Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16

Grafik fungsi logaritma dengan tiga bilangan pokok yang umum. Titik khusus ^blog b = 1 diperlihatkan oleh garis bertitik, dan semua kurva fungsi memotong di ^blog 1 = 0.

Dalam matematika, logaritma merupakan fungsi invers dari eksponensiasi. Dengan kata lain, logaritma suatu nilai x merupakan eksponen dengan bilangan pokok b yang dipangkatkan dengan bilangan sesuatu agar memperoleh nilai x. Kasus sederhana dalam logaritma menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh, 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³ dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai ¹⁰log (1000) = 3. Logaritma dari x dengan bilangan pokok b dilambangkan ^blog x. Terkadang logaritma dilambangkan sebagai log_b (x) atau tanpa menggunakan tanda kurung. log_b x, atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok, log x.

Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma bilangan pokok 10 (b = 10) disebut sebagai logaritma umum, yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Adapun logaritma alami dengan bilangan pokok bilangan e (b ≈ 2.718), yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika karena dapat mempermudah perhitungan integral dan turunan. Adapula logaritma biner menggunakan bilangan pokok 2 (b = 2), yang seringkali dipakai dalam ilmu komputer.

Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan. Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan tabel logaritma, cara yang membosankan dalam mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena bahwa logaritma dari hasil kali bilangan merupakan logaritma dari jumlah faktor bilangan:

$^{b}\!\log(xy)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y,$

asalkan bahwa b, x dan y bilangan positif dan b ≠ 1. Mistar hitung yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, namun perhitungannya kurang akurat. Leonhard Euler mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan fungsi eksponensial pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf e sebagia bilangan pokok logaritma alami.

Skala logaritma mengurangi jumlah luas ke lingkup yang lebih kecil. Misalnya, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (contoh umumnya pada tekanan suara). Dalam kimia, pH mengukur keasaman dari larutan berair melalui logaritma. Logaritma biasa dalam rumus ilmiah, dan dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut fraktal. Logaritma juga membantu untuk menjelaskan frekuensi rasio interval musik, muncul dalam rumus yang menghitung bilangan prima atau hampiran faktorial, memberikan gambaran dalam psikofisika, dan dapat membantu perhitungan akuntansi forensik.

Konsep logaritma sebagai invers dari eksponensiasi juga memperluas ke struktur matematika lain. Namun pada umumnya, logaritma cenderung merupakan fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, logaritma kompleks merupakan invers dari fungsi eksponensial pada bilangan kompleks. Mirip contoh lain, logaritma diskret dalam grup hingga, merupakan invers fungsi eksponensial bernilai banyak yang memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

Alasan

Gambar memperlihatkan grafik logaritma dengan bilangan pokok 2 memotong sumbu-x di x = 1 dan melalui titik (2, 1), (4, 2), dan (8, 3), sebagai contoh, log₂(8) = 3 dan 2³ = 8. Grafik tersebut dengan sembarang mendekati sumbu--y, namun tidak mendekati sumbu-x.

Operasi aritmetika yang paling dasar adalah penambahan, perkalian, dan eksponen. Kebalikan dari penambahan adalah pengurangan, dan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Mirip contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan dari operasi eksponesiasi. Eksponensiasi adalah sebuah bilangan bilangan pokok b yang ketika dipangkatkan dengan y memberikan nilai x. Ini dirumuskan sebagai

$b^{y}=x.$

Sebagai contoh, 2 pangkat 3 memberikan nilai 8. Secara matematis, $2^{3}=8$.

Logaritma dengan bilangan pokok b merupakan operasi invers yang menyediakan nilai keluar y dari nilai masukan x. Dalam artian, $y=\,^{b}\!\log x$ ekuivalen dengan $x=b^{y}$, jika b bilangan real positif. (Jika b bukanlah bilangan real positif, eksponensiasi dan logaritma dapat didefinisikan, namun memberikan beberapa nilai, sehingga definisi darinya semakin rumit.)

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus

$^{b}\!\log(xy)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y,$

yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat tabel logaritma. Perhitungan ini ditemukan sebelum adanya penemuan komputer.

Definisi

Logaritma suatu bilangan real positif x terhadap bilangan pokok b merupakan eksponen dengan bilangan pokok b yang dipangkatkan suatu bilangan agar memperoleh nilai x. Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok b dari x merupakan bilangan real y sehingga $b^{y}=x$. Logaritma dilambangkan sebagai ^blog x (dibaca "logaritma x dengan bilangan pokok b"). Adapun definisi yang setara dan lebih ringkasnya mengatakan bahwa fungsi ^blog invers dengan fungsi $x\mapsto b^{x}$.

Sebagai contoh, ²log 16 = 4, karena 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Logaritma juga berupakan nilai negatif, sebagai contoh ${\textstyle ^{2}\!\log \!{\frac {1}{2}}=-1}$, karena ${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}}$. Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh ¹⁰log 150 kira-kira sama dengan 2.176, karena terletak di antara 2 dan 3, begitu pula 150 terletak antara 10² = 100 dan 10³ = 1000. Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap b, ^blog b = 1 karena b¹ = b, dan ^blog 1 = 0 karena b⁰ = 1.

Identitas logaritma

Artikel utama: Daftar identitas logaritma

Ada beberapa rumus penting, terkadang disebut identitas logaritma, mengaitkan logaritma dengan yang lainnya.

Hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar

Logaritma suatu hasil kali merupakan jumlah logaritma dari bliangan yang dikalikan dan logaritma hasil bagi dari dua bilangan merupakan selisih logaritma. Logaritma dari bilangan pangkat ke-p sama dengan p dikali logaritma itu sendiri dan logaritma bilangan akar ke-p sama dengan logaritma dibagi dengan p. Berikut adalah tabel yang memuat daftar sifat-sifat logaritma tersebut beserta conohtnya. Masing-masing identitas ini berasal dari hasil substitusi dari definisi logaritma $x=b^{\,^{b}\!\log x}$ atau $y=b^{\,^{b}\!\log y}$ pada ruas kiri.

	Rumus	Contoh
Hasil kali	${\textstyle ^{b}\!\log(xy)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y}$	${\textstyle ^{3}\!\log 243=\,^{3}\!\log(9\cdot 27)=^{3}\!\log 9+\,^{3}\!\log 27=2+3=5}$
Hasil bagi	${\textstyle ^{b}\!\log \!{\frac {x}{y}}=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y}$	${\textstyle ^{2}\!\log 16=\,^{2}\!\log \!{\frac {64}{4}}=\,^{2}\!\log 64-\,^{2}\!\log 4=6-2=4}$
Pangkat	${\textstyle ^{b}\!\log \left(x^{p}\right)=p\,^{b}\!\log x}$	${\textstyle ^{2}\!\log 64=\,^{2}\!\log \left(2^{6}\right)=6\cdot \,^{2}\!\log 2=6}$
Akar	${\textstyle ^{b}\!\log {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {^{b}\!\log x}{p}}}$	${\textstyle ^{10}\!\log {\sqrt {1000}}=\,{\frac {1}{2}}\cdot \,^{10}\!\log 1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

Mengubah bilangan pokok

Logaritma ^blog x dapat dihitung sebagai hasil bagi logaritma x dengan logaritma b terhadap bilangan pokok sembarang k. Secara matematis dirumuskan sebagai:

$^{b}\!\log x={\frac {^{k}\!\log x}{^{k}\!\log b}}.\,$

Bukti perubahan antara logaritma dengan bilangan pokok sembarang
Pada identitas $x=b^{^{b}\!\log x}$ dapat menerapkan klog pada kedua ruas sehingga memperoleh $^{k}\!\log x=\,^{k}\!\log \left(b^{^{b}\!\log x}\right)=\,^{b}\!\log x\cdot \,^{k}\!\log b$. Mencari solusi untuk $^{b}\!\log x$ menghasilkan persamaan: $^{b}\!\log x={\frac {^{k}\!\log x}{^{k}\!\log b}}$,

Adapun kalkulator ilmiah yang menghitung logaritma dengan bilangan pokok 10 dan e. Logaritma terhadap setiap bilangan pokok b dapat ditentukan menggunakan menggunakan kedua logaritma tersebut melalui rumus sebelumnya:

$^{b}\!\log x={\frac {^{10}\!\log x}{^{10}\!\log b}}={\frac {^{e}\!\log x}{^{e}\!\log b}}.$

Diberikan suatu bilangan x dan logaritma y = log_b x, dengan b adalah bilangan pokok yang tidak diketahui. Bilangan pokok logaritma dapat dirumuskan sebagai

$b=x^{\frac {1}{y}},$

Rumus tersebut dapat diperlihatkan dengan mengambil persamaan yang mendefinisikan $x=b^{^{b}\!\log x}=b^{y}$, lalu dipangkatkan dengan ${\tfrac {1}{y}}.$

Bilangan pokok khusus

Grafik logaritma dengan bilangan pokok 0,5; 2; dan e

Terdapat tiga bilangan pokok yang umum, di antara semua pilihan bilangan pokok pada logaritma. Ketiga bilangan pokok tersebut adalah b = 10, b = e (konstanta bilangan irasional yang kira-kira sama dengan 2.71828), dan b = 2 (logaritma biner). Dalam analisis matematika, logaritma dengan bilangan pokok e tersebar karena sifat analitik yang dijelaskan di bawah. Di sisi lain, logaritma dengan bilangan pokok 10 mudah dipakai dalam perhitungan manual dalam sistem bilangan desimal:

$^{10}\!\log(10x)=\,^{10}\!\log 10+\,^{10}\!\log x=1+\,^{10}\!\log x.\$

Jadi, ¹⁰log x berkaitan dengan jumlah digit desimal suatu bilangan bulat positif x: jumlah digitnya merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari ¹⁰log x. Sebagai contoh, ¹⁰log 1430 kira-kira sama dengan 3,15. Bilangan berikutnya merupakan jumlah digit dari 1430, yaitu 4. Dalam teori informasi, logaritma alami dipakai dalam nat dan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam bit sebagai satuan dasar informasi. Logaritma biner juga dipakai dalam sistem biner ada yang dimana-mana dalam ilmu komputer. Dalam teori musik, rasio tinggi nada kedua (yaitu oktaf) ada di mana-mana dan jumlah sen antara setiap dua tinggi nada dirumuskan sebagai konstanta 1200 dikali logaritma dari rasio (yaitu, 100 sen per setengah nada dengan temperamen yang sama). Dalam fotografi, logaritma dengan bilangan pokok dua dipakai untuk mengukur nilai eksposur, tingkatan cahaya, waktu eksposur, tingkap, dan kecepatan film dalam "stop".

Tabel berikut memuat notasi-notasi umum mengenai bilangan pokok beserta bidang yang dipakai. Ada beberapa mata pelajaran yang menulis log x daripada log_b x, dan adapula notasi ^blog x yang juga muncul pada beberapa mata pelajaran. Pada kolom "Notasi ISO" memuat penamaan yang disarankan oleh Organisasi Standardisasi Internasional, yakni ISO 80000-2. Karena notasi log x telah dipakai untuk ketiga bilangan pokok di atas (atau ketika bilangan pokok belum ditentukan), bilangan pokok yang dimaksud harus sering diduga tergantung konteks atau mata pelajarannya. Sebagai contoh, log biasanya mengacu pada ²log dalam ilmu komputer, dan log mengacu pada ^elog. Dalam konteks lainnya, log seringkali mengacu pada ¹⁰log.

Bilangan pokok b	Nama blog x	Notasi ISO	Notasi lain	Dipakai dalam bidang
2	logaritma biner	lb x	ld x, log x, lg x, 2log x	ilmu komputer, teori informasi, bioinformatika, teori musik, fotografi
e	logaritma alami	ln x	log x (dipakai dalam matematika dan beberapa bahasa pemrograman lainnya), elog x	matematika, fisika, kimia, statistik, ekonomi, teori informasi, dan rekayasa
10	logaritma biasa	lg x	log x, 10log x (dipakai dalam rekayasa, biologi, dan astronomi)	bidang berbagai rekayasa (lihat desibel dan lihat di bawah), tabel logaritma, kalkulator genggam, spektroskop
b	logaritma dengan bilangan pokok b	blog x		matematika

Sejarah

Artikel utama: Sejarah logaritma

Sejarah logaritma yang dimulai dari Eropa pada abad ketujuh belas merupakan penemuan fungsi baru yang memperluas ranah analisis di luar jangkauan metode aljabar. Metode logaritma dikemukakan secara terbuka oleh John Napier pada tahun 1614, dalam sebuah buku berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Sebelum penemuan Napier, ada teknik lain dengan jangkauan metode yang serupa, seperti prosthafaeresis atau penggunaan tabel barisan, yang dikembangkan dengan luas oleh Jost Bürgi sekitar tahun 1600. Napier menciptakan istilah untuk logaritma dalam bahasa Latin Tengah, “logaritmus” yang berasal dari gabungan dua kata Yunani, logos “proporsi, rasio, kata” + arithmos “bilangan”. Secara harfiah, "logaritmus" berarti “bilangan rasio”.

Logaritma biasa suatu bilangan adalah indeks pangkat sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut. Berbicara tentang angka yang membutuhkan banyak angka adalah kiasan kasar untuk logaritma umum, dan disebut oleh Archimedes sebagai “urutan bilangan”. Logaritma real pertama adalah metode heuristik yang mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan perhitungan yang cepat. Beberapa metode ini menggunakan tabel yang diturunkan dari identitas trigonometri. Metode tersebut disebut prosthafaeresis.

Penemuan fungsi sekarang dikenal sebagai logaritma alami dimulai sebagai upaya untuk kuadratur dari hiperbola persegi panjang oleh Grégoire de Saint-Vincent, seorang Yesuit Belgia yang tinggal di Praha. Archimedes telah menulis The Quadrature of the Parabola pada abad ke-3 SM, tetapi kuadratur untuk hiperbola menghindari semua upaya sampai Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Kaitan yang disediakan logaritma berupa antara barisan dan deret geometri dalam argumen dan nilai barisan dan deret aritmetika, meminta A. A. de Sarasa untuk mengaitkan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam prosthafaeresis, yang mengarah ke sebuah istilah persamaan kata untuk logaritma alami, yaitu "logaritma hiperbolik". Dengan segera, fungsi baru tersebut dihargai oleh Christiaan Huygens dan James Gregory. Notasi Log y diadopsi oleh Leibniz pada tahun 1675, dan tahun berikutnya dia mengaitkannya dengan integral ${\textstyle \int {\frac {dy}{y}}.}$

Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, Roger Cotes memiliki hasil yang hampir sama ketika ia menunjukkan pada tahun 1714 bahwa

$\log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta$.

Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah

Penjelasan logaritma dalam Encyclopædia Britannica pada tahun 1797.

Dengan menyederhanakan perhitungan yang rumit sebelum adanya mesin hitung komputer, logaritma berkontribusi pada kemajuan pengetahuan, khususnya astronomi. Logaritma sangat penting terhadap kemajuan dalam survei, navigasi benda langit, dan cabang lainnya. Pierre-Simon Laplace menyebut logaritma sebagai

"...[sebuah] kecerdasan mengagumkan, yang mengurangi pekerjaan berbulan-bulan menjadi beberapa hari, menggandakan kehidupan astronom, dan menghindarinya dari kesalahan dan rasa jijik yang tak terpisahkan dari perhitungan yang panjang."

Karena fungsi f(x) = b^x merupakan fungsi invers dari ^blog x, maka fungsi tersebut disebut sebagai antilogaritma. Saat ini, antilogaritma lebih sering disebut fungsi eksponensial.

Tabel logaritma

Sebuah alat penting yang memungkinkan penggunaan logaritma adalah tabel logaritma. Tabel pertama disusun oleh Henry Briggs pada tahun 1617 setelah penemuan Napier, namun penemuannya menggunakan 10 sebagai bilangan pokok. Tabel pertamanya memuat logaritma biasa dari semua bilangan bulat yang berkisar antara 1 dengan 1000 yang memiliki ketepatan 14 digit. Selanjutnya, tabel dengan cakupan yang meningkat ditulis. Tabel tersebut mencantumkan nilai $^{10}\!\log x$ untuk setiap bilangan $x$ dalam kisaran dan ketepatan tertentu. Karena bilangan yang berbeda dengan faktor 10 memiliki logaritma yang berbeda dengan bilangan bulat, logaritma dengan bilangan pokok 10 digunakan secara universal untuk perhitungan, sehingga disebut logaritma umum. Logaritma umum $x$ dipisahkan menjadi bagian bilangan bulat yang dikenal sebagai karakteristik, dan bagian pecahan yang dikenal sebagai mantissa. Tabel logaritma hanya perlu menyertakan mantisa, karena karakteristik logaritma umum dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung angka dari titik desimal. Karakteristik logaritma umum dari $10\cdot x$ sama dengan satu ditambah karakteristik $x$, dan mantissanya sama. Jadi dengan menggunakan tabel logartima dengan tiga digit, nilai logaritma dari 3542 kira-kira sama dengan

$^{10}\!\log 3542=\,^{10}\!\log(1000\cdot 3,542)=3+\,^{10}\!\log 3,542\approx 3+\,^{10}\!\log 3,54$

Nilainya dengan ketepatan yang sangat tinggi dapat diperoleh melalui interpolasi:

$^{10}\!\log 3542\approx 3+^{10}\!\log 3,54+0,2\cdot (\,^{10}\!\log 3,55-\,^{10}\!\log 3,54)$

Nilai $10^{x}$ dapat ditentukan dengan pencarian terbalik pada tabel yang sama, karena logaritma merupakan fungsi monoton.

Perhitungan

Hasil kali atau hasil bagi dari dua bilangan positif c dan d biasanya dihitung sebagai penambahan dan pengurangan logaritma. Hasil kali cd berasal dari antilogaritma dari penambahan dan hasil bagi cd berasal dari antilogaritma dari pengurangan, melalui tabel logaritma:

$cd=10^{\,^{10}\!\log c}\,10^{\,^{10}\!\log d}=10^{\,^{10}\!\log c\,+\,^{10}\!\log d}$

dan

${\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,^{10}\!\log c\,-\,^{10}\!\log d}.$

Untuk perhitungan manual yang meminta ketelitian yang cukup besar, melakukan pencarian kedua logaritma, menghitung jumlah atau selisihnya, dan mencari antilogaritma jauh lebih cepat daripada melakukan perkalian dengan metode sebelumnya seperti prostafaeresis, yang mengandalkan identitas trigonometri.

Perhitungan pangkat direduksi menjadi perkalian dan perhitungan akar direduksi menjadi pembagian. Pernyataan ini dapat dilihat sebagai

$c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}$

dan

${\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}.$

Perhitungan trigonometri dilengkapi dengan tabel-tabel yang memuat logaritm umum dari fungsi trigonometri.

Mistar hitung

Penerapan penting lainnya adalah mistar hitung, sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Adapun skala logaritmik yang tidak memiliki sorong, mistar Gunter, ditemukan tak lama setelah penemuan Napier dan disempurnakan oleh William Oughtred untuk menciptakan mistar hitung—sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain. Angka yang ditempatkan pada skala hitung pada jarak sebanding dengan selisih antara logaritma mereka. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:

Penggambaran skema mengenai mistar hitung. Dimulai dari 2 pada skala di bawah, lalu tambahkan dengan jarak ke 3 pada skala atas agar mencapai hasil kali 6. Mistar hitung bekerja karena ditandai sedemikian rupa sehingga jarak dari 1 ke $x$ sebanding dengan logaritma $x$.

Misalnya, dengan menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala di bawah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala di atas menghasilkan hasil kali 6, yang dibacakan di bagian bawah. Mistar hitung adalah sebuah alat menghitung yang penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena dengan mengorbankan ketepatan nilai memungkinkan perhitungan yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.

Sifat analitik

Studi yang lebih dalam mengenai logaritma memerlukan sebuah konsep yang disebut fungsi. Fungsi merupakan sebuah kaidah yang dipetakan suatu bilangan akan menghasilkan bilangan lain. Sebagai contohnya seperti fungsi yang menghasilkan bilangan konstan b yang dipangkatkan setiap bilangan real x. Fungsi ini ditulis secara matematis sebagai f(x) = b^x. Ketika b positif dan tak sama dengan 1, maka f adalah fungsi terbalikkan ketika dianggap sebagai fungsi dengan interval dari bilangan real ke bilangan real positif.

Keberadaan

Misalkan b adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 dan misalkan f(x) = b^x. Pernyataan yang diikuti dari teorema nilai antara ini, merupakan hasil standar dalam analisis real yang mengatakan bahwa setiap fungsi monoton sempurna dan kontinu merupakan fungsi bijektif antara ranah (bahasa Inggris: domain) dan kisarannya (bahasa Inggris: range). Pernyataan saat ini mengatakan bahwa f yang menaik sempurna (untuk b > 1), atau menurun sempurna (untuk 0 < b < 1) merupakan fungsi kontinu, memiliki ranah $\mathbb {R}$ dan memiliki kisaran $\mathbb {R} _{>0}$. Oleh karena itu, f merupajan fungsi bijeksi dari $\mathbb {R}$ ke $\mathbb {R} _{>0}$. Dengan kata lain, untuk setiap bilangan real positif y, terdapat setidaknya satu bilangan real x sehingga $b^{x}=y$.

Misalkan $^{b}\!\log \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R}$ yang menyatakan kebalikan fungsi f. Dalam artian, ^blog y merupakan bilangan real tunggal x sehingga $b^{x}=y$. Fungsi ini disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok-b atau fungsi logaritmik (atau logaritma saja).

Karakterisasi melalui rumus hasil kali

Pada dasarnya, fungsi ^blog x juga dapat dikarakterisasikan melalui rumus hasil kali

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.$

Lebih tepatnya, logaritma untuk setiap bilangan pokok b > 1 yang hanya merupakan fungsi f naik dari bilangan real positif ke bilangan real memenuhi sifat bahwa f(b) = 1 dan

$f(xy)=f(x)+f(y).$

Grafik fungsi logaritma

Grafik fungsi logaritma^blog (x) (berwarna biru) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi b^x (berwarna merah) di garis diagonal(x = y).

Seperti yang dibahas sebelumnya, fungsi ^blog invers terhadap fungsi eksponensial $x\mapsto b^{x}$. Karena itu, grafiknya berkorespondensi dengan satu sama lagi saat menukar koordinat-x dan koordinat-y (atau saat melakukan pencerminan di garis diagonal x = y), seperti yang diperlihatkan sebagai berikut: sebuah titik (t, u = b^t) pada grafik dari f menghasilkan sebuah titik (u, t = ^blog u) pada grafik logaritma dan sebaliknya. Akibatnya, ^blog (x) divergen menuju takhingga (dalam artian semakin besar dari setiap bilangan yang diberikan) jika x naik menuju takhingga, asalkan b lebih besar dari satu. Pada kasus tersebut, ^blog(x) merupakan fungsi menaik. Sedangkan untuk kasus b < 1, ^blog (x) cenderung menuju ke negatif takhingga. Ketika x mendekati nol, ^blog x menuju ke negatif takhingga untuk b > 1 dan menuju ke plus takhingga untuk b < 1.

Turunan dan antiturunan

Grafik fungsi logaritma alami (berwarna hijau) beserta garis singgungnya di x = 1,5 (berwarna hitam)

Sifat analitik tentang fungsi adalah melalui fungsi inversnya. Jadi, ketika f(x) = b^x adalah fungsi kontinu dan terdiferensialkan, maka ^blog y fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika turunan dari f(x) menghitung nilai ln(b) b^x melalui sifat-sifat fungsi eksponensial, aturan rantai menyiratkan bahwa turunan dari log_b x dirumuskan sebagai

${\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.$

Artinya, kemiringan dari garis singgung yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok b di titik (x, ^blog (x)) sama dengan 1x ln(b).

Turunan dari ln(x) adalah 1/x, yang berarti ini menyiratkan bahwa ln(x) merupakan integral tunggal dari 1x yang mempunyai nilai 0 untuk x = 1. Hal ini merupakan rumus paling sederhana yang mendorong sifat "alami" pada logaritma alami, dan hal ini juga merupakan salah satu alasan pentingnya konstanta e.

Turunan dengan argumen fungsional rampat f(x) dirumuskan sebagai

${\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

Hasil bagi pada ruas kanan disebut turunan logaritmik dari f dan menghitung f'(x) melalui turunan dari ln(f(x)) dikenal sebagai pendiferensialan logaritmik. Antiturunan dari logaritma alami ln(x) dirumuskan sebagai:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Adapun rumus yang berkaitan, seperti antiturunan dari logaritma dengan bilangan pokok lainnya dapat diturunkan dari persamaan ini dengan mengubah bilangan pokoknya.

Representasi integral mengenai fungsi logaritma

The natural logarithm of t is the shaded area underneath the graph of the function f(x) = 1/x (reciprocal of x).

Logaritma alami dari t dapat didefinisikan sebagai integral tentu:

$\ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Definisi ini menguntungkan karena tidak bergantung pada fungsi eksponensial atau fungsi trigonometri apapun; definisi ini berupa dalam bentuk sebuah integral dari fungsi timbal balik sederhana. Penjelasan dalam integral, ln(t) sama dengan luas antara sumbu-x dan grafik fungsi 1/x, yang berkisar dari x = 1 ke x = t. Penjelasan ini juga merupakan akibat dari teorema dasar kalkulus, dan bahkan turunan dari ln(x) sama dengan 1/x. Rumus logaritma hasil kali dan pangkat dapat diturunkan melalui definisi ini. Sebagai contoh, rumus hasil kali ln(tu) = ln(t) + ln(u) dapat disimpulkan sebagai:

$\ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).$

Persamaan(1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel w menjadi xt. Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor t dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. Moving it appropriately, the area fits the graph of the function f(x) = 1/x again. Therefore, the left hand blue area, which is the integral of f(x) from t to tu is the same as the integral from 1 to u. This justifies the equality (2) with a more geometric proof.

A visual proof of the product formula of the natural logarithm

The power formula ln(t^r) = r ln(t) may be derived in a similar way:

$\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).$

The second equality uses a change of variables (integration by substitution), w = x^1/r.

The sum over the reciprocals of natural numbers,

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

is called the harmonic series. It is closely tied to the natural logarithm: as n tends to infinity, the difference,

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),$

converges (i.e. gets arbitrarily close) to a number known as the Euler–Mascheroni constant γ = 0.5772.... This relation aids in analyzing the performance of algorithms such as quicksort.

Transendensi logaritma

Hampir semua bilangan real adalah transendental (yaitu, bilangan real yang bukan merupakan bilangan aljabar). Sebagai contoh, π dan e adalah bilangan transendental, sedangkan ${\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ bukan. Logaritma merupakan sebuah contoh fungsi transendental. Teorema Gelfond–Schneider mengatakan bahwa logaritma biasanya mengambil nilai-nilai yang "rumit", yaitu bilangan transendental.

Perhitungan

Tombol logaritma (LOG sebagai bilangan pokok 10 dan LN sebagai bilangan pokok e) pada sebuah kalkulator grafik TI-83 Plus.

Logaritma merupakan alat perhitungan yang mudah pada beberapa kasus, misalnya ¹⁰log 1000 = 3. Logaritma pada umumnya dapat dihitung melalui deret kuasa atau purata aritmetik–geometrik, atau didapatkan kembali dari tabel logaritma (sebelum adanya perhitungan logaritma) yang menyediakan ketepatan nilai konstan. Metode Newton, sebuah metode berulang yang menyelesaikan persamaan melalui hampiran, juga dapat dipakai untuk menghitung logaritma, karena fungsi inversnya (yaitu fungsi eksponensial), dapat dihitung dengan cepat. Dengan melihat tabel logaritma, metode seperti CORDIC dapat dipakai untuk menghitung logaritma hanya dengan menggunakan operasi penambahan dan geseran bit. Terlebih lagi, algoritma dari logaritma biner menghitung lb(x) secara berulang, berdasarkan penguadratan x berulang, dengan memanfaatkan relasi berikut

$^{2}\!\log \left(x^{2}\right)=2\cdot \,^{2}\!\log |x|.$

Deret pangkat

Deret Taylor

Deret Taylor dari ln(z) berpusat di z = 1. Animasi berikut memperlihatkan 10 hampiran pertama beserta dengan hampiran yang ke-99 dan yang ke-100. Hampiran tersebut tidak konvergen karena melebihi jarak 1 dari pusatnya.

Untuk setiap bilangan z yang memenuhi sifat 0 < z ≤ 2, maka berlaku rumus:

${\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}\end{aligned}}$

Pernyataan di atas merupakan tulisan singkat untuk mengatakan bahwa ln(z) dapat diaproksimasi sebagai bilangan yang lebih-lebih akurat lagi melalui :

${\begin{array}{lllll}(z-1)&&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{\frac {(z-1)^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}$

Sebagai contoh, pendekatan ketiga saat z = 1,5 memberikan nilai 0,4167. Nilai tersebut kira-kira 0,011 lebih besar dari ln(1,5) = 0,405465. Deret ini yang mengaproksimasi ln(z) dengan ketepatan nilai sembarang, menyediakan jumlah dari nilai yang dijumlahkan cukup besar. Dalam kalkulus elementer, ln(z) merupakan limit dari deret ini. ln(z) merupakan deret Taylor dari logaritma alami di z = 1. Deret Taylor dari ln(z) khususnya menyediakan alat yang berguna untuk mengaproksimasi ln(1 + z) ketika z bernilai kecil, |z| < 1:

$\ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}\cdots \approx z.$

Sebagai contoh, hampiran orde pertama memberikan nilai hampiran ln(1,1) ≈ 0,1 ketika z = 0,1, yang galatnya 5% lebih kecil dari nilai eksak 0,0953.

Deret lebih efisien

Deret lainnya berasal dari fungsi tangen hiperbolik invers:

$\ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),$

untuk setiap bilangan real z > 0. Dengan menggunakan notasi Sigma, ruas kanan pada rumus di atas juga dapat ditulis sebagai

$\ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.$

Deret ini dapat diturunkan dari deret Taylor di atas, yang konvergen lebih cepat daripada deret Taylor, khususnya jika z mendekati 1. Sebagai contoh, untuk z = 1,5, tiga suku pertama dari deret kedua memberikan nilai hampiran ln(1,5) dengan galatnya sekitar 3×10⁻⁶. Kekonvergenan cepat untuk z yang mendekati 1 dapat dimanfaatkan sebagai berikut: diberikan sebuah hampiran dengan tingkat akurat yang rendah y ≈ ln(z) dan memasukkan ke rumus

$A={\frac {z}{\exp(y)}},$

maka logaritma dari z dirumuskan:

$\ln(z)=y+\ln(A).$

Hampiran awalan y yang lebih baik adalah dengan membuat nilai A mendekati ke 1, sehingga nilai logaritma dapat dihitung lebih efisien. Nilai A dapat dihitung melalui deret eksponensial sehingga nilainya konvergen dengan cepat, asalkan niali y tidak terlalu besar. Dengan menghitung logaritma dari z yang lebih besar dapat direduksi emnjadi nilai z yang lebih kecil dengan menulis z = a · 10^b, sehingga ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Adapun metode yang sangat berkaitan dengannya dapat dipakai untuk menghitung logaritma dari bilangan bulat. Dengan memasukkan $\textstyle z={\frac {n+1}{n}}$ pada deret di atas, maka deret tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

$\ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.$

Jika diketahui logaritma dari suatu bilangan bulat  n yang lebih besar, maka deret tersebut menghasilkan sebauah deret yang konvergen dengan cepat untuk log(n+1), dengan laju konvergensi dari ${\textstyle \left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}}$.

Hampiran purata aritmetik-geometrik

Purata aritmetik–geometrik atau rata-rata aritmetik–geometrik menghasilkan hampiran dari logaritma natural dengan tingkatan ketepatan yang tinggi. Pada tahun 1982, Sasaki dan Kanada memperlihatkan bahwa purata ini sangat cepat untuk ketepatan di antara 400 dan 1000 letak desimal, sementara metode deret Taylor biasanya lebih cepat when less precision was needed. Dalam karyanya, ln(x) kira-kira sama dengan ketepatan dari 2^−p (atau p bit yang tepat) melalui rumus berikut (karena Carl Friedrich Gauss):

$\ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).$

Notasi M(x, y) menyatakan purata aritmetika–geometrik atau rata-rata aritmetik–geometrik dari x dan y. Purata ini didapatkan dengan menghitung rerata (x + y)/2 (purata aritmetika) dan ${\textstyle {\sqrt {xy}}}$ (purata geometrik) dari x dan y secara berulang, lalu misalkan kedua bilangan tersebut merupaka bilangan x dan y selanjutnya. Kedua bilangan tersebut konvergen dengan cepat menuju ke limit yang sama, yaitu M(x, y). Agar memastikan nilai ketepatan yang dibutuhkan, maka pilih m sehingga

$x\,2^{m}>2^{p/2}.\,$

Bilangan m yang lebih besar membuat perhitungan M(x, y) take more steps (the initial x and y are farther apart so it takes more steps to converge), namun memberikan nilai yang lebih tepat. Konstanta seperti π dan ln(2) dapat dihitung melalui deret yang konvergen dengan cepat.

Algoritma Feynman

Richard Feynman, yang mengerjakan proyek Manhattan di Los Alamos National Laboratory, mengembangkan sebuah algoritma pengolahan bit untuk menghitung nilai logaritma. Algoritma tersebut menyerupai pembagian panjang, dan kemudian dipakai dalam sebuah anggota dari rangkaian subkomputer, Connection Machine. Bahkan bahwa setiap bilangan real 1 < x < 2 yang dapat direpresentasikan sebagai hasil kali dari faktor yang berbeda dari bentuk 1 + 2^−k, dipakai dalam algoritma ini. The algorithm sequentially builds that product P, starting with P = 1 and k = 1: if P · (1 + 2^−k) < x, then it changes P to P · (1 + 2^−k). It then increases $k$ by one regardless. The algorithm stops when k is large enough to give the desired accuracy. Because log(x) is the sum of the terms of the form log(1 + 2^−k) corresponding to those k for which the factor 1 + 2^−k was included in the product P, log(x) may be computed by simple addition, using a table of log(1 + 2^−k) for all k. Any base may be used for the logarithm table.

Penerapan

A nautilus displaying a logarithmic spiral

Logaritma memiliki banyak penerapan di dalam dan di luar matematika. Some of these occurrences are related to the notion of scale invariance. For example, each chamber of the shell of a nautilus is an approximate copy of the next one, scaled by a constant factor. This gives rise to a logarithmic spiral. Benford's law on the distribution of leading digits can also be explained by scale invariance. Logarithms are also linked to self-similarity. For example, logarithms appear in the analysis of algorithms that solve a problem by dividing it into two similar smaller problems and patching their solutions. The dimensions of self-similar geometric shapes, that is, shapes whose parts resemble the overall picture are also based on logarithms. Logarithmic scales are useful for quantifying the relative change of a value as opposed to its absolute difference. Moreover, because the logarithmic function log(x) grows very slowly for large x, logarithmic scales are used to compress large-scale scientific data. Logarithms also occur in numerous scientific formulas, such as the Tsiolkovsky rocket equation, the Fenske equation, or the Nernst equation.

Skala logaritmik

Artikel utama: Logarithmic scale

A logarithmic chart depicting the value of one Goldmark in Papiermarks during the German hyperinflation in the 1920s

Scientific quantities are often expressed as logarithms of other quantities, using a logarithmic scale. For example, the decibel is a unit of measurement associated with logarithmic-scale quantities. It is based on the common logarithm of ratios—10 times the common logarithm of a power ratio or 20 times the common logarithm of a voltage ratio. It is used to quantify the loss of voltage levels in transmitting electrical signals, to describe power levels of sounds in acoustics, and the absorbance of light in the fields of spectrometry and optics. The signal-to-noise ratio describing the amount of unwanted noise in relation to a (meaningful) signal is also measured in decibels. In a similar vein, the peak signal-to-noise ratio is commonly used to assess the quality of sound and image compression methods using the logarithm.

The strength of an earthquake is measured by taking the common logarithm of the energy emitted at the quake. This is used in the moment magnitude scale or the Richter magnitude scale. For example, a 5.0 earthquake releases 32 times (10^1.5) and a 6.0 releases 1000 times (10³) the energy of a 4.0. Apparent magnitude measures the brightness of stars logarithmically. In chemistry the negative of the decimal logarithm, the decimal cologarithm, is indicated by the letter p. For instance, pH is the decimal cologarithm of the activity of hydronium ions (the form hydrogen ions H⁺ take in water). The activity of hydronium ions in neutral water is 10⁻⁷ mol·L⁻¹, hence a pH of 7. Vinegar typically has a pH of about 3. The difference of 4 corresponds to a ratio of 10⁴ of the activity, that is, vinegar's hydronium ion activity is about 10⁻³ mol·L⁻¹.

Semilog (log–linear) graphs use the logarithmic scale concept for visualization: one axis, typically the vertical one, is scaled logarithmically. For example, the chart at the right compresses the steep increase from 1 million to 1 trillion to the same space (on the vertical axis) as the increase from 1 to 1 million. In such graphs, exponential functions of the form f(x) = a · b^x appear as straight lines with slope equal to the logarithm of b. Log-log graphs scale both axes logarithmically, which causes functions of the form f(x) = a · x^k to be depicted as straight lines with slope equal to the exponent k. This is applied in visualizing and analyzing power laws.

Psikologi

Logarithms occur in several laws describing human perception: Hick's law proposes a logarithmic relation between the time individuals take to choose an alternative and the number of choices they have. Fitts's law predicts that the time required to rapidly move to a target area is a logarithmic function of the distance to and the size of the target. In psychophysics, the Weber–Fechner law proposes a logarithmic relationship between stimulus and sensation such as the actual vs. the perceived weight of an item a person is carrying. (This "law", however, is less realistic than more recent models, such as Stevens's power law.)

Psychological studies found that individuals with little mathematics education tend to estimate quantities logarithmically, that is, they position a number on an unmarked line according to its logarithm, so that 10 is positioned as close to 100 as 100 is to 1000. Increasing education shifts this to a linear estimate (positioning 1000 10 times as far away) in some circumstances, while logarithms are used when the numbers to be plotted are difficult to plot linearly.

Teori peluang dan statistika

Three probability density functions (PDF) of random variables with log-normal distributions. The location parameter μ, which is zero for all three of the PDFs shown, is the mean of the logarithm of the random variable, not the mean of the variable itself.

Distribution of first digits (in %, red bars) in the population of the 237 countries of the world. Black dots indicate the distribution predicted by Benford's law.

Logarithms arise in probability theory: the law of large numbers dictates that, for a fair coin, as the number of coin-tosses increases to infinity, the observed proportion of heads approaches one-half. The fluctuations of this proportion about one-half are described by the law of the iterated logarithm.

Logarithms also occur in log-normal distributions. When the logarithm of a random variable has a normal distribution, the variable is said to have a log-normal distribution. Log-normal distributions are encountered in many fields, wherever a variable is formed as the product of many independent positive random variables, for example in the study of turbulence.

Logarithms are used for maximum-likelihood estimation of parametric statistical models. For such a model, the likelihood function depends on at least one parameter that must be estimated. A maximum of the likelihood function occurs at the same parameter-value as a maximum of the logarithm of the likelihood (the "log likelihood"), because the logarithm is an increasing function. The log-likelihood is easier to maximize, especially for the multiplied likelihoods for independent random variables.

Benford's law describes the occurrence of digits in many data sets, such as heights of buildings. According to Benford's law, the probability that the first decimal-digit of an item in the data sample is d (from 1 to 9) equals log₁₀ (d + 1) − log₁₀ (d), regardless of the unit of measurement. Thus, about 30% of the data can be expected to have 1 as first digit, 18% start with 2, etc. Auditors examine deviations from Benford's law to detect fraudulent accounting.

Kompleksitas perhitungan

Analysis of algorithms is a branch of computer science that studies the performance of algorithms (computer programs solving a certain problem). Logarithms are valuable for describing algorithms that divide a problem into smaller ones, and join the solutions of the subproblems.

For example, to find a number in a sorted list, the binary search algorithm checks the middle entry and proceeds with the half before or after the middle entry if the number is still not found. This algorithm requires, on average, log₂ (N) comparisons, where N is the list's length. Similarly, the merge sort algorithm sorts an unsorted list by dividing the list into halves and sorting these first before merging the results. Merge sort algorithms typically require a time approximately proportional to N · log(N). The base of the logarithm is not specified here, because the result only changes by a constant factor when another base is used. A constant factor is usually disregarded in the analysis of algorithms under the standard uniform cost model.

A function f(x) is said to grow logarithmically if f(x) is (exactly or approximately) proportional to the logarithm of x. (Biological descriptions of organism growth, however, use this term for an exponential function.) For example, any natural number N can be represented in binary form in no more than log₂ N + 1 bits. In other words, the amount of memory needed to store N grows logarithmically with N.

Entropi dan kekacauan

Billiards on an oval billiard table. Two particles, starting at the center with an angle differing by one degree, take paths that diverge chaotically because of reflections at the boundary.

Entropy is broadly a measure of the disorder of some system. In statistical thermodynamics, the entropy S of some physical system is defined as

$S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,$

The sum is over all possible states i of the system in question, such as the positions of gas particles in a container. Moreover, p_i is the probability that the state i is attained and k is the Boltzmann constant. Similarly, entropy in information theory measures the quantity of information. If a message recipient may expect any one of N possible messages with equal likelihood, then the amount of information conveyed by any one such message is quantified as log₂ N bits.

Lyapunov exponents use logarithms to gauge the degree of chaoticity of a dynamical system. For example, for a particle moving on an oval billiard table, even small changes of the initial conditions result in very different paths of the particle. Such systems are chaotic in a deterministic way, because small measurement errors of the initial state predictably lead to largely different final states. At least one Lyapunov exponent of a deterministically chaotic system is positive.

Fraktal

The Sierpinski triangle (at the right) is constructed by repeatedly replacing equilateral triangles by three smaller ones.

Logarithms occur in definitions of the dimension of fractals. Fractals are geometric objects that are self-similar in the sense that small parts reproduce, at least roughly, the entire global structure. The Sierpinski triangle (pictured) can be covered by three copies of itself, each having sides half the original length. This makes the Hausdorff dimension of this structure ln(3)/ln(2) ≈ 1.58. Another logarithm-based notion of dimension is obtained by counting the number of boxes needed to cover the fractal in question.

Musik

Four different octaves shown on a linear scale, then shown on a logarithmic scale (as the ear hears them).

Logarithms are related to musical tones and intervals. In equal temperament, the frequency ratio depends only on the interval between two tones, not on the specific frequency, or pitch, of the individual tones. For example, the note A has a frequency of 440 Hz and B-flat has a frequency of 466 Hz. The interval between A and B-flat is a semitone, as is the one between B-flat and B (frequency 493 Hz). Accordingly, the frequency ratios agree:

${\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.$

Therefore, logarithms can be used to describe the intervals: an interval is measured in semitones by taking the base-2^1/12 logarithm of the frequency ratio, while the base-2^1/1200 logarithm of the frequency ratio expresses the interval in cents, hundredths of a semitone. The latter is used for finer encoding, as it is needed for non-equal temperaments.

Interval(the two tones are played at the same time)	1/12 tone playⓘ	Semitone playⓘ	Just major third playⓘ	Major third playⓘ	Tritone playⓘ	Octave playⓘ
Frequency ratio r	$2^{\frac {1}{72}}\approx 1.0097$	$2^{\frac {1}{12}}\approx 1.0595$	${\tfrac {5}{4}}=1.25$	${\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1.2599\end{aligned}}$	${\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1.4142\end{aligned}}$	$2^{\frac {12}{12}}=2$
Corresponding number of semitones$\log _{\sqrt[{12}]{2}}(r)=12\log _{2}(r)$	${\tfrac {1}{6}}$	$1$	$\approx 3.8631$	$4$	$6$	$12$
Corresponding number of cents$\log _{\sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200\log _{2}(r)$	$16{\tfrac {2}{3}}$	$100$	$\approx 386.31$	$400$	$600$	$1200$

Teori bilangan

Logaritma alami sangat berkaitan dengan salahs satu topik dalam teori bilangan, yaitu menghitung bilangan prima. Untuk setiap bilangan bulat x, jumlah bilangan prima kurang dari sama dengan x dinyatakan sebagai π(x). Teorema bilangan prima mengatakan bahwa π(x) kira-kira sama dengan

${\frac {x}{\ln(x)}},$

yang berarti bahwa fungsi penghitungn bilangan prima kira-kira sama dengan perbandingan dari π(x) dan pecahan yang mendekati 1 ketika x menuju ke takhingga. Akibatnya, peluang dari bilangan yang dipilih secara acak di antara 1 dan x adalah bilangan prima berbanding terbalik dengan jumlah digit desimal x. Pendekatan π(x) yang lebih baik merupakan fungsi integral Euler Li(x), yang didefinisikan sebagai

$\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.$

Hipotesis Riemann, yang merupakan salah satu konjektur matemtika terbuka yang paling terlama, dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan π(x) dan Li(x). Teorema Erdős–Kac mengatakan bahwa jumlah faktor bilangan prima yang berbeda juga melibatkan logaritma alami.

Logaritma dari n faktorial, n! = 1 · 2 · ... · n, dirumuskan sebagai

$\ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).$

Rumus di atas dapat dipakai utnuk memperoleh sebuah hampiran dari n! untuk setiap bilangan n yang lebih besar, yaitu rumus Stirling.

Perumuman

Logaritma kompleks

Artikel utama: Complex logarithm

Polar form of z = x + iy. Both φ and φ' are arguments of z.

All the complex numbers a that solve the equation

$e^{a}=z$

are called complex logarithms of z, when z is (considered as) a complex number. A complex number is commonly represented as z = x + iy, where x and y are real numbers and i is an imaginary unit, the square of which is −1. Such a number can be visualized by a point in the complex plane, as shown at the right. The polar form encodes a non-zero complex number z by its absolute value, that is, the (positive, real) distance r to the origin, and an angle between the real (x) axis Re and the line passing through both the origin and z. This angle is called the argument of z.

The absolute value r of z is given by

$\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Using the geometrical interpretation of sine and cosine and their periodicity in 2π, any complex number z may be denoted as

$z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),$

for any integer number k. Evidently the argument of z is not uniquely specified: both φ and φ' = φ + 2kπ are valid arguments of z for all integers k, because adding 2kπ radians or k⋅360° to φ corresponds to "winding" around the origin counter-clock-wise by k turns. The resulting complex number is always z, as illustrated at the right for k = 1. One may select exactly one of the possible arguments of z as the so-called principal argument, denoted Arg(z), with a capital A, by requiring φ to belong to one, conveniently selected turn, e.g. −π < φ ≤ π or 0 ≤ φ < 2π. These regions, where the argument of z is uniquely determined are called branches of the argument function.

The principal branch (-π, π) of the complex logarithm, Log(z). The black point at z = 1 corresponds to absolute value zero and brighter colors refer to bigger absolute values. The hue of the color encodes the argument of Log(z).

Euler's formula connects the trigonometric functions sine and cosine to the complex exponential:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .$

Using this formula, and again the periodicity, the following identities hold:

${\begin{array}{lll}z&=&r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=&r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=&re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{array}}$

where ln(r) is the unique real natural logarithm, a_k denote the complex logarithms of z, and k is an arbitrary integer. Therefore, the complex logarithms of z, which are all those complex values a_k for which the a_k-th power of e equals z, are the infinitely many values

$a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),\quad$ for arbitrary integers k.

Taking k such that φ + 2kπ is within the defined interval for the principal arguments, then a_k is called the principal value of the logarithm, denoted Log(z), again with a capital L. The principal argument of any positive real number x is 0; hence Log(x) is a real number and equals the real (natural) logarithm. However, the above formulas for logarithms of products and powers do not generalize to the principal value of the complex logarithm.

The illustration at the right depicts Log(z), confining the arguments of z to the interval (−π, π]. This way the corresponding branch of the complex logarithm has discontinuities all along the negative real x axis, which can be seen in the jump in the hue there. This discontinuity arises from jumping to the other boundary in the same branch, when crossing a boundary, i.e. not changing to the corresponding k-value of the continuously neighboring branch. Such a locus is called a branch cut. Dropping the range restrictions on the argument makes the relations "argument of z", and consequently the "logarithm of z", multi-valued functions.

Kebalikan dari fungsi eksponensial lainnya

Exponentiation occurs in many areas of mathematics and its inverse function is often referred to as the logarithm. For example, the logarithm of a matrix is the (multi-valued) inverse function of the matrix exponential. Another example is the p-adic logarithm, the inverse function of the p-adic exponential. Both are defined via Taylor series analogous to the real case. In the context of differential geometry, the exponential map maps the tangent space at a point of a manifold to a neighborhood of that point. Its inverse is also called the logarithmic (or log) map.

In the context of finite groups exponentiation is given by repeatedly multiplying one group element b with itself. The discrete logarithm is the integer n solving the equation

$b^{n}=x,$

where x is an element of the group. Carrying out the exponentiation can be done efficiently, but the discrete logarithm is believed to be very hard to calculate in some groups. This asymmetry has important applications in public key cryptography, such as for example in the Diffie–Hellman key exchange, a routine that allows secure exchanges of cryptographic keys over unsecured information channels. Zech's logarithm is related to the discrete logarithm in the multiplicative group of non-zero elements of a finite field.

Further logarithm-like inverse functions include the double logarithm ln(ln(x)), the super- or hyper-4-logarithm (a slight variation of which is called iterated logarithm in computer science), the Lambert W function, and the logit. They are the inverse functions of the double exponential function, tetration, of f(w) = we^w, and of the logistic function, respectively.

Konsep yang berkaitan

From the perspective of group theory, the identity log(cd) = log(c) + log(d) expresses a group isomorphism between positive reals under multiplication and reals under addition. Logarithmic functions are the only continuous isomorphisms between these groups. By means of that isomorphism, the Haar measure (Lebesgue measure) dx on the reals corresponds to the Haar measure dx/x on the positive reals. The non-negative reals not only have a multiplication, but also have addition, and form a semiring, called the probability semiring; this is in fact a semifield. The logarithm then takes multiplication to addition (log multiplication), and takes addition to log addition (LogSumExp), giving an isomorphism of semirings between the probability semiring and the log semiring.

Logarithmic one-forms df/f appear in complex analysis and algebraic geometry as differential forms with logarithmic poles.

The polylogarithm is the function defined by

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.$

It is related to the natural logarithm by Li₁ (z) = −ln(1 − z). Moreover, Li_s (1) equals the Riemann zeta function ζ(s).

Lihat pula

• Decimal exponent (dex)
• Exponential function
• Index of logarithm articles
• Logarithmic notation

Pranala luar

• Media tentang Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16 di Wikimedia Commons
• Definisi kamus dedhert.jr/uji halaman 01/16 di Wikikamus
• A lesson on logarithms can be found on Wikiversity
• (Inggris) Weisstein, Eric W., "Logarithm", MathWorld 

• Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Logarithmic function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Colin Byfleet, Educational video on logarithms, diakses tanggal 12 October 2010 
• Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, diarsipkan dari versi asli tanggal 3 December 2002, diakses tanggal 12 October 2010 
•  Glaisher, James Whitbread Lee (1911), "Logarithm", dalam Chisholm, Hugh, Encyclopædia Britannica, 16 (edisi ke-11), Cambridge University Press, hlm. 868–77