Daftar topik analisis real

Topik umum sunting

Limit sunting

Limit barisan
- Limit berurut bagian – limit dari suatu subbarisan
Limit fungsi (lihat Daftar limit untuk sebuah daftar limit fungsi umum)
- Limit sepihak – baik dari dua limit fungsi variabel real $x$ , ketika $x$ mendekati sebuah titik dari atas atau bawah
- Teorema apit – menerima limit fungsi melalui perbandingan dengan dua fungsi lainnya
- Notasi O besar – digunakan untuk menggambarkan perilaku batas fungsi ketika argumen cenderung terhadap sebuah nilai khusus atau takhingga, biasanya dalam istilah fungsi yang lebih sederhana

Barisan dan deret sunting

Barisan aritmetika – sebuah barisan bilangan sehingga beda di antara suku berturutan adalah konstan
- Barisan aritmetika rampat – sebuah barisan bilangan sehingga beda di antara suku berturutan dapat menjadi salah satu dari beberapa kemungkinan konstan
Barisan geometrik – sebuah barisan bilangan sehingga setiap suku berturutan ditemukan dengan mengalikan yang sebelumnya oleh sebuah bilangan taknol tetap
Barisan harmonik – sebuah barisan dibentuk dengan mengambil timbal-balik dari suku barisan aritmetika
Barisan hingga – lihat barisan
Barisan takhingga – lihat barisan
Barisan divergen – lihat limit barisan atau deret divergen
Barisan konvergen – lihat limit barisan atau deret konvergen
- Barisan Cauchy – sebuah barisan yang unsurnya menjadi sembarang tutup dengan satu sama lain karena kemajuan barisan
Deret konvergen – sebuah deret yang barisan jumlah parisal konvergen
Deret divergen – sebuah deret yang barisan jumlah parsial divergen
Deret pangkat – sebuah deret dari bentuk $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$
- Deret Taylor – sebuah deret dari bentuk $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots$
  - Deret Maclaurin – lihat deret Taylor
    - Deret binomial – deret Macluarin dari fungsi $f$ diberikan oleh $f(x)=(1+x)^{\alpha }$
Deret telescoping
Deret selang-seling
Deret geometrik

Metode penjumlahan sunting

Penjumlahan Cesàro
Penjumlahan Euler
Penjumlahan Lambert
Penjumlahan Borel
Penjumlahan oleh bagian – transformasi penjumlahan darab menjadi penjumlahan lain
Purata Cesàro
Rumus penjumlahan Abel

Topik lanjutan yang lebih banyak sunting

Konvolusi
- Darab Cauchy – merupakan konvolusi diskret dari dua barisan
Barisan Farey – barisan pecahan tereduksi lengkap di antara 0 dan 1
Ayunan – merupakan perilaku barisan bilangan real atau sebuah fungsi bernilai real, yang tidak konvergen, tetapi juga tidak divergen ke $+\infty$ atau $-\infty$ ; dan juga merupakan sebuah ukuran kuantitatif untuk hal tersebut.
Bentuk tak tentu – ekspresi aljabar yang didapatkan dalam konteks limit. Bentuk tak tentu termasuk $0^{0}$ , ${\tfrac {0}{0}}$ , $1^{\infty }$ , $\infty -\infty$ , ${\tfrac {\infty }{\infty }}$ , $0\times \infty$ , dan $\infty ^{0}$ .

Kekonvergenan sunting

Sebaran sunting

Keragaman sunting

Turunan sunting

Turunan kedua
- Titik belok – ditemukan dengan menggunakan turunan kedua
Turunan berarah, Turunan total, Turunan parsial

Kaidah pendiferensialan sunting

Kelinearan pendiferensialan
Kaidah darab
Kaidah hasil-bagi
Kaidah rantai
Teorema fungsi invers – memberikan syarat yang cukup untuk sebuah fungsi dapat dibalikkan dalam sebuah lingkungan titik dalam ranahnya, juga memberikan sebuah rumus untuk turunan dari fungsi invers.

Pendiferensialan dalam geometri dan topologi sunting

Manifold terdiferensial
Struktur terdiferensial
Perendaman – sebuah pemetaan terdiferensial di antara manifold terdiferensial yang diferensialnya surjektif dimana-mana

Integral sunting

Antiturunan
- Teorema dasar kalkulus – sebuah teorema antiturunan
Integral lipat
Integral teriterasi
Integral takwajar
- Nilai utama Cauchy – metode untuk menentukan nilai untuk integral takwajar tertentu
Integral garis
Teorema Anderson – mengatakan bahwa integral dari sebuah fungsi yang terintegralkan, simetrik, modus-tunggal, dan taknegatif lebih dari sebuah benda cembung $n$ -dimensi ke dalam yang menuju asalnya

Pengintegralan dan teori ukuran sunting

Teorema dasar sunting

Teorema kekonvergenan monoton – berkaitan kemonotonn dengan kekonvergenan
Teorema nilai antara – menyatakan bahwa untuk setiap nilai di antara batas atas terkecil dan batas bawah terbesar dari citra fungsi kontinu, terdapat setidaknya satu titik dalam ranahnya bahwa fungsi memetakan ke nilai tersebut
Teorema Rolle – pada dasarnya menyatakan bahwa sebuah fungsi terdiferensialkan yang memperoleh nilai yang sama pada dua titik yang berbeda harus memiliki sebuah titik di suatu tempat di antaranya dimana turunan pertama adalah nol
Teorema nilai purata – yang memberikan sebuah busur lengkung terdiferensialkan, terdapat setidaknya satu titik pada busur di mana turunan dari lengkung sama dengan turunan "rerata" dari busur
Teorema Taylor – memberikan sebuah aproksimasi dari $k$ dikali fungsi terdiferensialkan di sekitar sebuah titik yang diberikan oleh polinomial Taylor orde- $k$
Aturan L'Hôpital – menggunakan turunan untuik membantu mengevaluasi limit yang melibatkan bentuk tak tentu
Teorema Abel – berkaitan limit dari deret pangkat dengan jumlah koefisiennya
Teorema balikan Lagrange – memberikan deret Taylor dari invers sebuah fungsi analitik
Teorema Darboux – menyatakan bahwa semua fungsi yang hasilnya dari pendiferensialan dari fungsi lain memiliki sifat nilai antara; citra dari sebuah selang juga merupakan sebuah selang
Teorema Heine–Borel – terkadang digunakan sebagai sifat yang mendefinisikan kekompakan
Teorema Bolzano–Weierstrass – menyatakan bahwa setiap barisan yang dibatasi di $\mathbb {R} ^{n}$ memiliki sebuah subbarisan konvergen
Teorema nilai ekstrem – menyatakan bahwa jika sebuah fungsi $f$ kontinu di selang terbatas dan tertutup $[a,b]$ , maka ini harus memperoleh sebuah maksimum dan sebuah minimum

Topik-topik dasar sunting

Bilangan sunting

Bilangan real sunting

Bilangan khas sunting

Himpunan sunting

Peta sunting

Pemetaan kontraksi
Peta metrik
Titik tetap – sebuah titik fungsi yang memetakan ke dirinya sendiri

Alat matematis yang dipergunakan sunting

Ekspresi takhingga sunting

Pertidaksamaan sunting

Purata sunting

Polinomial ortogonal sunting

Polinomial ortogonal klasik

Ruang sunting

Ruang Euclides
Ruang metrik
- Teorema titik tetap Banach – menjamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan-diri tertentu dari ruang metrik, menyediakan metode untuk mencarinya
- Ruang metrik lengkap
Ruang topologis
- Ruang fungsi
  - Ruang barisan
- Ruang kompak

Ukuran sunting

Ukuran Lebesgue
Ukuran luar
- Ukuran Hausdorff
Teorema kekonvergenan terdpminasi – menyediakan syarat yang cukup di mana dua limit tata cara yang bertukar, yaitu pengintegralan Lebesgue dan hampir di mana-mana kekonvergenan dari sebuah barisan fungsi.

Medan himpunan sunting

Aljabar sigma

Tokoh kesejarahan sunting

Michel Rolle (1652–1719)
Brook Taylor (1685–1731)
Leonhard Euler (1707–1783)
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)
Joseph Fourier (1768–1830)
Bernard Bolzano (1781–1848)
Augustin Cauchy (1789–1857)
Niels Henrik Abel (1802–1829)
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)
Karl Weierstrass (1815–1897)
Eduard Heine (1821–1881)
Pafunty Chebyshev (1821–1894)
Leopold Kronecker (1823–1891)
Bernhard Riemann (1826–1866)
Richard Dedekind (1831–1916)
Rudolf Lipschitz (1832–1903)
Camille Jordan (1838–1922)
Jean Gaston Darboux (1842–1918)
Georg Cantor (1845–1918)
Ernesto Cesàro (1859–1906)
Otto Hölder (1859–1937)
Hermann Minkowski (1864–1909)
Alfred Tauber (1866–1942)
Felix Hausdorff (1868–1942)
Émile Borel (1871–1956)
Henri Lebesgue (1875–1941)
Waclaw Sierpiński (1882–1969)
Johann Radon (1887–1956)
Karl Menger (1902–1985)

Medan analisis yang berkaitan sunting

Analisis asimtotik – mempelajari sebuah metode menjelaskan perilaku batas
Analisis cembung – mempelajari sifat-sifat fungsi cembung dan himpunan cembung
- Daftar topik kecembungan
Analisis harmonik – mempelajari wakilan fungsi atau sinyal sebagai superposisi gelombang dasar
- Daftar topik analisis harmonik
Analisis Fourier – mempelajari deret Fourier dan transformasi Fourier
- Daftar topik analisis Fourier
- Daftar transformasi Fourier yang berkaitan
Analisis kompleks – mempelajari keberadaan analisis real dengan memasukkan bilangan kompleks
Analisis fungsional – mempelajari ruang vektor yang diberikan dengna struktur limit yang berkaitan dan operator linear bertindak di ruang ini
Analisis takstandar – mempelajari analisis matematis menggunakan perlakuan ketelitian infinitesimal.

Lihat pula sunting

Kalkulus – kalkulus klasik Newton dan Leibniz
Kalkulus takstandar, sebuah penerapan yang cermat mengenai infinitesimal, dalam arti analisis takstandar, untuk kalkulus klasik Newton dan Leibniz.

Daftar topik analisis real

Topik umum sunting

Barisan dan deret sunting

Metode penjumlahan sunting

Topik lanjutan yang lebih banyak sunting

Kekonvergenan sunting

Kekontinuan sunting

Keragaman sunting

Pendiferensialan dalam geometri dan topologi sunting

Pengintegralan dan teori ukuran sunting

Teorema dasar sunting

Topik-topik dasar sunting

Bilangan khas sunting

Alat matematis yang dipergunakan sunting

Tokoh kesejarahan sunting

Lihat pula sunting