Bilangan bulat

Bilangan bulat (bahasa Latin: integer, berarti menyeluruh) adalah bilangan yang terdiri dari $0$ dan bilangan asli, atau bilangan bulat positif $\{1,2,3,4,\dots \}$, yang disebut sebagai bilangan cacah beserta invers aditif, bilangan bulat negatif, $\{-1,-2,-3,-4,\dots \}$ dan dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Sebagai contoh, $3$, $128$, dan $-1289$ adalah bilangan bulat. Walakin, tidak seperti ${\sqrt {5}}$, ${\tfrac {3}{8}}$, atau $\pi$ yang merupakan bilangan irasional dan bilangan rasional. Bahkan terlebih lagi, bilangan desimal pun juga bukan merupakan bilangan bulat karena berupa konversi dari pecahan.

Meskipun demikian bahwa pecahan bukan merupakan bilangan bulat, melainkan bilangan rasional, namun kaitan bilangan bulat dengannya sangatlah kuat. Definisi bilangan rasional, yang berbentuk pecahan, dapat dinyatakan pada pembilang dan penyebut berupa bilangan bulat, sebagai eksepsi penyebut adalah bilangan bulat taknol. Adapun hubungan kuat lainnya, ketika penyebut adalah 1, maka bilangan tersebut berupa bilangan bulat.

Pada garis bilangan, daerah selang berwarna biru dan hijau masing-masing mewakili daerah bilangan negatif dan bilangan positif.

Simbol Z, yang berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan") melambangkan himpunan untuk bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional, sekaligus juga dari bilangan real

Dalam teori himpunan, kumpulan-kumpulan mengenai anggota-anggota yang secara keseluruhannya adalah bilangan bulat merupakan himpunan bilangan bulat. Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika sering dilambangkan dalam bentuk $\mathbb {Z}$, atau dapat dilambangkan dalam huruf tebal ($\mathbf {Z}$). Huruf kapital Latin, Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan"). $\mathbb {Z}$ merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional dan juga merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan real.

Notasi himpunan bilangan bulat

Notasi $\mathbb {Z}$ sebagai himpunan bilangan bulat memiliki berbagai ragam notasi, di antaranya $\mathbb {Z} ^{+}$ yang melambangkan bilangan bulat positif. Terdapat notasi lain yang ditulis juga berdasarkan penulis lain, yaitu $\mathbb {Z} _{+}$ atau $\mathbb {Z} ^{>}$. Notasi $\mathbb {Z} ^{-}$ melambangkan bilangan bulat negatif. Untuk notasi bilangan bulat taknegatif dapat ditulis sebagai $\mathbb {Z} ^{0+}$atau $\mathbb {Z} ^{\geq }$, sementara notasi bilangan bulat taknol ditulis $\mathbb {Z} ^{\neq 0}$ atau $\mathbb {Z} ^{*}$. Notasi lain, yaitu ${\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z}$ melambangkan setengah bilangan bulat.

Sebagai notasi adisional yang berkaitan dengan simbol dalam himpunan bilangan bulat di atas, terdapat notasi lain, yaitu $\mathbb {Z} _{n}$, di mana notasi tersebut melambangkan himpunan bilangan bulat modulo-$n$, yaitu himpunan dari semua kelas kekongruenan dari bilangan bulat terhadap modulo-$n$. Berbeda dengan $\mathbb {Z} ^{n}$ yang melambangkan kekisi bilangan bulat.

Sifat aljabar dan aksioma bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat $\mathbb {Z}$ merupakan himpunan bilangan yang merupakan perluasan dari bilangan asli. Sebagai contoh mengenai salah satu sifat aljabar datau aksioma bilangan bulat, himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penambahan. Artinya, jumlah dua bilangan bulat juga bilangan bulat.

Sebagai contoh mengenai sifat ketertutupan pada tabel di atas, yaitu penambahan. Dalam gambar di bawah, $3$, bernilai positif yang ditambahkan oleh $2$, bernilai positif juga akan menghasilkan bilangan positif, yaitu $5$. Terdapat contoh dan permisalan lain: ketika $2$ yang bernilai positif dikurangi oleh $6$, bernilai positif (atau dituliskan $-6$ sebagai bilangan negatif) akan memberikan bilangan bernilai negatif, yaitu $-4$.

Dengan memperhatikan bahwa contoh pertama, bilangan bulat yang ditambahkan akan menuju ke kanan, di mana daerah tersebut berupa selang bilangan positif. Sedangkan contoh kedua menuju ke kiri, yang mengarah selang bilangan negatif.

Himpunan bilangan bulat juga tertutup terhadap perkalian. Artinya, hasil kali dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Berbeda halnya dengan bilangan asli, $\mathbb {Z}$ juga tertutup terhadap bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu $\mathbb {Z}$ tidak tertutup terhadap pembagian.

Untuk penjelasan lebih lanjut, berikut adalah tabel mengenai sifat-sifat dan aksioma terhadap himpunan bilangan bulat.

	Penambahan	Perkalian
Ketertutupan	$a+b$ adalah bilangan bulat	$a\times b$ adalah bilangan bulat
Asosiatif	$a+(b+c)=(a+b)=c$	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
Komutatif	$a+b=b+a$	$a\times b=b\times a$
Elemen identitas	$a+0=a$	$a\times 1=a$
Elemen invers	$a+(-a)=0$	$a\times {\frac {1}{a}}=1$
Distributif	$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$

Dalam teori bilangan

Dalam teori bilangan, bilangan bulat sangat interdependensi dengan salah satu topik yang telah dipelajari semenjak duduk di bangku sekolah dasar, yakni faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil. Kalakian, dilanjutkan ke keterbagian, modulo, fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil, dan fungsi phi Euler.

Faktor persekutuan terbesar

Artikel utama: Faktor persekutuan terbesar

Faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan $\operatorname {FPB}$ atau $\operatorname {PBT}$ dalam bahasa Indonesia, dan $\gcd$ dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata greatest common divisor) terhadap dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat.

Kelipatan persekutuan terkecil

Artikel utama: Kelipatan persekutuan terkecil

Kelipatan persekutuan terkecil, (disingkat $\operatorname {KPK}$ dalam bahasa Indonesia atau $\operatorname {lcm}$ atau $\operatorname {LCM}$ dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata least common multiple atau lowest common mulitple) terhadap dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan tersebut.

Keterbagian

Artikel utama: Pembagi

Keterbagian terjadi dimana bilangan bulat habis membagi bilangan bulat lainnya. Tinjau bilangan bulat $m$ dan $n$, maka dapat ditulis $m\mid n$ di mana $m$ merupakan pembagi $n$ jika dan hanya jika $n$ merupakan kelipatan dari $m$. Pernyataan ekuivalen lainnya dapat ditulis dengan

$mk=n$

di mana $k$ merupakan bilangan bulat.

Modulo

Artikel utama: Aritmetika modular

Salah satu topik yang berkaitan dengan bilangan bulat, modulo, yakni bilangan bulat yang dibagi oleh bilangan bulat menghasilkan sisa dari hasil bagi tersebut. Kekongruenan pada modulo dapat ekuivalen atau setara dengan algoritma Euklides diperluas:

$ax+bn=1\iff ax\equiv 1{\pmod {n}}$.

Fungsi bilangan bulat terbesar

Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Artikel utama: Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Fungsi bilangan bulat terkecil

Fungsi bagian bilangan bulat.

Dalam teori bilangan, fungsi bilangan bulat terbesar (bahasa Inggris: greatest integer function) adalah suatu fungsi dimana ketika suatu bilangan real dipetakan, maka akan berupa bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan bilangan yang dipetakan. Fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinotasikan sebagai $\lfloor x\rfloor$, atau $[|x|]$. Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil (bahasa Inggris: least integer function), yakni suatu fungsi dimana ketika suatu bilangan real dipetakan, maka akan berupa bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan bilangan yang dipetakan. Fungsi tersebut dinotasikan sebagai $\lceil x\rceil$, atau $]|x|[$.

Terdapat satu fungsi lagi, yaitu fungsi bagian bilangan bulat, dimana nilai akan berupa bilangan bulat sebelum bilangan desimal dari bilangan real ketika dipetakan ke fungsi tersebut. Ini dilambangkan $[x]$ sebagai fungsi bilangan bulat. Secara matematis, dirumuskan sebagai

$[x]={\begin{cases}\lfloor x\rfloor ,&{\text{jika }}x\geq 0\\\lceil x\rceil ,&{\text{jika }}x<0\end{cases}}$.

Fungsi phi Euler

Artikel utama: Fungsi phi Euler

Dalam fungsi phi Euler, seribu nilai pertama $\varphi (n)$. Titik di garis atas adalah $\varphi (p)$, dengan $p$ adalah bilangan prima, yaitu $p-1$.

Sebuah fungsi untuk mencari banyaknya bilangan asli (atau bilangan bulat positif) yang kurang dari sama dengan $n$ yang relatif prima terhadap disebut fungsi phi Euler. Dua bilangan disebut relatif prima jika faktor persekutuan terbesar terhadap kedua bilangan tersebut sama dengan 1. Fungsi yang dikemukakan oleh Leonhard Euler, menggunakan huruf Yunani, $\phi$ atau $\varphi$ (dibaca phi), yang melambangkan fungsi phi Euler sebagai $\phi (n)$ atau $\varphi (n)$.

Kekardinalan himpunan bilangan bulat

Kekardinalan dalam himpunan bilangan bulat adalah tercacahkan, dengan korespondensi ke bijeksi $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ yang didefinisikan sebagai:

$f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}},&{\text{jika }}n{\text{ genap}}\\-{\frac {n-1}{2}},&{\text{jika }}n{\text{ ganjil}}\end{cases}}$.

Beragam bilangan bulat

Bilangan bulat Gauss

Artikel utama: Bilangan bulat Gauss

Dalam teori bilangan, bilangan bulat Gauss adalah bilangan kompleks, dimana bagian riil dan bagian imajiner adalah bilangan bulat, dengan penambahan dan perkalian biasa terhadap bilangan kompleks akan membentuk ranah integral. Bilangan bulat Gauss dapat dilambangkan sebagai $\mathbf {Z} [i]$ dan dapat rumuskan ini sebagai

$\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$.

Rumus di atas memberikan keterangan, di mana $i$ adalah bilangan khayal.

Bilangan bulat Eisenstein

Artikel utama: Bilangan bulat Eisenstein

Bilangan bulat Eisenstein, dinamai dari Gotthold Eisenstein, atau dikenal juga sebagai bilangan bulat Eisenstein–Jacobi, adalah bilangan dengan bentuk $a+b\omega$. Bilangan bulat Eisenstein dapat dinyatakan sebagai

$\mathbf {Z} [\omega ]=\{a+b\omega \mid a,b\in \mathbb {Z} \}$.

dimana $\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$.

Grup bilangan bulat

Dalam aljabar abstrak, bilangan bulat berkaitan dengan grup. Grup dalam himpunan bilangan bulat memenuhi suatu syarat, yaitu ketertutupan, merupakan asosiatif, memiliki identitas 0, dan memiliki invers terhadap penambahan, dinotasikan dalam bentuk $(\mathbb {Z} ,+)$, tetapi tidak tertutup terhadap perkalian karena tidak memiliki invers sehingga tidak memenuhi syarat grup.

Sifat terurut

Himpunan bilangan bulat dapat diurutkan, baik dimulai dari nilai terbesar hingga terkecil maupun dari nilai terkecil hingga terbesar. Urutan bilangan bulat ditentukan melalui pendekatan garis bilangan dengan angka 0 sebagai nilai tengah di antara bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif. Dua bilangan bulat dibandingkan dengan lambang-lambang yaitu lebih dari, kurang dari, lebih dari atau sama dengan, atau kurang dari atau sama dengan, masing-masing dilambangkan sebagai $>$, $<$, $\geq$, dan $\leq$.

Perbandingan dilakukan mulai dari bilangan bulat yang berada di sisi kiri lambang. Bilangan bulat dinyatakan positif jika nilainya $>0$ dan dinyatakan negatif jika nilainya $<0$. Sedangkan penggunaan tanda $\leq$ menyatakan bahwa bilangan tidak positif, dan penggunaan tanda $\geq$ menyatakan bahwa bilangan tidak negatif.

Aplikasi bilangan bulat

Sebuah termometer yang menunjukkan suhu sekitar $-17^{\circ }{\mbox{C}}$.

Salah satu aplikasi yang paling umum dan yang paling sering ditemui adalah mengenai pengukuran kuantitatif yang menyatakan panas dan dingin, yang dinamakan sebagai suhu dalam termometer, dimana skalanya dapat bernilai positif maupun negatif. Sebagai umpama dan permisalannya, terdapat sebuah kota dengan suhu sekitar 23 derajat Celsius. Hal tersebut dapat dituliskan secara matematis, yakni $23^{\circ }{\mbox{C}}$. Umpama lainnya adalah sebuah pegunungan bersalju yang suhu terdinginnya mencapai titik ekstrem, yaitu sekitar $-1^{\circ }{\mbox{C}}$. Penerapan bilangan bulat tidak hanya di suhu, tetapi bilangan bulat dapat diterapkan juga dalam bidang ekonomi. Bilangan bulat pada bidang tersebut menerapkan keuntungan dan kerugian pada suatu keuangan.

Bilangan bulat juga diterapkan dalam cabang bumi yang mempelajari lautan, oseanografi. Salah satunya adalah bilangan bulat dipakai untuk para penyelam dan kapten kapal selam laut, melalui ketinggian negatif, dengan kata lain ketinggian dalam laut.

Dalam ilmu komputer, Integer digunakan untuk merujuk kepada tipe data apapun yang merepresentasikan bilangan bulat, atau beberapa bagian dari bilangan bulat.

Dalam bahasa pemrograman, bilangan bulat juga berkaitan dengan bahasa pemrograman Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte (16 bit) karena integer adalah type data signed maka hanya mampu di-assign nilai antara $-2^{15}$ sampai hingga $2^{15}-1$, yaitu $-32768$ sampai $32767$.

Lihat pula

• Aritmetika modular
• Bilangan asli
• Bilangan bulat Eisenstein
• Bilangan bulat kekisi
• Bilangan bulat Gauss
• Bilangan cacah
• Bilangan rasional
• Faktor persekutuan terbesar
• Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil
• Fungsi phi Euler
• Kelipatan persekutuan terkecil
• Keterbagian

Pranala luar

• Brilliant Math and Science – Integers