Grup topologi

Dalam matematika, grup topologi adalah grup $G$ bersama dengan topologi pada $G$ sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke inversnya masing-masing adalah fungsi kontinu yang berkaitan dengan topologi. Grup topologi adalah objek matematika dengan struktur aljabar dan struktur topologi. Jadi, seseorang dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan seseorang dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya.

Grup topologi, bersama dengan aksi grup berkelanjutan, digunakan untuk mempelajari simetri kontinu, yang memiliki banyak aplikasi, misalnya dalam fisika. Dalam analisis fungsional, setiap ruang vektor topologi adalah grup topologi aditif dengan properti tambahan bahwa perkalian skalar adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologi dapat diterapkan pada analisis fungsional.

Definisi formal

Grup topologi, $G$ , adalah ruang topologi yang juga merupakan group operasi group (dalam hal ini produk):

\cdot : G \times G \to G

,

(x, y) \mapsto xy

dan peta invers:

-1 : G \to G

,

x \mapsto x -1

adalah kontinu^{[note 1]} Maka $G \times G$ dipandang sebagai ruang topologi dengan topologi produk. Topologi seperti itu dikatakan kompatibel dengan operasi grup dan disebut topologi grup.

Memeriksa kontinuitas

Peta produk terus menerus jika dan hanya jika untuk $x, y \in G$ dan setiap lingkungan $W$ dari $xy$ di $G$ , ada lingkungan $U$ dari $x$ dan $V$ dari $y$ pada $G$ maka $U \cdot V \subseteq W$ , dimana $U \cdot V := {u \cdot v : u \in U, v \in V$ }. Peta inversi berkelanjutan jika dan hanya jika $x \in G$ dan lingkungan mana pun $V$ dari $x -1$ pada $G$ , lingkungan $U$ dari $x$ ke $G$ maka $U -1 \subseteq V$ , dimana $U -1 := {u -1 : u \in U$ }.

Untuk menunjukkan bahwa topologi kompatibel dengan operasi grup, itu sudah cukup untuk memeriksa peta

G \times G \to G

,

(x, y) \mapsto xy -1

terus menerus. Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk $x, y \in G$ dan lingkungan mana pun $W$ oleh $G$ dari $xy -1$ , ada lingkungan $U$ dari $x$ dan $V$ dari $y$ di $G$ maka $U \cdot (V -1) \subseteq W$ .

Notasi aditif

Definisi ini menggunakan notasi untuk grup perkalian; padanan untuk grup aditif adalah bahwa dua operasi berikut berkelanjutan:

+ : G \times G \to G

,

(x, y) \mapsto x + y

- : G \to G

,

x \mapsto - x

.

Hausdorffness

Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis^[1] mengharuskan topologi pada $G$ menjadi Hausdorff. Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap kelompok topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan kelompok topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; ini bagaimanapun, seringkali masih membutuhkan kerja dengan kelompok topologi non-Hausdorff asli. Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini.

Artikel ini tidak akan mengasumsikan bahwa kelompok topologi selalu Hausdorff.

Kategori

Dalam bahasa teori kategori, kelompok topologi dapat didefinisikan secara ringkas sebagai objek kelompok dalam kategori ruang topologi, dengan cara yang sama seperti grup biasa adalah objek grup dalam kategori himpunan. Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (produk biner, invers unary, dan identitas nullary), oleh karena itu definisi kategorikal.

Homomorfisme

Homomorfisme dari grup topologi berarti grup homomorphism $G \to H$ . Kelompok topologi, bersama dengan homomorfisme mereka, membentuk kategori. Homomorfisme kelompok antara kelompok topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada titik beberapa .^[2]

Isomorfisme dari grup topologi adalah grup isomorfisme yang juga merupakan homeomorfisme dari ruang topologi yang mendasarinya. Ini lebih kuat daripada hanya membutuhkan isomorfisme kelompok kontinyu, kebalikannya juga harus kontinu. Ada contoh grup topologi yang isomorfik sebagai grul biasa tetapi tidak sebagai grup topologi. Memang, setiap grup topologi non-diskrit juga merupakan grup topologi bila dipertimbangkan dengan topologi diskrit. Kelompok yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologi tidak ada isomorfisme.

Contoh

Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup topologi dengan mempertimbangkannya menggunakan topologi diskrit; grup seperti itu disebut grup terpisah. Dalam pengertian ini, teori kelompok topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. Topologi tidak terpisah (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologi.

Bilangan real, $ℝ$ dengan topologi biasa membentuk grup topologi di bawah tambahan. ruang Euklidean- $n$ $ℝ n$ juga merupakan grup topologi dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap ruang vektor topologi membentuk grup topologi (abelian). Beberapa contoh lain dari abelian grup topologi adalah grup lingkaran $S 1$ , atau torus $(S 1) n$ untuk bilangan asli $n$ .

Grup klasik adalah contoh penting dari grup topologi non-abelian. Misalnya, grup linear umum $GL(n,ℝ)$ of all dapat dibalik $n$ - oleh $n$ matriks dengan entri nyata dapat dilihat sebagai grup topologi dengan topologi yang ditentukan dengan melihat $GL(n,ℝ)$ sebagai subruang dari ruang Euclidean $ℝ n \times n$ . Grup klasik lainnya adalah grup ortogonal $O(n)$ , kelompok dari semua peta linear dari $ℝ n$ terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan panjang dari semua vektor. Kelompok ortogonal adalah kompak sebagai ruang topologi. Banyak dari geometri Euclidean dapat dipandang sebagai mempelajari struktur kelompok ortogonal, atau kelompok yang terkait erat $O (n) ⋉ ℝ n$ dari isometri dari $ℝ n$ .

Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua grup kebohongan, artinya grup tersebut lipatan halus sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah mulus, tidak hanya terus menerus. Grup Lie adalah grup topologi yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang aljabar Lie dan kemudian diselesaikan.

Contoh grup topologi yang bukan grup Lie adalah grup aditif $ℚ$ dari bilangan rasional s, dengan topologi yang diwarisi dari $ℝ$ . Ini adalah ruang terhitung, dan tidak memiliki topologi diskrit. Contoh penting untuk teori bilangan adalah grup $ℤ p$ dari bilangan bulat p-adik, untuk bilangan prima $p$ , yang berarti batas invers dari grup hingga $ℤ/ p n$ karena n mencapai tak terbatas. Grup $ℤ p$ is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke himpunan Cantor), tetapi berbeda dari (nyata) geup Lie karena terputus.

Grup $ℤ p$ adalah grup pro-terbatas; itu isomorfik ke subkelompok produk $\prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}$ sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi produk, di mana grup hingga $\mathbb {Z} /p^{n}$ diberi topologi diskrit. Kelas besar lain dari kelompok pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah grup Galois mutlak.

Grup topologi Abelian lengkap

Informasi tentang konvergensi jaring dan filter, seperti definisi dan properti, dapat ditemukan di artikel tentang filter dalam topologi.

Keseragaman kanonik pada grup topologi komutatif

Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup topologi yang kami anggap adalah grup topologi komutatif aditif dengan elemen identitas $0$ .

Definisi (Rombongan kanonik dan diagonal):
Diagonal dari $X$ adalah himpunan

$Δ X := { (x, x) : x \in X$ }

dan untuk $N \subseteq X$ berisi $0$ , rombongan kanonik' atau lingkungan kanonik sekitar $N$ ' adalah himpunan

$Δ X (N) := { (x, y) \in X \times X : x - y \in N} = \cup y \in X [(y + N) \times {y}] = Δ X + (N \times { 0 })$

Definisi (Keseragaman kanonik):^[3] Untuk grup topologi $(X, τ)$ , keseragaman kanonik pada $X$ adalah struktur seragam yang diinduksi oleh himpunan semua lingkungan kanonik $Δ(N)$ sebagai rentang $N$ di semua lingkungan $0$ pada $X$ .
Artinya, ini adalah penutupan ke atas dari prefilter berikut pada $X \times X$ ,

${ Δ(N) : N adalah lingkungan 0 pada X$ }
di mana prefilter ini membentuk apa yang dikenal sebagai basis lingkungan dari keseragaman kanonik.

Definisi (Keseragaman translasi-invarian):^[4] Untuk grup aditif komutatif $X$ , sistem dasar lingkungan $ℬ$ disebut translasi-invarian jika untuk setiap $B \in ℬ$ , $(x, y) \in B$ jika dan hanya jika $(x + z, y + z) \in B$ for all $x, y, z \in X$ . Keseragaman $ℬ$ disebut translasi-invarian jika memiliki basis lingkungan yang merupakan invarian-translasi.

Catatan:

Keseragaman kanonik pada setiap kelompok topologi komutatif adalah invarian-translasi.
Keseragaman kanonik yang sama akan dihasilkan dengan menggunakan basis lingkungan asal alih-alih filter dari semua lingkungan asal.
Setiap rombongan $Δ X (N)$ berisi diagonal $Δ X := Δ X ({0}) = { (x, x) : x \in X$ } karena $0 \in N$ .
Jika $N$ adalah simetris (yaitu $- N = N$ ) kemudian $Δ X (N)$ simetris (yaitu, $(Δ X (N)) op = Δ X (N)$ ) dan
$Δ X (N) \circ Δ X (N) = { (x, z) : \exists y \in X such that x, z \in y + N} = \cup y \in X [(y + N) \times (y + N)] = Δ X + (N \times N)$ .
Topologi yang diinduksi pada $X$ oleh keseragaman kanonik adalah sama dengan topologi yang dimulai dengan $X$ (yaitu $τ$ ).

Prefilters dan jaring Cauchy

Teori umum ruang seragam s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy prefilter" dan "Cauchy net." Untuk keseragaman kanonik pada $X$ , ini dikurangi menjadi definisi yang dijelaskan.

Definisi (Jumlah dan hasil jala):^[5] Seharusnya $x • = (x i) i \in I$ adalah jaring di $X$ dan $y • = (y i) j \in J$ adalah jaring di $Y$ . Buat $I \times J$ menjadi satu set diarahkan dengan menyatakan $(i, j) \leq (i 2, j 2)$ jika dan hanya jika $i \leq i 2$ dan $j \leq j 2$ . Kemudian $x • \times y • := (x i, y j) (i, j) \in I \times J$ menunjukkan produk jaring. Jika $X = Y$ lalu gambar jaring ini di bawah peta tambahan $X \times X \to X$ menunjukkan jumlah dari dua jaring ini:
$x • + y • := (x i + y j) (i, j) \in I \times J$

dan perbedaan mereka didefinisikan sebagai citra bersih produk di bawah peta pengurangan:

$x • - y • := (x i - y j) (i, j) \in I \times J$ .

Definisi (Jaring Cauchy):^[6] jaring $x • = (x i) i \in I$ dalam grup topologi aditif $X$ disebut Jaring Cauchy jika
$(x i - x j) (i, j) \in I \times I \to 0$ in $X$

atau setara, jika untuk setiap lingkungan $N$ dari $0$ di $X$ , ada beberapa $i 0 \in I$ maka $x i - x j \in N$ untuk $i, j \geq i 0$ dengan $i, j \in I$ .

Urutan Cauchy adalah Cauchy net yang berurutan.

Definisi ( $N$ -himpunan kecil):^[7] Jika $B$ adalah subset dari grup aditif $X$ dan $N$ adalah himpunan yang berisi $0$ , lalu kita katakan bahwa $B$ adalah $N$ -kecil atau urutan kecil $N$ if $B - B \subseteq N$ .
Definisi (Prafilter Cauchy): Sebuah prefilter $ℬ$ pada grup topologi aditif $X$ disebut Cauchy prefilter jika memenuhi salah satu kondisi setara berikut:

$ℬ - ℬ \to 0$ in $X$ , dimana $ℬ - ℬ := {B - C : B, C \in ℬ }$ adalah sebuah prefilter.

${B - B : B \in ℬ } \to 0$ in $X$ , dimana ${B - B : B \in ℬ }$ adalah prafilter yang setara dengan $ℬ - ℬ$ .

For setiap lingkungan $N$ dari $0$ di $X$ , $ℬ$ berisi beberapa $N$ -himpunan kecil (yaitu, ada beberapa $B \in ℬ$ maka $B - B \subseteq N$ ).^[8]

dan jika $X$ komutatif maka juga:

Untuk setiap lingkungan $N$ dari $0$ di $X$ , ada beberapa $B \in ℬ$ dan beberapa $x \in X$ maka $B \subseteq x + N$ .^[7]

Itu sudah cukup untuk memeriksa salah satu kondisi di atas untuk setiap basis lingkungan yang diberikan dari $0$ di $X$ .

Ucapan:

Misalkan $ℬ$ adalah prefilter pada grup topologi komutatif $X$ dan $x \in X$ . Kemudian $ℬ \to x$ di $X$ jika dan hanya jika $x \in cl ℬ$ dan $ℬ$ adalah Cauchy.^[5]

Generalisasi

Berbagai generalisasi grup topologi dapat diperoleh dengan melemahkan kondisi kontinuitas:^[9]

Grup semitopologi adalah grup $G$ dengan topologi untuk $c \in G$ dua fungsi $G \to G$ didefinisikan oleh $x \mapsto xc$ dan $x \mapsto cx$ adalah kontinu.
Grup kuasitopologi adalah grup semitopologis di mana elemen pemetaan fungsi ke inversnya juga kontinu.
Grup paratopologi adalah grup dengan topologi sedemikian rupa sehingga operasi grup berkelanjutan.

Lihat pula

Catatan

^ yaitu Kontinu artinya untuk himpunan terbuka $U \subseteq G$ , $f -1 (U)$ terbuka di domain $dom f$ dari $f$ .

Referensi

^ Armstrong 1997, hlm. 73; Bredon 1997, hlm. 51
^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 19-45.
^ Edwards 1995, hlm. 61.
^ Schaefer & Wolff 1999, hlm. 12-19.
^ ^a ^b Narici & Beckenstein 2011, hlm. 47-66.
^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48.
^ ^a ^b Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48-51.
^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48–51.
^ Arhangel'skii & Tkachenko 2008, hlm. 12.

Bibliografi

Arhangel'skii, Alexander; Tkachenko, Mikhail (2008). Topological Groups and Related Structures. World Scientific. ISBN 978-90-78677-06-2. MR 2433295.
Armstrong, Mark A. (1997). Basic Topology (edisi ke-1st). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90839-0. MR 0705632.
Banaszczyk, Wojciech (1983), "On the existence of exotic Banach–Lie groups", Mathematische Annalen, 264 (4): 485–493, doi:10.1007/BF01456956, MR 0716262
Bourbaki, Nicolas (1998), General Topology. Chapters 1–4, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64241-2, MR 1726779
Bredon, Glen E. (1997). Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics (edisi ke-1st). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. MR 1700700.
Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354
Templat:Edwards Functional Analysis Theory and Applications
Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Abstract Harmonic Analysis, 1 (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 978-0387941905, MR 0551496
Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract Harmonic Analysis, 2, Springer-Verlag, ISBN 978-0387048321, MR 0262773
Mackey, George W. (1976), The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press, ISBN 0-226-50051-9, MR 0396826
Montgomery, Deane; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups, New York, London: Interscience Publishers, MR 0073104
Templat:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
Pontryagin, Lev S. (1986). Topological Groups. trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu (edisi ke-3rd). New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-133-6. MR 0201557.
Porteous, Ian R. (1981). Topological Geometry (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-23160-4. MR 0606198.
Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces

[1] yaitu Kontinu artinya untuk himpunan terbuka $U \subseteq G$ , $f -1 (U)$ terbuka di domain $dom f$ dari $f$ .

[2] Armstrong 1997, hlm. 73; Bredon 1997, hlm. 51

[FOOTNOTENariciBeckenstein201119-45-3] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 19-45.

[FOOTNOTEEdwards199561-4] Edwards 1995, hlm. 61.

[FOOTNOTESchaeferWolff199912-19-5] Schaefer & Wolff 1999, hlm. 12-19.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147-66-6] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 47-66.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201148-7] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201148-51-8] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48-51.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201148–51-9] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48–51.

[FOOTNOTEArhangel'skiiTkachenko200812-10] Arhangel'skii & Tkachenko 2008, hlm. 12.

[note 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]