Basis (aljabar linear)

(Dialihkan dari Basis Hamel)

Dalam matematika, sebarang himpunan vektor B dalam suatu ruang vektor V disebut basis, jika setiap elemen di V dapat dituliskan sebagai kombinasi linear terhingga yang unik dari elemen-elemen di B. Koefisien-koefisien pada kombinasi linear tersebut disebut sebagai koordinat dari vektor terhadap B. Elemen-elemen dari basis disebut sebagai vektor basis. Basis juga dapat didefinisikan sebagai himpunan B yang elemen-elemennya saling bebas linear dan setiap elemen di V adalah kombinasi linear dari elemen-elemen di B.[1] Dengan kata lain, basis adalah himpunan merentang (spanning) yang bebas linear.

Vektor yang sama (panah berwarna biru tua) dapat dinyatakan dengan menggunakan dua basis yang berbeda (panah-panah berwarna ungu dan berwarna merah).

Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis; namun semua basis tersebut akan memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari ruang vektor. Artikel ini secara umum membahas ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan juga berlaku untuk ruang vektor dimensi tak-hingga.

Definisi

sunting

Basis untuk ruang vektor   (atas medan  ) adalah suatu himpunan bagian   yang memenuhi:

  1. Setiap   dapat dituliskan sebagai   dengan  .
  2. Jika   representasi lain, maka   dan ada suatu permutasi   yang   dan  .

Sebarang basis   dari suatu ruang vektor   atas lapangan   (seperti bilangan riil   atau bilangan kompleks  ) adalah suatu subset dari   yang saling bebas linear dan merentang  . Hal ini mengartikan suatu subset   dari   merupakan basis jika memenuhi dua syarat berikut:

kebebasan linear
Untuk setiap subset terhingga   dari  , jika   untuk suatu   di F, maka  ;
merentang linear
Untuk setiap vektor  , terdapat   skalar   di F dan   vektor   di B, sehingga  .

Skalar-skalar   disebut koordinat dari vektor   terhadap basis  , dan berdasarkan sifat pertama, nilai mereka unik (tunggal). Ruang vektor disebut berdimensi hingga jika ruang vektor tersebut memiliki basis dengan total elemen yang berhingga.

Vektor-vektor basis seringkali (dan terkadang harus) perlu memiliki urutan total untuk mempermudah pembahasan. Sebagai contoh, ketika basis digunakan untuk membahas orientasi, atau untuk membahas koefisien-koefisien vektor terhadap suatu basis tanpa perlu merujuk secara eksplisit elemen-elemen dari basis. Istilah basis terurut terkadang digunakan untuk mempertegas bahwa suatu urutan telah dipilih; yang sebenarnya menyebabkan basis bukan lagi sebagai suatu himpunan tak-terurut, melainkan sebagai suatu barisan (atau sejenisnya). Pembahasan lebih lanjut tersedia di bagian Koordinat di bawah.

Contoh

sunting
 
Gambar ini mengilustrasikan basis standar di   yang elemennya adalah vektor biru dan oranye. Vektor hijau dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis, mengakibatkan vektor ini bergantung linear pada mereka.

Himpunan   dari pasangan terurut bilangan riil adalah suatu ruang vektor dibawah operasi penjumlahan komponen-demi-komponen dan perkalian dengan   adalah sebarang bilangan riil. Contoh basis yang sederhana dari ruang vektor ini adalah himpunan yang berisi vektor   dan  . Kedua vektor ini membentuk sebuah basis (yang disebut basis standar) karena sebarang vektor   di   dapat ditulis secara unik sebagai Sebarang pasangan vektor yang saling bebas linear di  , seperti   dan  , juga membentuk sebuah basis untuk  . Secara umum, jika   berupa lapangan, maka himpunan   yang berisi rangkap-n elemen-elemen dari   adalah sebuah ruang vektor, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang serupa dengan contoh pembuka tadi. Misalkan adalah rangkap-n dengan semua komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i, yang bernilai 1. Himpunan   membentuk suatu basis (terurut) untuk   yang disebut dengan basis standar dari   Contoh yang berbeda terlihat pada gelanggang polinomial. Jika   berupa lapangan, himpunan   dari semua polinomial satu-variabel dengan koefisien-koefisiennya berada di  , merupakan suatu ruang vektor. Salah satu basis untuk ruang ini adalah basis monomial B, yang berisi semua monomial: Contoh lain dari basis untuk ruang vektor tersebut adalah polinomial basis Bernstein dan polinomial Chebyshev.

Sifat-sifat

sunting

Banyak sifat dari basis terhingga merupakan hasil dari lema pertukaran Steinitz, yang menyatakan bahwa, untuk sebarang ruang vektor  , dan sebarang penetapan himpunan merentang   dan himpunan bebas linear   berisi   elemen dari  ,   elemen dari   dapat dipilih sedemikian rupa untuk ditukar dengan elemen-elemen di   sehingga menghasilkan suatu himpunan merentang yang: mengandung  , elemen-elemen yang lainnya berada di  , dan memiliki jumlah elemen yang sama dengan  . Sebagian besar sifat yang dihasilkan dari lema tersebut masih berlaku ketika tidak ada himpunan merentang yang terhingga, namun pembuktian untuk keadaan ini memerlukan aksioma pemilihan atau suatu bentuk yang lebih lemahnya, seperti lema ultrafilter.

Jika   adalah ruang vektor atas lapangan  , maka:

  • Untuk sebarang subset bebas linear   dari sebarang himpunan merentang  , terdapat suatu basis   sehingga  
  •   memiliki basis (hal ini dapat dihasilkan dari sifat sebelumnya dengan memilih   sebagai himpunan kosong, dan  ).
  • Setiap basis dari   memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut dengan dimensi dari  . Pernyataan ini dikenal sebagai teorema dimensi.
  • Sebarang himpunan pembangkit   adalah basis dari   jika dan hanya jika itu bersifat minimal, artinya,   bukan subset sejati (proper subset) dari sebarang himpunan yang bebas linear.

Jika   adalah ruang vektor berdimensi  , suatu subset berisi   elemen dari   merupakan basis dari   jika dan hanya jika:

  • Subset tersebut bebas linear;
  • Subset tersebut himpunan merentang dari  .

Koordinat

sunting

Misalkan   adalah ruang vektor berdimensi   (hingga) atas lapangan  , dan adalah basis dari  . Berdasarkan definisi dari basis, setiap   di   dapat ditulis secara unik sebagai dengan koefisien-koefisien   adalah skalar (yaitu, elemen-elemen dari  ), yang disebut sebagai koordinat dari   atas  . Akan tetapi, pembahasan terkait himpunan koefisien akan menghilangkan hubungan antara koefisien-koefisien dari elemen-elemen basis, dan beberapa vektor berbeda dapat memiliki himpunan koefisien yang sama. Sebagai contoh, vektor   dan   yang berbeda memiliki himpunan koefisien   yang sama. Oleh karena itu, konsep basis terurut umum digunakan untuk mempermudah pembahasan. Hal ini dilakukan dengan mengindeks elemen-elemen basis menggunakan bilangan asli. Koordinat dari vektor juga diindeks dengan cara yang sama, sehingga vektor dapat dikarakterisasi seutuhnya dari barisan koordinat mereka.


Misalkan, seperti biasa,   adalah himpunan rangkap-n dari elemen-elemen di  ). Himpunan ini adalah ruang vektor- , dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar-nya dilakukan secara komponen-demi-komponen. Pemetaan adalah suatu isomorfisme linear dari ruang vektor   pada (onto)  . Dalam kata lain,   adalah ruang koordinat dari  , dan rangkap-n   adalah vektor koordinat dari  . Secara khusus, invers bayangan dari   oleh   adalah vektor  , yang setiap komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i yang bernilai 1. Himpunan   membentuk suatu basis terurut bagi  , yang disebut dengan basis standar atau basis kanonik.

Perubahan basis

sunting

Misalkan   adalah ruang vektor berdimensi   atas lapangan F. Untuk dua basis (terurut)   dan  , terkadang menguntungkan untuk menyatakan koordinat dari suatu vektor   atas  , dalam bentuk koordinat atas  . Hal ini secara umum dilakukan karena pembahasan melibatkan ekspresi matematika yang menggunakan koordinat lama.

Umumnya, koordinat vektor-vektor basis baru dinyatakan atas basis lama, yakni, Jika   dan   adalah koordinat vektor  , masing-masing atas basis lama dan atas basis baru, maka rumus perubahan basis adalah Untuk   Rumus tersebut dapat ditulis lebih ringkas dengan menggunakan notasi matriks. Misalkan   adalah matriks dengan entri-entri  , dan adalah vektor kolom dari koordinat   masing-masing atas basis lama dan atas basis baru. Rumus perubahan basis dapat ditulis sebaga Rumus ini dapat dibuktikan dengan menguraikan vektor   pada kedua basis: di satu sisi kita memiliki dan di sisi lain, Karena penguraian vektor atas suatu basis bersifat unik, kita dapatkan hubungan untuk i = 1, ..., n.

Bukti bahwa semua ruang vektor memiliki basis

sunting

Misalkan   adalah sebarang ruang vektor atas lapangan  , dan   adalah himpunan semua subset yang bebas linear di  . Himpunan   tidak kosong karena berisi himpunan kosong (yang merupakan subset dari   dan bebas linear). Himpunan   juga terurut parsial oleh operasi inklusi, yang dinyatakan secara umum dengan  .

Misalkan   adalah suatu subset dari   yang terurut total oleh  , dan misalkan   adalah gabungan dari semua elemen di  . Karena   terurut total, setiap subset terhingga dari   adalah suatu subset dari suatu elemen di  , yang merupakan suatu subset bebas linear dari  . Akibatnya,   juga bersifat bebas linear, sehingga termasuk elemen dari  . Hal ini mengartikan   adalah batas atas bagi   dalam  : himpunan itu adalah elemen dari  , dan berisi semua elemen dari  .

Karena   tak-kosong, dan semua subset terurut total dari   memiliki batas atas dalam  , lema Zorn menyatakan bahwa   memiliki elemen maksimal. Dalam kata lain, terdapat elemen   di   yang memenuhi kondisi: kapanpun   untuk suatu elemen   dari  , maka  .

Karena   elemen dari  , kita menyimpulkan   adalah subset yang bebas linear di  . Sekarang kita cukup membuktikan   adalah basis dari  .

Anggap ada suatu vektor   di   yang tidak berada dalam rentang (span) dari  , maka   bukan menjadi elemen dari  . Misalkan  . Himpunan ini adalah elemen dari   (karena   tidak berada dalam rentang  , dan   bebas linear) mengakibatkannya merupakan subset yang bebas linear di  . Karena   namun   (karena   mengandung   yang tidak ada di  ), hal ini berkontradiksi dengan maksimalitas dari  . Alhasil,   merentang  .

Kita dapatkan   bebas linear dan merentang  , menjadikannya sebagai basis bagi   dan membuktikan bahwa semua ruang vektor memiliki basis. Bukti ini membutuhkan lema Zorn, yang setara dengan aksioma pemilihan. Kebalikan dari hubungan di atas juga telah dibuktikan, bahwa jika semua ruang vektor memiliki basis, maka aksioma pemilihan benar.[2] Akibatnya, dua pernyataan ini bersifat setara.

Catatan kaki

sunting
  1. ^ Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (edisi ke-4th). New York: Springer. hlm. 10. ISBN 978-0-387-90093-3. 
  2. ^ Blass 1984

Referensi

sunting

Referensi umum

sunting

Referensi sejarah

sunting

Pranala luar

sunting