Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 03/1

Semua fungsi trigonometrik dari sudut θ dapat dibangun secara geometri dalam lingkaran satuan yang berpusat pada O.

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = "tiga sudut" dan metron = "mengukur")^[1] adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Helenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.^[2]

Trigonometri mudah dikaitkan dalam bidang segitiga siku-siku (dengan hasil jumlah besar kedua sudut lancip sama dengan besar sudut siku-siku). Peranan untuk selain segitiga siku-siku juga ada. Sejak segitiga yang bukan siku-siku dapat dibagi menjadi dua segitiga siku-siku, banyak masalah yang dapat diatasi dengan penghitungan segitiga siku-siku. Karena itu, sebagian besar penggunaan trigonometri berhubungan dengan segitiga siku-siku. Satu pengecualian untuk spherical trigonometry, yakni pelajaran trigonometri dalam sphere atau permukaan dari curvature relatif positif dalam elips geometri (bagian yang berperan dalam menemukan astronomi dan navigasi). Trigonometri dalam curvature negatif merupakan bagian dari geometri hiperbola.

Pada abad ke-3 Masehi, astronom pertama kali mencatat panjang sisi-sisi dan sudut-sudut dari segitiga siku-siku antara masing-masing sisi yang memiliki hubungan: ini dia, jika setidaknya salah satu panjang sisi dan salah satu nilai sudut diketahui, lalu semua sudut dan panjang dapat ditentukan secara algoritme. Penghitungan ini didefiniskan menjadi fungsi trigonometrik dan saat ini menjadi dalam bagian matematika murni dan terapan: contohnya untuk menganalisis metode dasar seperti transformasi fourier atau gelombang persamaan, menggunakan fungsi trigonometrik untuk memahami fenomena hal yang berhubungan dengan lingkaran melalui banyak penggunaan dibidang yang berbeda seperti fisika, teknik mesin dan listrik, musik dan akustik, astronomi, dan biologi. Trigonometri juga memiliki peranan dalam menemukan ilmu ukur wilayah.

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu.^[3] Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Prancis.

Kegunaan

Animasi Voyager 2 lintasan dari Agustus 20, 1977 hingga Desember 30, 2000 Voyager 2 · Bumi · Jupiter · Saturnus · Uranus · Neptunus · Matahari. Trigonometri salah satu perhitungan yang harus digunakan dalam bidang astronomi

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik,^[4] geodesi, penyintesis,^[5] arsitektur,^[6] elektronik,^[4] biologi,^[7] pencitraan medis (seperti tomografi terkomputasi dan ultrasonik), farmasi, ^[8] kimia,^[9] teori bilangan (dan termasuk kriptografi),^[10] seismologi,^[11] meteorologi,^[12] oseanografi,^[13] kompresi citra,^[14] fonetik,^[15] ekonomi,^[16] teknik listrik, teknik mesin, teknik sipil,^[4] grafika komputer,^[17] kartografi,^[4] kristalografi^[18] dan pengembangan permainan video.^[17]

Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales.^{[nb 1]}

Fungsi trigonometri

Segitiga siku-siku

ABC

dimana

AC=b

dan

BC=a

adalah sisi segitiga dan

AB=c

adalah hipotenusa.

Definisi dasar

Fungsi trigonometri dapat didefinisikan melalui segitiga siku-siku, dimana $ABC$ adalah segitiga siku-siku, $a$ dan $b$ adalah sisi-sisi segitiga beserta $c$ adalah hipotenusa atau sisi miring segitiga. Misalkan $A$ adalah sudut yang diketahui.

Fungsi sin didefinisikan sebagai rasio sisi depan dengan hipotenusa.

$\sin A={\frac {\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {a}{c}}$ .

Fungsi cos didefinisikan sebagai rasio sisi samping dengan hipotenusa.

$\cos A={\frac {\text{sisi samping}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {b}{c}}$ .

Fungsi tan didefinisikan sebagai rasio sisi depan dengan sisi samping.

$\tan A={\frac {\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}}={\frac {a}{b}}$

Fungsi tan juga didefinisikan sebagai rasoi fungsi sinus dengan kosinus

$\tan A={\frac {\sin A}{\cos A}}$ .

Ketiga fungsi di atas merupakan salah satu fungsi trigonometri paling dasar. Kita dapat mencari suatu panjang maupun sudut segitiga sembarang dengan fungsi sinus dan kosinus melalui hukum sinus dan kosinus.^[20]^[21] Beberapa fungsi trigonometri lainnya, antara lain, kosekan (csc), sekan (sec), dan kotangen (cot).

\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}

.

\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {c}{b}}

.

\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {c}{a}}

.

Grafik fungsi trigonometri

Berikut adalah grafik mengenai fungsi trigonometri. Sebagai catatan bahwa $n$ adalah bilangan bulat.

Fungsi	Periode	Ranah	Kisaran
sinus	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
kosinus	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
tangen	$\pi$	$x\neq {\frac {\pi }{2}}+n\pi$	$(-\infty ,\infty )$
sekan	$2\pi$	$x\neq {\frac {\pi }{2}}+n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
kosekan	$2\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
kotangen	$\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,\infty )$

Identitas trigonometri

Identitas segitiga

Segitiga sembarang dengan

A

,

B

,

C

adalah sudut segitiga sembarang dan

a

,

b

,

c

adalah sisi-sisi segitiga sembarang.

Misalkan diberikan sebuah segitiga sembarang. Kita misalkan $A$ , $B$ , dan $C$ adalah sudut segitiga sembarang dan $a$ , $b$ , dan $c$ sisi-sisi segitiga. Suatu sisi maupun sudut dapat kita cari menggunakan hukum sinus, hukum kosinus, dan hukum tangen.

Hukum sinus

Untuk sembarang, hukum sinus berbunyi sebagai berikut:

Untuk sebuah segitiga sembarang, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang panjangnya sama.

Untuk sudut dan sisi yang diketahui, kita rumuskan sebagai:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$ .

Hukum kosinus

Hukum tangen

Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras adalah identitas trigonometri yang diturunkan dari identitas Pythagoras.^[22] Dengan kata lain, identitas Pythagoras merupakan konsep teorema Pythagoras melalui fungsi trigonometri. Berikut adalah identitas Pythagoras, antara lain:

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti

Dengan menggunakan definisi dari fungsi sinus dan kosinus, maka

\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}

Karena berupa segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Jadi,

\sin ^{2}A+\cos ^{2}A={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1

.

\blacksquare

$1+\tan ^{2}A=\sec ^{2}A$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
$1+\tan ^{2}A={\frac {\cos ^{2}A}{\cos ^{2}A}}+{\frac {\sin ^{2}A}{\cos ^{2}A}}={\frac {1}{\cos ^{2}A}}=\sec ^{2}A$ . $\blacksquare$

$1+\cot ^{2}A=\csc ^{2}A$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
$1+\cot ^{2}A={\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}A}}+{\frac {\cos ^{2}A}{\sin ^{2}A}}={\frac {1}{\sin ^{2}A}}=\csc ^{2}A$ . $\blacksquare$

Identitas Euler

Identitas Euler, yang dirumuskan sebagai $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ dimana $i$ bilangan imajiner, menghasilkan identitas fungsi sinus, kosinus, dan tangen sebagai berikut.

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}$ .

Identitas trigonometri lainnya

Identitas trigonometri lainnya seperti sudut rangkap dua, rangkap tiga, dan lainnya sebagainya dapat dilihat di Daftar identitas trigonometri.

Lihat pula

Catatan

^ Informasi lebih lanjut, dapat dilihat di ^[19]

Referensi

^ "trigonometry". Online Etymology Dictionary.
^ R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., The Gale Group (2002)
^ Mustaqim, Riza Afrian (2021-10-25). Ilmu Falak. Syiah Kuala University Press. hlm. 21. ISBN 978-623-264-396-3.
^ ^a ^b ^c ^d E. Richard Heineman; J. Dalton Tarwater (1 November 1992). Plane Trigonometry. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-028187-5.
^ Mark Kahrs; Karlheinz Brandenburg (18 April 2006). Applications of Digital Signal Processing to Audio and Acoustics. Springer Science & Business Media. hlm. 404. ISBN 978-0-306-47042-4.
^ Kim Williams; Michael J. Ostwald (9 February 2015). Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s. Birkhäuser. hlm. 260. ISBN 978-3-319-00137-1.
^ Dan Foulder (15 July 2019). Essential Skills for GCSE Biology. Hodder Education. hlm. 78. ISBN 978-1-5104-6003-4.
^ Luciano Beolchi; Michael H. Kuhn (1995). Medical Imaging: Analysis of Multimodality 2D/3D Images. IOS Press. hlm. 122. ISBN 978-90-5199-210-6.
^ Marcus Frederick Charles Ladd (2014). Symmetry of Crystals and Molecules. Oxford University Press. hlm. 13. ISBN 978-0-19-967088-8.
^ Gennady I. Arkhipov; Vladimir N. Chubarikov; Anatoly A. Karatsuba (22 August 2008). Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-019798-3.
^ Schiller, John J.; Wurster, Marie A. (1988). College Algebra and Trigonometry: Basics Through Precalculus (dalam bahasa Inggris). Scott, Foresman. ISBN 978-0-673-18393-4.
^ Study Guide for the Course in Meteorological Mathematics: Latest Revision, Feb. 1, 1943. 1943.
^ Mary Sears; Daniel Merriman; Woods Hole Oceanographic Institution (1980). Oceanography, the past. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90497-9.
^ "JPEG Standard (JPEG ISO/IEC 10918-1 ITU-T Recommendation T.81)" (PDF). International Telecommunication Union. 1993. Diakses tanggal 6 April 2019.
^ Kirsten Malmkjaer (4 December 2009). The Routledge Linguistics Encyclopedia. Routledge. hlm. 1. ISBN 978-1-134-10371-3.
^ Kamran Dadkhah (11 January 2011). Foundations of Mathematical and Computational Economics. Springer Science & Business Media. hlm. 46. ISBN 978-3-642-13748-8.
^ ^a ^b Christopher Griffith (12 November 2012). Real-World Flash Game Development: How to Follow Best Practices AND Keep Your Sanity . CRC Press. hlm. 153. ISBN 978-1-136-13702-0.
^ John Joseph Griffin (1841). A System of Crystallography, with Its Application to Mineralogy. R. Griffin. hlm. 119.
^ https://web.maths.unsw.edu.au/~norman/book.htm
^ Forseth, Krystle Rose; Burger, Christopher; Gilman, Michelle Rose; Rumsey, Deborah J. (2008-04-07). Pre-Calculus For Dummies (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-16984-1.
^ "Trigonometric Identities | Boundless Algebra". courses.lumenlearning.com. Diakses tanggal 2021-11-26.
^ "Trigonometric Identities | Boundless Algebra". courses.lumenlearning.com. Diakses tanggal 2021-11-26.

Pustaka

Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (edisi ke-Second Edition). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Trigonometric functions", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
Kristanto, Yosep Dwi (2016). Matematika Langkah Demi Langkah untuk SMA/MA Kelas X. Grasindo. ISBN 9786023756506.
Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner.
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 1B Untuk Kelas X Semester 2. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-501-7. (Indonesia)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-502-5. (Indonesia)

Pranala luar

Cari tahu mengenai Trigonometry pada proyek-proyek Wikimedia lainnya:
	Definisi dan terjemahan dari Wiktionary
	Gambar dan media dari Commons
	Berita dari Wikinews
	Kutipan dari Wikiquote
	Teks sumber dari Wikisource
	Buku dari Wikibuku

Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures
Trigonometric Delights Diarsipkan 2006-04-14 di Wayback Machine., by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
Trigonometry Diarsipkan 2007-11-04 di Wayback Machine. by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented.
Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzleat
Dave's Short Course in Trigonometry by David Joyce of Clark University
Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License Diarsipkan 2013-07-29 di Wayback Machine.
Detailed knowledge of Trigonometry formulas

[20] Informasi lebih lanjut, dapat dilihat di ^[19]

[1] "trigonometry". Online Etymology Dictionary.

[2] R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., The Gale Group (2002)

[3] Mustaqim, Riza Afrian (2021-10-25). Ilmu Falak. Syiah Kuala University Press. hlm. 21. ISBN 978-623-264-396-3.

[HeinemanTarwater1992-4] E. Richard Heineman; J. Dalton Tarwater (1 November 1992). Plane Trigonometry. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-028187-5.

[KahrsBrandenburg2006-5] Mark Kahrs; Karlheinz Brandenburg (18 April 2006). Applications of Digital Signal Processing to Audio and Acoustics. Springer Science & Business Media. hlm. 404. ISBN 978-0-306-47042-4.

[WilliamsOstwald2015-6] Kim Williams; Michael J. Ostwald (9 February 2015). Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s. Birkhäuser. hlm. 260. ISBN 978-3-319-00137-1.

[Foulder2019-7] Dan Foulder (15 July 2019). Essential Skills for GCSE Biology. Hodder Education. hlm. 78. ISBN 978-1-5104-6003-4.

[BeolchiKuhn1995-8] Luciano Beolchi; Michael H. Kuhn (1995). Medical Imaging: Analysis of Multimodality 2D/3D Images. IOS Press. hlm. 122. ISBN 978-90-5199-210-6.

[Ladd2014-9] Marcus Frederick Charles Ladd (2014). Symmetry of Crystals and Molecules. Oxford University Press. hlm. 13. ISBN 978-0-19-967088-8.

[ArkhipovChubarikov2008-10] Gennady I. Arkhipov; Vladimir N. Chubarikov; Anatoly A. Karatsuba (22 August 2008). Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-019798-3.

[11] Schiller, John J.; Wurster, Marie A. (1988). College Algebra and Trigonometry: Basics Through Precalculus (dalam bahasa Inggris). Scott, Foresman. ISBN 978-0-673-18393-4.

[12] Study Guide for the Course in Meteorological Mathematics: Latest Revision, Feb. 1, 1943. 1943.

[SearsMerriman1980-13] Mary Sears; Daniel Merriman; Woods Hole Oceanographic Institution (1980). Oceanography, the past. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90497-9.

[14] "JPEG Standard (JPEG ISO/IEC 10918-1 ITU-T Recommendation T.81)" (PDF). International Telecommunication Union. 1993. Diakses tanggal 6 April 2019.

[Malmkjaer2009-15] Kirsten Malmkjaer (4 December 2009). The Routledge Linguistics Encyclopedia. Routledge. hlm. 1. ISBN 978-1-134-10371-3.

[Dadkhah2011-16] Kamran Dadkhah (11 January 2011). Foundations of Mathematical and Computational Economics. Springer Science & Business Media. hlm. 46. ISBN 978-3-642-13748-8.

[Griffith2012-17] Christopher Griffith (12 November 2012). Real-World Flash Game Development: How to Follow Best Practices AND Keep Your Sanity . CRC Press. hlm. 153. ISBN 978-1-136-13702-0.

[Griffin1841-18] John Joseph Griffin (1841). A System of Crystallography, with Its Application to Mineralogy. R. Griffin. hlm. 119.

[19] ttps://web.maths.unsw.edu.au/~norman/book.htm

[21] Forseth, Krystle Rose; Burger, Christopher; Gilman, Michelle Rose; Rumsey, Deborah J. (2008-04-07). Pre-Calculus For Dummies (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-16984-1.

[22] "Trigonometric Identities | Boundless Algebra". courses.lumenlearning.com. Diakses tanggal 2021-11-26.

[23] "Trigonometric Identities | Boundless Algebra". courses.lumenlearning.com. Diakses tanggal 2021-11-26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[nb 1]

[20]

[21]

[22]

[19]

l b s Matematika (Bidang matematika)
Fondasi	Filsafat matematika Logika matematika Teori himpunan Teori informasi Teori kategori Teori tipe
Aljabar	Abstrak Elementer Homologis Komutatif Linear Multilinear Universal Teori grup Teori representasi
Analisis	Kalkulus Analisis fungsional Analisis harmonik Analisis kompleks Analisis real Persamaan diferensial Teori ukuran Teori sistem dinamis
Diskret	Kombinatorika Teori graf Teori order
Geometri	Aljabar Analitis Diferensial Diskrit Euklides Hingga Trigonometri
Komputasi	Analisis numerik (Topik) Ilmu komputer Komputasi simbolik Teori komputasi Teori kompleksitas komputasi Optimisasi matematika
Teori bilangan	Aritmetika Geometri Diophantine Teori bilangan aljabar Teori bilangan analitis
Topologi	Teori homotopi Aljabar Diferensial Geometris Umum
Terapan	Matematika biologi Matematika ekonomi Matematika keuangan Fisika matematis Kimia matematika Psikologi matematis Statistika Statistika matematika Teori peluang Ilmu sistem (Teori kendali, Teori permainan, Riset operasi)
Divisi	Matematika murni Matematika terapan Matematika diskret Matematika komputasi
Topik terkait	Matematika dan seni Matematika rekreasi Pendidikan matematika Sejarah matematika
Kategori Portal matematika Kerangka Daftar