan $Δ y / Δ x$ dengan besar $Δ x$ menuju 0.

Asal-usul definisi

Garis sekan yang berubah menjadi garis singgung ketika

\Delta x\to 0

.

Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai limit dari perbandingan dua bilangan real.^[1] Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.

Misalkan $f$ adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada suatu lingkungan buka dari suatu bilangan real $a$ . Dalam geometri, garis singgung dari grafik fungsi $f$ di $a$ adalah suatu garis unik yang melalui titik $(a, f (a))$ dan tidak memotong fungsi $f$ di sekitar titik $(a, f (a))$ . Turunan dari $y$ terhadap $x$ di $a$ secara geometris adalah besar kemiringan dari garis singgung grafik $f$ di $(a, f (a))$ . Besar kemiringan garis singgung akan sangat mirip dengan besar kemiringan garis yang melalui titik $(a, f (a))$ dan sebuah titik lain di grafik yang dekat dengannya, sebagai contoh $(a + h, f (a + h))$ . Garis yang didefinisikan ini disebut dengan garis sekan. Nilai $h$ yang dekat dengan nol akan memberikan hampiran (dugaan, aproksimasi) yang baik mengenai besar kemiringan garis singgung; dan secara umum, nilai (mutlak) $h$ yang semakin kecil akan memberikan hampiran yang lebih baik. Besar kemiringan $m$ dari garis sekan adalah perbedaan nilai $y$ antara dua titik tersebut, dibagi dengan perbedaan nilai $x$ pada dua titik yang sama, dengan kata lain $m={\frac {\Delta f(a)}{\Delta a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$ Limit digunakan untuk mengubah nilai hampiran ke nilai yang pasti (exact). Jika nilai dari limit ketika $h$ menuju nol ada, maka nilai ini menyatakan besar kemiringan dari garis singgung fungsi di titik $(a, f (a))$ . Limit ini didefinisikan sebagai turunan dari fungsi $f$ di $a$ :

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Jika nilai limit ada, $f$ dikatakan terdiferensialkan di $a$ . Notasi $f'(a)$ adalah salah satu notasi umum untuk turunan. Definisi turunan ini mengandung hubungan yang intuitif bahwa suatu fungsi terdiferensialkan $f$ bersifat menaik jika dan hanya jika turunannya bernilai positif, dan menurun jika dan hanya jika turunannya bernilai negatif. Fakta ini sering digunakan dalam analisis mengenai perilaku fungsi, contohnya dalam menentukan titik ekstrem fungsi.

Selain itu, turunan juga memenuhi sifat $\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)\cdot h)}{h}}=0,$

yang menghasilkan interpretasi yang intuitif (lihat Gambar 1) bahwa garis singgung fungsi $f$ di $a$ memberikan hampiran linear terbaik $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$

untuk nilai fungsi $f$ di sekitar $a$ (yakni, untuk nilai $h$ yang kecil). Interpretasi ini adalah konsep termudah yang dapat diperumum ke kasus-kasus lainnya.

Metode subtitusi $h$ dengan nol pada perbandingan beda tidak dapat dilakukan karena menghasilkan pembagian oleh nol. Hal ini menyebabkan besar kemiringan dari garis singgung tidak dapat dilakukan secara langsung lewat subtitusi. division by zero, so the slope of the tangent line cannot be found directly using this method. Besar kemiringan dapat ditentukan mendefinisikan $Q (h)$ menjadi perbandingan (quotinent) beda sebagai fungsi dari $h$ : $Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$ $Q (h)$ secara geometris menyatakan kemiringan dari garis sekan yang melalui $(a, f (a))$ dan $(a + h, f (a + h))$ . Jika $f$ adalah fungsi kontinu, secara informal mengartikan grafik fungsinya berupa kurva tak putus dan tidak mengandung celah, maka fungsi $Q$ kontinu selain di $h = 0$ . Jika limit $\lim _{h\to 0}Q(h)$ ada, maka ada cara lain memilih nilai untuk $Q (0)$ yang membuat $Q$ menjadi fungsi kontinu, membuat fungsi $f$ terdiferensialkan di $a$ , dan besar turunannya di $a$ sama dengan $Q (0)$ . Pada praktiknya, keberadaan $Q (h)$ yang kontinu di $h = 0$ ditunjukkan dengan mengubah ekspresi pada pembilang agar dapat "mencoret" semua suku $h$ pada penyebut. Manipulasi seperti itu memungkinkan nilai limit dari $Q$ untuk nilai $h$ yang kecil terlihat jelas, walaupun $Q$ masih tidak terdefinisi di $h = 0$ . Proses manipulasi ini dapat sangat panjang dan melelahkan untuk fungsi yang rumit, dan banyak jalan pintas digunakan untuk menyederhanakan proses.

Contoh

Fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat memiliki persamaan $f (x) = x 2$ dan diferensialkan di $x = 3$ , dengan nilai turunan fungsi di titik tersebut adalah 6. Hasil ini didapatkan dengan menghitung limit dengan $h$ menuju nol dari persamaan beda $f (3)$ :

${\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.\end{aligned}}$ Ekspresi terakhir menunjukkan persamaan beda sama dengan ekspresi $6 + h$ saat $h\neq 0$ dan tidak terdefinisi saat $h = 0$ , karena definisi dari persamaan beda. Tetapi, definisi dari limit menyatakan persamaan beda tidak harus terdefinisi saat $h = 0$ . Nilai limit adalah hasil dari membuat variabel $h$ menuju nol, mengartikan ekspresi $6 + h$ saat nilai $h$ menuju sekecil mungkin akan menjadi: $\lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.$ Mengartikan kemiringan dari grafik fungsi kuadrat di titik $(3, 9)$ adalah $6$ , dan turunannya di $x = 3$ adalah $f'(3)=6$ . Secara umum, perhitungan yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa turunan fungsi kuadrat di $x = a$ adalah $f'(a)=2a$ :

{\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}

Kekontinuan dan kediferensialan

Fungsi tangga tidak memiliki turunan pada titik berwarna merah, karena fungsi tidak kontinu di titik tersebut.

Jika $f$ terdiferensialkan di $a$ , maka $f$ harus juga kontinu di $a$ . Sebagai contoh, pilih sembarang titik $a$ dan misalkan fungsi tidak kontinu $f$ sebagai fungsi tangga yang menghasilkan nilai 1 untuk semua $x$ kurang dari $a$ , dan menghasilkan nilai yang berbeda, misalnya 10, untuk semua nilai $x$ yang lebih besar atau sama dengan $a$ . Fungsi $f$ tidak dapat memiliki turunan di titik $a$ . Jika nilai $h$ negatif, maka $a + h$ akan terletak di sisi rendah dari fungsi tangga, menjadikan garis sekan dari $a$ ke $a + h$ akan sangat curam; dan semakin curam saat $h$ menuju nol. Sedangkan jika $h$ positif, maka $a + h$ terletak pada sisi tinggi dari fungsi tangga, sehingga garis sekan dari $a$ ke $a + h$ tidak memiliki kemiringan (datar). Alhasil garis-garis sekan tidak menuju suatu kemiringan tertentu, mengakibatkan limit dari persamaan beda tidak ada.

Fungsi nilai mutlak bersifat kontinu, namun tidak dapat didiferensiasi di

x = 0

karena garis sekannya tidak menghasilkan kemiringan yang sama ketika dihitung dari kiri dan dari kanan.

Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu pada suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan disana. Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak $f (x) = | x |$ bersifat kontinu di $x = 0$ , namun tidak terdiferensialkan disana. Jika $h$ positif, maka kemiringan dari garis sekan dari 0 ke $h$ bernilai 1, sedangkan jika $h$ negatif, maka kemiringan garis sekan dari 0 ke $h$ bernilai -1. Bahkan fungsi mulus tidak terdiferensialkan pada titik yang garis singgungnya merupakan garis vertikal: Sebagai contoh, fungsi $f (x) = x 1/3$ tidak terdiferensialkan di $x = 0$ .

Secara singkat, fungsi yang terdiferensialkan adalah fungsi yang kontinu, tetapi ada fungsi kontinu yang tidak dapat didiferensialkan.

Sebagian besar fungsi pada praktiknya memiliki turunan pada semua titik atau hampir semua titik. Pada awal sejarah kalkulus, banyak matematikawan mengasumsikan fungsi kontinue dapat diturunkan pada banyak titik. Pada kondisi yang standar, hal ini berlaku karena kebanyakan fungsi adalah fungsi monoton atau fungsi Lipschitz. Tetapi pada tahun 1872, Weierstrass menemukan contoh pertama dari function yang kontinu dimanapun namun tidak terdiferensialkan dimanapun. Contoh tersebut saat ini dikenal sebagai fungsi Weierstrass.

Turunan sebagai sebuah fungsi

Turunan di berbagai titik berbeda pada suatu fungsi terdiferensialkan. Pada kasus ini, besar turunannya sama dengan:

\sin \left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos \left(x^{2}\right)

Misalkan $f$ adalah fungsi yang memiliki turunan pada setiap titik di domainnya. Sebuah fungsi yang memetakan setiap titik $x$ ke nilai dari turunan $f$ di $x$ , dapat didefinisikan. Salah satu notasi untuk menulis fungsi ini adalah $f'$ , dan disebut sebagai fungsi turunan atau cukup turunan dari $f$ . Terkadang $f$ memiliki turunan pada sebagian besar, tapi tidak semua, titik di domainnya. Fungsi yang nilainya di $a$ sama dengan $f'(a)$ kapanpun nilai $f'(a)$ terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai lainnya, juga disebut turunan dari $f$ . Fungsi ini memiliki domain yang lebih kecil daripada domain dari $f$ .

Menggunakan ide tersebut, turunan dapat dianggap sebagai fungsi dari fungsi: Turunan adalah sebuah operator dengan domainnya adalah himpunan semua fungsi yang memiliki turunan pada semua titik pada domain mereka, dan citra-nya (range) adalah himpunan berisi fungsi-fungsi. Jika operator ini dinyatakan dengan $D$ , maka $D (f)$ adalah fungsi $f'$ . Selain itu, karena $D (f)$ adalah sebuah fungsi, nilainya dapat dihitung pada titik $a$ . Dengan menggunakan definisi dari fungsi turunan, $D(f)(a)=f'(a).$

Sebagai contoh, pertimbangkan fungsi $f (x) = 2 x$ ; $f$ adalah fungsi satu variabel yang bernilai real, mengartikan fungsi ini menerima sebuah angka lalu menghasilkan sebuah angka:

{\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}

Operator $D$ di sisi lain, tidak menerima maupun menghasilkan angka, melainkan fungsi:

{\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D\left(x\mapsto x^{2}\right)&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}

Karena $D$ menghasilkan sebuah fungsi, hasil dari $D$ dapat dievaluasi di suatu titik. Sebagai contoh, ketika $D$ diterapkan pada fungsi kuadrat $x \mapsto x 2$ , $D$ akan menghasilkan fungsi $x \mapsto 2 x$ , yang dapat diberi nama $f (x)$ . Fungsi hasil ini selanjutnya dapat digunakan untuk menghitung $f (1) = 2$ , $f (2) = 4$ , dan seterusnya.

Turunan tingkat tinggi

Misalkan $f$ adalah fungsi terdiferensialkan, dan misalkan $f'$ sebagai fungsi turunannya. Turunan dari $f'$ (jika ada) ditulis sebagai $f''$ dan disebut turunan kedua dari $f$ . Serupa dengan itu, turunan dari turunan kedua, jika ada, ditulis sebagai $f'''$ dan disebut turunan ketiga dari $f$ . Melanjutkan proses ini, turunan ke- $n$ dari fungsi dapat didefinisikan, jika turunan tersebut ada, sebagai turunan dari turunan ke- $(n -1)$ dari fungsi. Turunan berulang ini disebut turunan tingkat tinggi. Turunan ke- $n$ juga dapat dituliskan sebagai $f (n)$ . Jika $x (t)$ menyatakan posisi suatu objek pada waktu $t$ , maka turunan tingkat tinggi dari $x$ memiliki interpretasi khusus dalam bidang fisika. Turunan pertama dari $x$ menyatakan kecepatan objek, turunan kedua menyatakan besar akselerasinya, sedangkan turunan ketiga dari $x$ menyatakan sentakan.

Sebuah fungsi $f$ tidak harus memiliki turunan (sebagai contoh, karena fungsi tersebut tidak kontinu). Serupa dengan itu, bahkan jika $f$ memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi

f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}

Perhitungan menunjukkan bahwa $f$ adalah fungsi terdiferensialkan dengan besar turunan di $x$ dinyatakan sebagai

f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{if }}x\geq 0\\-2x,&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}

$f' (x)$ adalah dua kali fungsi nilai mutlak dari $x$ , dan tidak memiliki turunan di nol. Contoh yang mirip dapat dibuat untuk menunjukkan sebuah fungsi dapat memiliki turunan ke- $k$ namun tidak memiliki turunan ke- $(k + 1)$ . Jika suatu fungsi dapat diturunkan $k$ kali berturut-turut dan turunan ke- $k$ -nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota kelas keterdiferensialan $C k$ . Sebuah fungsi yang memiliki tak hingga banyaknya turunan disebut fungsi mulus.

Pada garis bilangan real, setiap fungsi polinomial terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan aturan perhitungan turunan (lihat bagian di bawah), sebuah polinomial berderajat $n$ akan menjadi fungsi konstan jika diturunkan sebanyak $n$ kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya ada, dan sama dengan 0. Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.

Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi $f$ di suatu titik $x$ memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar $x$ . Sebagai contoh, jika $f$ terdiferensialkan dua kali, maka

f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}

dalam artian bahwa

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.

Jika $f$ terdiferensialkan tak hingga kali, maka persamaan turunan dua kali dapat diteruskan menjadi deret Taylor untuk fungsi $f$ yang dievaluasi di $x + h$ sekitar titik $x$ .

Titik infleksi

Sebuah titik dimana nilai turunan sebuah fungsi berubah tanda disebut sebagai titik infleksi.^[2] Di titik infleksi, nilai turunan kedua mungkin bernilai nol, contohnya pada kasus titik $x = 0$ pada fungsi $f(x)=x^{3}$ , atau mungkin tidak terdefinisi, contohnya untuk titik $x = 0$ pada fungsi $f(x)=x^{\frac {1}{3}}$ . Di titik infleksi, bentuk fungsi berubah dari fungsi konveks (cembung) menjadi fungsi konkaf (cekung), atau sebaliknya.

Notasi turunan

Beberapa notasi yang umum digunakan untuk menunjukkan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.

Notasi Leibniz

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716), filsuf Jerman, matematikawan, dan nama notasi matematika yang paling luas digunakan dalam kalkulus.

Dalam kalkulus, notasi Leibniz, dinamakan untuk menghormati filsuf dan matematikawan Jerman abad ke-17 Gottfried Leibniz, menggunakan simbol dx dan dy untuk melambangkan pertambahan "kecil takhingga" (atau infinitesimal) dari x dan y, sebagaimana Δx dan Δy melambangkan pertambahan hingga dari x dan y. Untuk y sebagai fungsi dari x

y=f(x)\,,

turunan y terhadap x, yang kemudian dipandang sebagai

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},

adalah, menurut Leibniz, hasil bagi dari pertambahan kecil takhingga dari y oleh pertambahan kecil takhingga x, atau

{\frac {dy}{dx}}=f'(x),

dengan ruas kanan adalah notasi Lagrange untuk turunan f di x.

Meskipun sekarang matematikawan memandang integral

\int f(x)\,dx

sebagai limit

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,

dengan Δx adalah selang yang mengandung x_i, Leibniz memandangnya sebagai jumlahan (lambang integral menandakan penjumlahan) kuantitas infinitesimal yang banyaknya takhingga f(x) dx.

Salah satu kelebihan sudut pandang Leibniz adalah kesesuaiannya dengan analisis dimensi. Sebagai contoh, dalam notasi Leibniz, turunan kedua (menggunakan penurunan implisit) adalah

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f''(x)

dan memiliki satuan dimensi yang sama dengan ${\frac {y}{x^{2}}}$ .^[3]

Notasi Leibniz untuk turunan

${\frac {dy}{dx}}\,$ adalah notasi untuk turunan pertama.
${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,$ adalah notasi untuk turunan kedua.
${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$ adalah notasi untuk turunan ke-n.
$\left.{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\right|_{x=a}$ adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke - n pada $a$ .

Selain kedua notasi tersebut terdapat notasi lain untuk turunan. Notasi lain yang sering digunakan pada Mekanika klasik adalah

${\dot {x}}$ dengan satu titik diatas fungsi menandakan bahwa turunan pertama terhadap waktu ( ${\frac {d}{dt}}$ ), dan ${\ddot {x}}$ dua titik untuk turunan kedua terhadap waktu ( ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}$ ).

Notasi Newton

$y'$ adalah notasi untuk turunan pertama.
$y''$ adalah notasi untuk turunan kedua.
$f^{(n)}$ adalah notasi untuk turunan ke-n.
$f^{(n)}(a)$ adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke-n pada $a$ .

Aturan dalam menghitung

Diferensiasi

Dalam hal ini, $y = f (x) = mx + b$ , untuk bilangan riil $m$ dan $b$ dan kemiringan $m$ diberikan oleh

m={\frac {{\text{mengalih pada }}y}{{\text{mengalih pada }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},

Apa itu simbol $∆$ adalah singkatan untuk perubahan. $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$

Rumus di atas berlaku karena

{\begin{aligned}y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\Delta x+b\\&=y+m\Delta x.\end{aligned}}

Hasilnya adalah

\Delta y=m\Delta x.

Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.

Sifat - sifat turunan

Linearitas

${\frac {d}{dx}}(u\pm v)=u'\pm v'\,$
${\frac {d}{dx}}(nu)=n{\frac {du}{dx}}\,$

Aturan produk

${\frac {d}{dx}}(uv)=u'v+uv'\,$

Dalil rantai

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dv}}\cdot {\frac {dv}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}\,$

Sifat umum lain

${\frac {d}{dx}}({\frac {u}{v}})={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,$
${\frac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}\,$
${\frac {d}{dx}}(u^{n})=nu^{n-1}\cdot {\frac {du}{dx}}$

Dimana fungsi $u$ dan $v$ adalah fungsi satu variabel $x$ .

Eksponen dan bilangan natural

${\frac {d}{dx}}(e^{x})=e^{x}\,$
${\frac {d}{dx}}(a^{x})=a^{x}\ln {a}\,$

Logaritma dan bilangan natural

${\frac {d}{dx}}(\ln {x})={\frac {1}{x}}\,$
${\frac {d}{dx}}(\log _{a}{x})={\frac {1}{x\ln {a}}}\,$

Trigonometri

${\frac {d}{dx}}(\sin {x})=\cos {x}\,$
${\frac {d}{dx}}(\cos {x})=-\sin {x}\,$
${\frac {d}{dx}}(\tan {x})=\sec ^{2}{x}\,$
${\frac {d}{dx}}(\cot {x})=-\csc ^{2}{x}\,$
${\frac {d}{dx}}(\sec {x})=\sec {x}\tan {x}\,$
${\frac {d}{dx}}(\csc {x})=-\csc {x}\cot {x}\,$

Invers

${\frac {d}{dx}}(\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}(\arccos x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}(\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccot} x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccsc} x)={\frac {-1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Hiperbolik

${\frac {d}{dx}}(\sinh {x})=\cosh {x}\,$
${\frac {d}{dx}}(\cosh {x})=\sinh {x}\,$
${\frac {d}{dx}}(\tanh {x})={\text{sech}}^{2}\,{x}\,$
${\frac {d}{dx}}(\coth {x})=-{\text{csch}}^{2}{x}\,$
${\frac {d}{dx}}({\text{sech}}\,{x})=-{\text{sech}}\,{x}\tanh {x}$
${\frac {d}{dx}}({\text{csch}}\,{x})=-{\text{csch}}\,{x}\coth {x}$

Generalisasi

Sejarah

Turunan umum

Lihat pula

Referensi

^ Spivak 1994, chapter 10.
^ Apostol 1967, §4.18
^ Perhatikan bahwa ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ adalah notasi ringkas untuk ${\frac {d{\frac {dy}{dx}}}{dx}}$ , atau, dalam kata lain diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x. Penyebut bukanlah diferensial dari x², atau diferensial kedua dari x.

Bacaan lebih lanjut

Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3. (Indonesia)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5. (Indonesia)

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"

[1] Spivak 1994, chapter 10.

[2] Apostol 1967, §4.18

[3] Perhatikan bahwa ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ adalah notasi ringkas untuk ${\frac {d{\frac {dy}{dx}}}{dx}}$ , atau, dalam kata lain diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x. Penyebut bukanlah diferensial dari x², atau diferensial kedua dari x.

[1]

[2]

[3]