Pengguna:Hadithfajri/Himpunan

Ini adalah bak pasir pribadi Hadithfajri. Bak pasir ini khusus milik Hadithfajri. Kegunaannya adalah sebagai halaman uji coba penyuntingan dan dapat ditemukan di halaman pribadi. Perlu diingat, ini bukanlah artikel. Untuk mencobanya, klik di sini.

Jika ingin menggunakan Bak pasir Wikipedia, klik di sini

Dalam matematika, himpunan (disebut juga kumpulan, kelompok, gugus, atau set) dapat dibayangkan sebagai kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas^[1], atau dengan kata lain himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.^[2]

Konsep himpunan seperti ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, Georg Cantor, pada akhir abad ke-19. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan".^[3]^[4]

Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber semua matematika diturunkan.^[5]

Menyatakan dan menuliskan himpunan

Hubungan 8 himpunan asam amino dengan menggunakan diagram Venn.

Objek dalam suatu himpunan disebut anggota. Notasi $\in$ digunakan untuk menyatakan keanggotaan himpunan. Misalnya pernyataan " $a$ anggota $S$ " dapat ditulis sebagai $a\in S$ . Ingkaran pernyataan itu ( $a$ bukan anggota $S$ ) dapat ditulis sebagai $a\not \in S$ . Nama himpunan lazim ditulis menggunakan huruf besar, misalnya ${\textstyle S}$ , ${\textstyle A}$ atau ${\textstyle C}$ , sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil ( ${\textstyle a}$ , ${\textstyle c}$ , ${\textstyle z}$ ).

Himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan secara baku^[6] dengan dua cara berikut, yaitu:

Cara pendaftaran, yaitu menulis semua anggota himpunan dalam kurung kurawal, serta antara anggotanya dipisahkan dengan koma. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan notasi elipsis (...).

B=\{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}

A=\{a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}

\mathbb {N} =\{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}

Cara merumuskan, yaitu dengan mendefinisikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut. Untuk cara ini digunakan notasi pembentuk himpunan.

O=\{u\,|\,u{\mbox{ adalah bilangan ganjil}}\}

E=\{x\,|\,x\in \mathbb {Z} \land (x{\mbox{ mod }}2=0)\}

P=\{p\,|\,p{\mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI}}\}

Himpunan juga dapat digambarkan dengan diagram Venn.

Himpunan kosong

Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut sebagai himpunan kosong, ditulis sebagai $\varnothing$ atau $\{\}$

Himpunan bagian

B

himpunan bagian (sejati) dari

A

Himpunan $B$ dikatakan himpunan bagian dari himpunan $A$ , ditulis sebagai $B\subseteq A$ , jika setiap anggota $B$ terdapat dalam $A$ . Secara formal, definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

$B\subseteq {\displaystyle A}\equiv \forall _{x}\,x\in B\rightarrow x\in {\displaystyle A}$ .

Notasi $B\subseteq A$ juga dapat dibaca "Himpunan $B$ termuat^[6] dalam himpunan $A$ " atau "Himpunan $B$ tercakup^[3] dalam himpunan $A$ "

Definisi di atas tetap benar untuk $B$ himpunan kosong dan $A$ sebarang himpunan. Sehingga dapat dikatakan himpunan kosong adalah himpunan bagian dari sebarang himpunan $A$ , ditulis $\varnothing \subseteq A$ . Definisi di atas juga membenarkan benar bahwa sebarang himpunan $A$ adalah himpunan bagian dari dirinya sendiri, ditulis $A\subseteq A$

Himpunan bagian sejati dari $A$ menunjuk pada himpunan bagian dari $A$ , tetapi tidak mencakup $A$ sendiri.

B\subset {\displaystyle A}\equiv B\subseteq {\displaystyle A}\wedge B\neq A

Kebalikan dari himpunan bagian adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

A\supseteq B\equiv B\subseteq A

Kesamaan dua himpunan

Himpunan $A$ dan B disebut sama, jika setiap anggota $A$ adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota $A$ .

A=B\equiv \forall _{x}\;x\in {\displaystyle A}\leftrightarrow x\in B

.

Dengan menggunakan definisi himpunan bagian, kesamaan dua himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut:

A=B\equiv {\displaystyle A}\subseteq B\wedge B\subseteq A

.

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan $A$ dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu $A$ adalah himpunan bagian B, kemudian buktikan bahwa B adalah himpunan bagian $A$ .

Kardinalitas himpunan

Kardinalitas suatu himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam himpunan tersebut.

Secara formal, dua himpunan $A$ dan $B$ memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat korespondensi satu-satu yang memetakan $A$ pada $B$ .

Kardinalitas himpunan hingga dan tak hingga

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan $\mathbb {N}$ , yaitu himpunan semua bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut himpunan terbilang.^[7] Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas ${\mathfrak {a}}$ . Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas ${\mathfrak {a}}$ , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Suatu himpunan disebut terhitung jika himpunan tersebut adalah berhingga atau terbilang.

Himpunan yang tidak terhitung disebut himpunan tak terhitung. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas ${\mathfrak {c}}$ . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal. Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas ${\mathfrak {c}}$ , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah ${\textstyle y=tan(\pi x-{\frac {1}{2}}\pi )}$ .

Himpunan kuasa

Himpunan kuasa dari himpunan $A$ adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari $A$ . Notasinya adalah ${\mathcal {P}}(A)$ .

Misal, jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka ${\mathcal {P}}(A)$ :

 { { },
   {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
   {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
   {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari $A$ adalah 2 pangkat banyaknya anggota $A$ .

|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}

Himpunan penyelesaian

Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua nilai yang memenuhi suatu relasi matematika seperti persamaan atau pertidaksamaaan.^[8]

Himpunan semesta

Dalam penerapan teori himpunan,^[9] himpunan semesta atau universum atau semesta pembicaraan adalah himpunan semua objek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta biasa dilambangkan dengan $S$ (dari "semesta") atau $U$ (dari "universum").

Dalam teori himpunan aksomatik, pengertian himpunan semesta ini tidak ada. "Himpunan beranggotakan semua himpunan" dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

A=\{x\,|\,x\notin A\}

Himpunan $A$ tidak mungkin ada, karena jika $A$ ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin $A$ bisa mengandung anggota tersebut.

Operasi himpunan

Gabungan

Gabungan himpunan $A$ dan $B$ .

Gabungan himpunan $A$ dan $B$ . adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota A atau B. Dinotasikan $A\cup B$ .

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

A ⊆ (A ∪ B).
A ⊆ B jika dan hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan antara himpunan $A$ dan $B$ .

Irisan himpunan $A$ dan $B$ . adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota A dan B. Dinotasikan $A\cap B$ .

Jika $A\cap B=\varnothing$ , maka A dan B dapat dikatakan saling pisah.

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi, Cici} ∩ {Dani, Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

A ∩ B ⊆ A.
A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Pelengkap (komplemen) himpunan $A$ adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota $A$ . Dinotasikan $A^{c}$ atau $A'$ .

Contoh:

{1, 2} \ {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat dasar komplemen:

A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.
(A′)′ = A.
A \ A = ∅.
A \ B = A ∩ B′.

Konsep komplemen dapat diperluas menjadi beda setangkup (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan

A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7, 8, 9, 10} dan {9, 10, 11, 12} adalah {7, 8, 11, 12}.
{Ana, Budi, Dedi, Felix} dan {Budi, Cici, Dedi, Ela} adalah {Ana, Cici, Ela, Felix}.

Komplemen B terhadap $A$ .

Komplemen $A$ terhadap U.

Beda setangkup himpunan $A$ dan B.

Aljabar himpunan

Hukum komutatif
- p ∩ q ≡ q ∩ p
- p ∪ q ≡ q ∪ p
Hukum asosiatif
- (p ∩ q) ∩ r ≡ p ∩ (q ∩ r)
- (p ∪ q) ∪ r ≡ p ∪ (q ∪ r)
Hukum distributif
- p ∩ (q ∪ r) ≡ (p ∩ q) ∪ (p ∩ r)
- p ∪ (q ∩ r) ≡ (p ∪ q) ∩ (p ∪ r)
Hukum identitas
- p ∩ S ≡ p
- p ∪ ∅ ≡ p
Hukum ikatan
- p ∩ ∅ ≡ ∅
- p ∪ S ≡ S
Hukum negasi
- p ∩ p' ≡ ∅
- p ∪ p' ≡ S
Hukum negasi ganda
- (p')' ≡ p
Hukum idempotent
- p ∩ p ≡ p
- p ∪ p ≡ p
Hukum De Morgan
- (p ∩ q)' ≡ p' ∪ q'
- (p ∪ q)' ≡ p' ∩ q'
Hukum penyerapan
- p ∩ (p ∪ q) ≡ p
- p ∪ (p ∩ q) ≡ p
Negasi S dan ∅
- S' ≡ ∅
- ∅' ≡ S

Kelas

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan $A=\{\{a,\,b\},\,\{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\}$ adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, ${\mathcal {P}}(A)$ adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut, $P=\{\{a,\,b\},c\}$ bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

\chi _{A}(x)={\begin{cases}1,\quad {\mbox{jika }}x\in {\displaystyle A}\\0,\quad {\mbox{jika }}x\notin {\displaystyle A}\end{cases}}

Jika $A=\{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}$ maka:

\chi _{A}(apel)=1

\chi _{A}(durian)=0

\chi _{A}(utara)=0

\chi _{A}(pisang)=1

\chi _{A}(singa)=0

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa ${\mathcal {P}}(S)$ dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

 Himpunan                            Representasi Biner
 ----------------------------        -------------------
                                     a b c d e f g
 S = { a, b, c, d, e, f, g }   -->   1 1 1 1 1 1 1
 A = { a,    c,    e, f    }   -->   1 0 1 0 1 1 0
 B = {    b, c, d,    f    }   -->   0 1 1 1 0 1 0

Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi^[10].

Referensi

^ Negoro, ST (1998). Ensiklopedia matematika. Ciawi: Ghalia Indonesia. ISBN 978-979-450-133-7.
^ "Set | mathematics and logic". Encyclopedia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-21.
^ ^a ^b Hakim., Nasoetion, Andi (1982). Landasan matematika. Bhratara Karya Aksara. OCLC 974924773.
^ Prof. Dr. Wahyudin M.Pd. (2019). Hakikat dan Sejarah Matematika. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka.
^ Ferreirós, José (2020). Zalta, Edward N., ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edisi ke-Summer 2020). Metaphysics Research Lab, Stanford University.
^ ^a ^b Marsudi (2010-10-08). Logika dan Teori Himpunan. Universitas Brawijaya Press. ISBN 978-979-8074-51-6.
^ Hendra Gunawan (2017). Menuju Tak Terhingga. Bandung: ITB Press.
^ Julan Hernadi (2021). Fondasi Matematika & Metode Pembuktian. Ponorogo: UMPO Press.
^ Setiadji (2009). Himpunan & Logika Samar serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu. ISBN 978-979-756-488-9.
^ Delphi 5 Memory Management Diarsipkan 2007-08-05 di Wayback Machine.

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: {\displaystyle A} Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

[1] Negoro, ST (1998). Ensiklopedia matematika. Ciawi: Ghalia Indonesia. ISBN 978-979-450-133-7.

[:1-2] "Set | mathematics and logic". Encyclopedia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-21.

[:2-3] Hakim., Nasoetion, Andi (1982). Landasan matematika. Bhratara Karya Aksara. OCLC 974924773.

[4] Prof. Dr. Wahyudin M.Pd. (2019). Hakikat dan Sejarah Matematika. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka.

[5] Ferreirós, José (2020). Zalta, Edward N., ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edisi ke-Summer 2020). Metaphysics Research Lab, Stanford University.

[:3-6] Marsudi (2010-10-08). Logika dan Teori Himpunan. Universitas Brawijaya Press. ISBN 978-979-8074-51-6.

[7] Hendra Gunawan (2017). Menuju Tak Terhingga. Bandung: ITB Press.

[8] Julan Hernadi (2021). Fondasi Matematika & Metode Pembuktian. Ponorogo: UMPO Press.

[9] Setiadji (2009). Himpunan & Logika Samar serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu. ISBN 978-979-756-488-9.

[10] Delphi 5 Memory Management Diarsipkan 2007-08-05 di Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

l b s Teori himpunan
Umum	Himpunan (matematika)
Aksioma	Adjungsi Batas ukuran Determinasi Gabungan Himpunan kuasa Keberaturan Kebisadibangunan (V=L) Perluasan Pasangan Pemilihan tercacah terikat global Takhingga Aksioma Martin Skema aksioma penggantian spesifikasi
Operasi	Gabungan Gabungan lepas Himpunan kuasa Hukum De Morgan Irisan Komplemen Produk Kartesius Selisih himpunan Beda setangkup
Konsep Metode	Argumen diagonal Bilangan kardinal (besar) Bilangan ordinal Diagram Venn Elemen pasangan terurut rangkap Hipotesis kontinum Induksi lintas-hingga Kardinalitas Kelas Keluarga Korespondensi satu-ke-satu Pemaksaan Semesta yang bisa dibangun
Jenis himpunan	Himpunan bagian · Superhimpunan Berhingga (turun-temurun) Takhingga (takhingga Dedekind) Kabur Kosong Rekursif Semesta Tercacah Tak tercacah Transitif
Teori	Aksiomatik Alternatif Naif Teorema Cantor Zermelo Umum Principia Mathematica New Foundations (NF, NFU) Zermelo–Fraenkel (ZFC) von Neumann–Bernays–Gödel (NBG) Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoks Masalah	Paradoks Russell Masalah Suslin Paradoks Burali-Forti
Teoretisi himpunan	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Thoralf Skolem Willard Quine

l b s Jenis himpunan berdasarkan cabang matematika
Teori himpunan	Himpunan (matematika) Himpunan bagian (Subhimpunan) Himpunan Fin Himpunan hingga Himpunan kabur Himpunan kosong Himpunan pangkat Himpunan rekursif Himpunan saling lepas Himpunan semesta Himpunan takhingga Himpunan taktercacahkan Himpunan tercacahkan Himpunan transitif
Analisis kompleks	Himpunan Julia Himpunan Mandelbrot
Teori tatanan	Himpunan terurut parsial
Topologi	Himpunan cembung Himpunan terbuka