Grup berpenyelesaian

grup yang dapat dibangun dari grup abelian menggunakan ekstensigroup yang dapat dibangun dari grup abelian menggunakan ekstensi; sebuah grup yang deret turunannya berakhir di subgrup trivial

Dalam matematika, lebih khusus lagi di medan teori grup, grup berpenyelesaian (bahasa Inggris: Solvable group) adalah grup yang dapat dibangun dari grup Abel menggunakan perluasan. Dengan kata lain, grup berpenyelesaian adalah grup yang deret jabaran berakhir di subgrup trivial.

Motivasi

sunting

Secara historis, kata "berpenyelesaian" muncul dari teori Galois dan bukti dari ketidakmampuan umum persamaan kuintik. Secara spesifik, persamaan polinomial dapat diselesaikan dalam radikal jika dan hanya jika grup Galois yang sesuai berpenyelesaian[1] (perhatikan teorema ini hanya berlaku dalam karakteristik 0). Ini berarti terkait dengan polinomial   jika menara perluasan lapangan

 

sehingga

  1.   dimana  , jadi   adalah penyelesaian persamaan   dimana  
  2.   berisi medan pemisahan untuk  

Contoh

sunting

Misalnya, perluasan medan Galois terkecil dari   mengandung elemen

 

memberikan grup berpenyelesaian. Ini memiliki perluasan medan terkait

 

memberikan grup berpenyelesaian merumuskan   (bertindak pada  ) dan   (bertindak pada  ).

Definisi

sunting

Grup   disebut berpenyelesaian jika memiliki deret subnormal yang grup faktor (grup hasil bagi) semuanya grup Abel, yaitu, jika ada subgrup  , maka   adalah subgrup normal di  , dan   adalah grup Abel, karena  .

Atau setara, jika deret jabaran, deret normal menurun

 ,

di mana setiap subgrup adalah subgrup komutator dari yang sebelumnya, akhirnya mencapai subgrup trivial dari  . Kedua definisi ini setara, karena untuk setiap grup   dan setiap subgrup normal   dari  , hasil bagi   adalah grup Abel jika dan hanya jika   termasuk subgrup komutator dari  . Nilai   terkecil sehingga   disebut panjang jabaran dari grup berpenyelesaian  .

Untuk grup berhingga, definisi ekuivalennya adalah bahwa grup berpenyelesaian adalah grup dengan deret komposisi yang semua faktornya adalah grup siklik dari urutan bilangan prima. Ini setara karena grup berhingga memiliki panjang komposisi berhingga, dan setiap grup Abel sederhana adalah siklik orde utama. Teorema Jordan–Hölder menjamin bahwa jika salah satu deret komposisi memiliki sifat ini, semua deret komposisi akan memiliki sifat ini juga. Untuk grup Galois dari polinomial, grup siklik ini berpadanan dengan akar   (radikal) di beberapa medan. Kesetaraan tidak selalu: sebagai contoh, karena setiap subgrup taktrivial dari grup   dari bilangan bulat di bawah penambahan adalah isomorfis pada  , tidak memiliki deret komposisi, tetapi deret normal  , dengan satu-satunya grup faktor isomorfik hingga  , membuktikan bahwa ia berpenyelesaian.

Contoh

sunting

Grup Abel

sunting

Contoh dasar grup berpenyelesaian adalah grup Abel. Mereka berpenyelesaian secara trivial karena rangkaian subnormal diberikan hanya oleh grup itu sendiri dan grup trivial. Tetapi grup takAbel mungkin atau mungkin tidak bisa dipecahkan.

Grup nilpoten

sunting

Secara umum, semua grup nilpoten berpenyelesaian. Secara khusus, grup-p hingga berpenyelesaian, karena semua grup-p hingga adalah nilpoten.

Grup kuaternion

sunting

Secara khusus, grup kuaternion adalah grup berpenyelesaian yang diberikan oleh perluasan grup

 

dimana   adalah subgrup yang dihasilkan oleh  .

Perluasan grup

sunting

Perluasan grup merupakan contoh prototip dari grup berpenyelesaian. Artinya, jika   dan   adalah grup berpenyelesaian, maka suatu perluasan

 

mendefinisikan grup berpenyelesaian  . Faktanya, semua grup berpenyelesaian dapat dibentuk dari perluasan grup tersebut.

Grup takAbel yang taknilpoten

sunting

Contoh kecil dari grup taknilpoten berpenyelesaian adalah grup simetrik  . Faktanya, karena grup takAbel sederhana terkecil adalah  , (grup selang-seling dengan derajat 5) mengikuti bahwa setiap grup dengan urutan lebih kecil dari 60 adalah berpenyelesaian.

Grup hingga dari urutan ganjil

sunting

Teorema Feit–Thompson yang terkenal menyatakan bahwa setiap grup berhingga dari urutan ganjil adalah berpenyelesaian. Secara khusus ini menyiratkan bahwa jika grup hingga adalah grup sederhana, itu adalah grup siklik.

Bukan contoh

sunting

Grup   takberpenyelesaian, ia memiliki deret komposisi   (dan Teorema Jordan–Hölder menyatakan bahwa setiap deret komposisi setara dengan yang satu itu), memberikan grup faktor isomorfik pada   dan  ; dan   bukan Abel. Menggeneralisasi argumen ini, ditambah dengan fakta bahwa   adalah subgrup normal, maksimal, sederhana takAbel   dari  ,   tidak berpenyelesaian untuk  . Ini adalah langkah kunci dalam pembuktian bahwa untuk setiap   ada polinomial derajat   yang takberpenyelesaian oleh radikal (Teorema Abel–Ruffini). Sifat ini juga digunakan dalam teori kompleksitas dalam pembuktian teorema Barrington.

Subgrup  

sunting

Andaikan subgrup

  pada  

untuk suatu medan  . Maka, hasil bagi grup   dapat ditemukan dengan mengambil sembarang elemen di  , mengalikannya, dan mencari tahu struktur apa yang diberikannya. Jadi

 

Perhatikan syarat determinan pada   menyiratkan  , karenanya   adalah subgrup (yang merupakan matriks di mana  ). Untuk   yang ditetapkan, persamaan linear   menyiratkan  , yang merupakan elemen sembarang pada   ketika  . Karena kita dapat mengambil matriks pada   dan mengalikannya dengan matriks

 

dengan  , kita bisa mendapatkan matriks diagonal pada  . Ini menunjukkan grup hasil bagi  .

Perhatikan bahwa deskripsi ini memberikan penguraian   sebagai   dimana   bertindak pada   oleh  . Ini menyiratkan  . Juga, matriks dari bentuk

 

berpadanan dengan elemen   dalam grup.

Subgrup Borel

sunting

Untuk grup aljabar linear   subgrup Borel didefinisikan sebagai subgrup yang tertutup, terhubung, dan berpenyelesaian di  , dan ini adalah subgrup yang paling mungkin dengan sifat ini (perhatikan dua yang kedua adalah sifat topologi). Misalnya, dalam   dan  , grup matriks segitiga atas, atau segitiga bawah adalah dua subgrup Borel. Contoh yang diberikan di atas, subgrup   di   adalah subgrup Borel.

Subgrup Borel pada  

sunting

Pada   terdapat subgrup

 

Perhatikan bahwa  , maka grup Borel memiliki bentuk

 

Subgrup Borel hasil perkalian grup aljabar linear sederhana

sunting

Dalam grup hasilkali   subgrup Borel dapat diwakili oleh matriks dalam bentuk

 

dimana   adalah matriks segitiga atas   dan   adalah matriks segitiga atas  .

Grup-Z

sunting

Setiap grup hingga yang subgrup Sylow-p merupakan sikliknya, adalah produk setengah langsung dari dua grup siklik, khususnya grup berpenyelesaian. Grup tersebut disebut grup-Z.

Nilai OEIS

sunting

Jumlah grup berpenyelesaian dengan urutan   adalah (dimulai dengan  )

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... (barisan A201733 pada OEIS)

Urutan grup takberpenyelesaian adalah

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (barisan A056866 pada OEIS)

Solvabilitas tertutup terhadap sejumlah operasi.

  • Jika   berpenyelesaian, dan   adalah subgrup dari  , maka   adalah berpenyelesaian.[2]
  • Jika   berpenyelesaian, dan terdapat homomorfisme dari   pada  , maka   adalah berpenyelesaian; setara (dengan teorema isomorfisme pertama), jika   berpenyelesaian, dan   adalah subgrup normal dari  , maka   berpenyelesaian.[3]
  • Sifat sebelumnya dapat diperluas menjadi sifat "tiga untuk harga dua" berikut:   dapat diselesaikan jika dan hanya jika   dan   keduanya berpenyelesaian.
  • Secara khusus, jika   dan   berpenyelesaian, hasilkali langsung   berpenyelesaian.

Solvabilitas tertutup terhadap perluasan grup:

  • Jika   dan   berpenyelesaian, maka begitu juga dengan  ; secara khusus, jika   dan   berpenyelesaian, produk setengah langsung mereka juga berpenyelesaian.

Itu juga ditutup di bawah produk karangan bunga:

  • Jika   dan   berpenyelesaian, dan   adalah himpunan  , maka hasilkali karangan bunga dari   dan   terhadap   juga berpenyelesaian.

Untuk suatu bilangan bulat positif  , grup berpenyelesaian dari panjang jabaran paling banyak   membentuk subvarietas dari berbagai grup, karena mereka tertutup terhadap pengambilan citra homomorfik, subaljabar, dan hasil kali (langsung). Hasil kali langsung dari urutan grup berpenyelesaian dengan panjang jabaran tak terbatas tidak berpenyelesaian, sehingga kelas semua grup berpenyelesaian bukanlah suatu varietas.

Teorema Burnside

sunting

Teorema Burnside menyatakan bahwa jika   adalah grup hingga dari urutan   di mana   dan   adalah bilangan prima, dan   dan   adalah bilangan bulat taknegatif, maka   adalah berpenyelesaian.

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ Milne. Field Theory (PDF). hlm. 45. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-04-09. Diakses tanggal 2020-12-17. 
  2. ^ Rotman (1995), Theorem 5.15, hlm. 102, pada Google Books
  3. ^ Rotman (1995), Theorem 5.16, hlm. 102, pada Google Books

Referensi

sunting

Pranala luar

sunting